高中数学 小问题集中营 专题2.6 正弦定理、余弦定理与不等式.doc

专题2.6 正弦定理、余弦定理与不等式一、问题的提出正弦定理和余弦定理的应用除了解三角形外，还往往与基本不等式结合求面积范围、周长范围、角的范围以及求代数式的范围等，这些题目都是考生容易错解的地方，所以本节内容从这些难点内容出发，希望给学生带来启发.二、问题的探源1. 基本不等式， ，2. 正弦定理和余弦定理略三、问题的佐证一、面积的范围问题例1中，内角， ， 所对的边分别为， ， ，已知，且，则面积的最大值是_【答案】二、周长的范围问题例2在中，内角，所对的边分别为，已知，（1）当时，求的面积；（2）求周长的最大值；三、利用消元法确定三角形中的范围问题例3在锐角中，角的对边分别为，若， ，则的取值范围是( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】 。故选b。点睛：解三角形问题的两重性：作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”(即“统一角、统一函数、统一结构”)是使问题获得解决的突破口四、角或边的范围问题 例4在中，则的取值范围是（ ）a. b. c. d.解由于，根据正弦定理可知，故又，则的范围为.故本题正确答案为c.例5.在中， ， ，在边上存在一点，满足，作， 为垂足，若角，则的取值范围是_【答案】四、问题的解决一、单选题1设向量满足， ， ，则的最大值等于（ ）a. 4 b. 2 c. d. 1【答案】a2已知锐角中，角的对边分别为，若， ，则的面积的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】c3若锐角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为，则的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】不妨设，则由三角形内角的度数成等差数列，得，又， ，由， ，知，解得， ， ，即的取值范围是，故选c.4已知为的内心， ，若，则的最大值为（ ）a. b. c. d. 【答案】d5已知 是锐角三角形，若 ，则 的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】由题意得，在中，由正弦定理可得 ，又因为 ，所以 ，又因为锐角三角形，所以所以故选a6一个三角形具有以下性质：（1）三边组成一个公差为1的等差数列；（2）最大角是最小角的2倍.则该三角形的最大边长为（ ）a. 6 b. 5 c. 4 d. 3【答案】a7锐角中，角、所对的边分别为、，若，则的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】由正弦定理得， 又 故选b.点睛：本题主要考查正弦定理和正弦两角和差公式的应用正弦定理和余弦定理在解三角形中应用比较多，这两个定理和其推论一定要熟练掌握并能够灵活运用，注意锐角三角形中角的范围的确定，是本题解答的关键，考查计算能力，逻辑推理能力，属于中档题. 8在锐角中, ，则的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】由已知及余弦定理得 ，由此解得 ，选d。9中，角的对边分别为，且满足，,则的取值范围是a. b. c. d. 【答案】b【解析】由,得因为,所以.又,得a为钝角.,由正弦定理,所以,选b. 10在锐角中， 分别是角所对的边， 的面积，且满足，则的取值范围是_【答案】【解析】在锐角abc中,a,b,c分别为角a,b,c所对的边,满足acosb=b(1+cosa)，sinacosb=sinb+sinbcosa,sin(ab)=sinb，ab=b,即a=2bbb, ,故选a11的内角， ， 所对的边分别为， ， .已知，且，有下列结论：；， 时， 的面积为；当时， 为钝角三角线.其中正确的是_（填写所有正确结论的编号）【答案】【点睛】解三角形中运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式进边角互换及运算是常见题形，要注意三角形内角和为来减少角的个数，及两边之和大于第三边，两边第差小于第三边来构造不等关系是常用处理技巧。12已知abc的三个内角a，b，c的对应边分别为a，b，c，且则使得sin2b+sin2c=msinbsinc成立的实数m的最大值是 _ 【答案】4【解析】sin2b+sin2c=msinbsinc，b2+c2=bcm，cosa= ，m=2cosa+2sina=4sin（a+），当sin（a+）=1即a=时，m取得最大值4故答案为413如图半圆的半径为1， 为直径延长线上一点，且， 为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形，则四边形面积最大值为_.【答案】故答案为：14在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的取值范围为_【答案】【解析】依题意，故，则，因为，