高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.3 幂函数学案 新人教A版必修1 (2).doc

2.3幂函数学习目标1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(易错点).2.结合幂函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象，掌握它们的性质(重点).3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点)预习教材p77p78，完成下面问题：知识点1幂函数的概念一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx是幂函数()(2)函数y2x是幂函数()(3)函数yx是幂函数()提示(1)函数yx符合幂函数的定义，所以是幂函数；(2)幂函数中自变量x是底数，而不是指数，所以y2x不是幂函数；(3)幂函数中x的系数必须为1，所以yx不是幂函数知识点2幂函数的图象和性质(1)五个幂函数的图象：(2)幂函数的性质：幂函数yxyx2yx3yxyx1定义域rrr0，)(，0)(0，)值域r0，)r0，)y|yr，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0，)，增x(，0，减增增x(0，)，减x(，0)，减公共点都经过点(1,1)【预习评价】(1)设函数f(x)x，则f(x)是()a奇函数b偶函数c既不是奇函数也不是偶函数d既是奇函数又是偶函数(2)3.173与3.713的大小关系为_解析(1)易知f(x)的定义域为r，又f(x)f(x)，故f(x)是奇函数(2)易知f(x)x3在(0，)上是减函数，又3.17f(3.71)，即3.1733.713.答案(1)a(2)3.1733.713题型一幂函数的概念【例1】(1)在函数yx2，y2x2，y(x1)2，y3x中，幂函数的个数为()a0b1c2d3(2)若f(x)(m24m4)xm是幂函数，则m_.解析(1)根据幂函数定义可知，只有yx2是幂函数，所以选b(2)因为f(x)是幂函数，所以m24m41，即m24m50，解得m5或m1.答案(1)b(2)5或1规律方法判断函数为幂函数的方法(1)只有形如yx(其中为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为yx(为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：指数为常数，底数为自变量，底数系数为1.形如y(3x)，y2x，yx5形式的函数都不是幂函数反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式【训练1】若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)3f(2)，则f的值等于_解析设f(x)x，因为f(4)3f(2)，432，解得：log23，flog23.答案题型二幂函数的图象及应用【例2】(1)如图所示，图中的曲线是幂函数yxn在第一象限的图象，已知n取2，四个值，则相应于c1，c2，c3，c4的n依次为()a2，2b2，2c，2,2，d2，2，(2)点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，分别有：f(x)g(x)；f(x)g(x)；f(x)0时，n越大，yxn递增速度越快，故c1的n2，c2的n；当ng(x)；当x1时，f(x)g(x)；当x(0,1)时，f(x)g(x)规律方法解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)(2)依据图象确定幂指数与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于yx1或yx或yx3)来判断【训练2】如图是函数yx (m，nn*，m，n互质)的图象，则()am，n是奇数，且1cm是偶数，n是奇数，且1解析由图象可知yx是偶函数，而m，n是互质的，故m是偶数，n是奇数，又当x(1，)时，yx的图象在yx的图象下方，故，所以0.30.3.(2)因为幂函数yx1在(，0)上是单调递减的，又1.【迁移1】(变换条件)若将例1(1)中的两数换为“0.3与0.3”，则二者的大小关系如何？解因为0.330.3，而yx0.3在(0，)上是单调递增的，又3，所以0.330.3.即0.30.3.【迁移2】(变换条件)若将例1(1)中的两数换为“0.3与0.3”，则二者的大小关系如何？解因为y1x在(0，)为上减函数，又0.3，又因为函数y2x在(0，)上为增函数，且0.3，所以0.3，所以0.30.3.规律方法比较幂值大小的三种基本方法【训练3】比较下列各组数的大小：(1)0.5与0.5；(2)3.143与3；(3)与.解(1)yx0.5在0，)上是增函数且，0.50.5.(2)yx3是r上的增函数，且3.14，3.1433，3.1433.(3)yx是r上的减函数，.yx是0，)上的增函数，.课堂达标1已知幂函数yf(x)的图象经过点，则f(2)()ab4cd解析设幂函数为yx，幂函数的图象经过点，4，yx，f(2)2，故选c答案c2下列函数中，其定义域和值域不同的函数是()ayxbyxcyxdyx解析a中定义域值域都是r；b中定义域值域都是(0，)；c中定义域值域都是r；d中定义域为r，值域为0，)答案d3设a，则使函数yxa的定义域是r，且为奇函数的所有a的值是()a1,3b1,1c1,3d1,1,3解析当a1时，yx1的定义域是x|x0，且为奇函数；当a1时，函数yx的定义域是r且为奇函数；当a时，函数yx的定义域是x|x0，且为非奇非偶函数当a3时，函数yx3的定义域是r且为奇函数故选a答案a4函数yx的图象是()解析显然代数表达式“f(x)f(x)”，说明函数是奇函数同时由当0xx，当x1时，x，则.从而8，所以.课堂小结1幂函数yx的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量2幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线