高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程学案 新人教B版选修21.doc

2.3.1双曲线的标准方程学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题知识点一双曲线的定义思考如图，若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点f1，f2上，把笔尖放在点m处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？梳理(1)平面内与两个定点f1，f2的距离的差的_等于常数(小于|f1f2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的_，两焦点的距离叫做双曲线的_；(2)关于“小于|f1f2|”：若将“小于|f1f2|”改为“等于|f1f2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以f1，f2为端点的_(包括端点)；若将“小于|f1f2|”改为“大于|f1f2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的_(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是_知识点二双曲线的标准方程思考1双曲线的标准方程的推导过程是什么？思考2双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？梳理(1)两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程图形焦点坐标a，b，c的关系式(2)焦点f1，f2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在_上；若y2项的系数为正，那么焦点在_上(3)当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为ax2by21(ab0)判断：若2a2c|f1f2|，满足定义，则动点m 的轨迹就是双曲线，且2c|f1f2|，b2c2a2，进而求出相应a，b，c.根据f1，f2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程跟踪训练2下列命题是真命题的是_(将所有真命题的序号都填上)已知定点f1(1，0)，f2(1，0)，则满足|pf1|pf2|的点p的轨迹为双曲线；已知定点f1(2，0)，f2(2，0)，则满足|pf1|pf2|4的点p的轨迹为两条射线；到定点f1(3，0)，f2(3，0)距离之差的绝对值等于7的点p的轨迹为双曲线；若点p到定点f1(4，0)，f2(4，0)的距离的差的绝对值等于点m(1，2)到点n(3，1)的距离，则点p的轨迹为双曲线类型二待定系数法求双曲线的标准方程例3(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，4)和，求双曲线的标准方程；(2)求与椭圆1共焦点且过点(1，)的双曲线的标准方程反思与感悟待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为ax2by21(ab0，b0)共焦点的双曲线的标准方程可设为1(b2k2c)|pf1|pf2|2a(|f1f2|2c，2ab0)1或1(a0，b0)图形特征封闭的连续曲线分两支，不封闭，不连续根据标准方程确定a，b的方法以大小分a，b(如1中，94，则a29，b24)以正负分a，b(如1中，40，9b0)具有性质：若m，n是椭圆c上关于原点对称的两点，点p是椭圆c上任意一点，设直线pm，pn的斜率都存在，并记为kpm，kpn，那么kpm与kpn之积是与点p位置无关的定值试对双曲线c：1写出具有类似特殊的性质，并加以证明1若双曲线e：1的左，右焦点分别为f1，f2，点p在双曲线e上，且|pf1|3，则|pf2|等于()a11 b9c5 d32设f1，f2分别是双曲线x21的左，右焦点，p是双曲线上的一点，且3|pf1|4|pf2|，则pf1f2的面积等于()a4 b8c24 d483已知圆c：x2y26x4y80，以圆c与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为_4已知双曲线2x2y2k(k0)的焦距为6，则k的值为_5已知双曲线1上一点m的横坐标为5，则点m到左焦点的距离是_1双曲线定义的理解(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支设f1，f2表示双曲线的左，右焦点，若|mf1|mf2|2a，则点m在右支上；若|mf2|mf1|2a，则点m在左支上(2)双曲线定义的双向运用：若|mf1|mf2|2a(02a|f1f2|)，则动点m的轨迹为双曲线若动点m在双曲线上，则|mf1|mf2|2a.2求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2ny21的形式，为简单起见，常标明条件mn0，b0)(5)检验：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程；以方程的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(c，0)，(c，0)的距离之差的绝对值为2a，即以方程的解为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程叫做双曲线的标准方程(此步骤可省略)思考2双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2c2a2，即c2a2b2，其中ca，cb，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2a2c2，即a2b2c2，其中ab0，ac，c与b的大小关系不确定梳理(1)1(a0，b0)1(a0，b0)f1(c，0)，f2(c，0)f1(0，c)，f2(0，c)a2b2c2(2)x轴y轴(4)c2a2a2c2题型探究例1解由1，得a3，b4，c5.由定义和余弦定理得|pf1|pf2|6，|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos 60，所以102(|pf1|pf2|)2|pf1|pf2|，所以|pf1|pf2|64，所以|pf1|pf2|sinf1pf26416.引申探究解由双曲线方程知a3，b4，c5，由双曲线的定义得|pf1|pf2|2a6，所以|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|36，在rtf1pf2中，由勾股定理得|pf1|2|pf2|2|f1f2|2(2c)2100，将代入得|pf1|pf2|32，所以跟踪训练1解在mf1f2中，由余弦定理，得|f1f2|2|mf1|2|mf2|22|mf1|mf2|cos .|f1f2|24c2，|mf1|2|mf2|2(|mf1|mf2|)22|mf1|mf2|4a22|mf1|mf2|，式化为4c24a22|mf1|mf2|(1cos )，|mf1|mf2|，|mf1|mf2|sin .例2(1)a(2)1(x5)跟踪训练2例3解(1)设所求双曲线方程为1(a0，b0)，则解得双曲线的标准方程为1.(2)椭圆1的焦点坐标为(0，2)，(0，2)设双曲线的方程为1(m0，n0)则解得故所求双曲线的标准方程为1.跟踪训练3解(1)设双曲线标准方程为1(a0，b0)，c，b2c2a26a2.由题意知1，1，解得a25或a230(舍)b21.双曲线的标准方程为y21.(2)设双曲线方程为mx2ny21(mn0，b0)，则a2b220.又双曲线过点(3，)，1.a2202，b22.所求双曲线的标准方程为1.例4证明如图所示，设|pf1|r1，|pf2|r2，|f1f2|2c，则在pf1f2中，对于双曲线有|r2r1|2m，cos 21，1cos 2.sin .则在pf1f2中，对于椭圆有r1r22a，cos 21，1cos 2，cos ，tan .跟踪训练4(1)解椭圆1的焦点坐标为f1(0，3)，f2(0，3)，故可设双曲线的方程为1.由题意，知解得故双曲线的方程为1.(2)解类似的性质如下：若m，n为双曲线1上关于原点对称的两点，点p是双曲线上任意一点，设直线