高中数学 第三章 指数函数和对数函数章末复习课学案 北师大版必修1.doc

第三章 指数函数和对数函数章末复习课网络构建核心归纳知识点一指数函数yax(a0，a1)的图像与性质一般地，指数函数yax(a0，a1)的图像与性质如下表所示：a10a0时，y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1在(，)上是增函数在(，)上是减函数注意(1)对于a1与0a1时，a值越大，图像向上越靠近y轴，递增速度越快；0a0，a1)的图像与性质a10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数知识点三对数函数与指数函数的关系对数函数ylogax(a0，a1)与指数函数yax(a0，a1)互为反函数，其图像关于直线yx对称(如图)知识点四幂函数与指数函数的区别幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决要点一有关指数、对数的运算问题指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数式；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用【例1】(1)化简：；(2)计算：2log32log3log3825log53解(1)原式abaaba(2)原式log34log3log3852log53log352log53log399297【训练1】log3log3_解析log3log33log310答案要点二函数的图像函数图像是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及考查形式有知式选图、知图造式、图像变换以及用图像解题函数图像形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果【例2】函数yx1的图像关于直线yx对称的图像大致是()解析函数yx1的图像如图所示，关于yx对称的图像大致为a选项对应图像答案a【训练2】函数y(0a0时，yax.又0a1，可排除a、c；当x0时，yax.又0a1，可排除b答案d要点三比较大小比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，其基本方法是：将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值，其主要方法可分以下三种：(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解；(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0,1，1等；(3)采用数形结合的方法，通过函数的图像解决【例3】设a3，b0.2，c2，则()aabc bcbaccab dbac解析a30,0b0.21，故有abbc bbaccacb dcba解析因为2，所以alog21，所以b1，所以021，即0ccb答案c要点四指数、对数函数图像与性质的综合应用1指数函数与对数函数性质的对比(1)相同点：指数函数与对数函数的图像和性质都与底数a的取值有关当a变化时函数的图像与性质也随之改变(2)不同点：指数函数的图像恒过定点(0,1)，而对数函数的图像恒过定点(1,0)；指数函数与对数函数的定义域与值域均不同，但它们的定义域与值域正好互换(3)联系：指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数；两函数的图像关于直线yx对称2指数函数与幂函数的区别与联系函数表达式相同点不同点指数函数yax(a0，且a1)右边都是幂的形式指数是自变量，底数是常数幂函数yx(r)底数是自变量，指数是常数【例4】已知函数f(x)log9(9x1)kx(kr)是偶函数(1)求k的值(2)若函数yf(x)的图像与直线yxb没有交点，求b的取值范围(3)设h(x)log9，若函数f(x)与h(x)的图像有且只有一个公共点，求实数a的取值范围解(1)因为f(x)为偶函数，所以对任意xr，f(x)f(x)，即log9(9x1)kxlog9(9x1)kx对于任意xr恒成立于是2kxlog9(9x1)log9(9x1)log9log9(9x1)x恒成立，而x不恒为零，所以k(2)由题意知方程log9(9x1)xxb即方程log9(9x1)xb无解令g(x)log9(9x1)x，则函数yg(x)的图像与直线yb无交点因为g(x)log9log9，所以g(x)在(，)上是单调减函数因为11，所以g(x)log90.所以b的取值范围是(，0(3)由题意知方程3xa3xa有且只有一个实数根令3xt0，则关于t的方程(a1)t2at10(记为(*)有且只有一个正根若a1，则t，不合题意，舍去若a1，则方程(*)的两根异号或有两相等正根方程(*)的两根异号(a1)(1)1.由0a或3；但at2，不合题意，舍去；而a3t；综上所述，实数a的取值范围是3(1，)【训练4】已知偶函数f(x)在x0，)上是增函数，f0，求不等式f(logax)0(a0，且a1)的解集解f(x)是偶函数，且f(x)在0，)上是增函数，又f0，f(x)在(，0)上是减函数，f0故若f(logax)0，则有logax或logax1时，由logax或logax或0x当0a或logax，得0x综上可知，当a1时，f(logax)0的解集为(，)；当0a0的解集为(0，).考查方向要点五体现在指数函数、对数函数中的数学思想方向1函数思想函数是描述客观世界变化规律的重要模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述本章学习的三种不同类型的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数)刻画了客观世界中三类不同的变化规律，具有不同对应关系的变化现象利用函数的意义解指数、对数方程，利用函数的单调性比较两个数的大小和解有关指数、对数的不等式是本章中运用函数思想解题的重要体现【例51】如果x1是方程xlg x3的一个根，x2是方程x10x3的一个根，那么x1x2的值是()a6 b3 c2 d1解析将已知的两个方程变形，得lg x3x,10x3x令f(x)lg x，g(x)10x，h(x)3x如图所示，记g(x)与h(x)的图像的交点为a(x1，y1)，f(x)与h(x)的图像的交点为b(x2，y2)，利用函数的性质易知a，b两点关于直线yx对称，便有x1y2，x2y1将点a的坐标代入h(x)，得y13x1再将y1x2代入上式，得x23x1，即x1x23答案b方向2数形结合思想数形结合思想在解决对数函数问题中应用比较广泛特别是在求有关对数方程解的个数或已知解的个数求参数的取值(范围)等问题时，常将已知数量关系转化到图像中，从而使问题直观、易解【例52】已知不等式2xlogax0在x时恒成立，求实数a的取值范围解要使不等式2xlogax0，即2x，显然0alogaa，a，即a故实数a的取值范围为方向3分类讨论思想我们以前就接触过分类讨论的思想方法，即根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决应特别注意的是，当讨论的对象不止一种时，应分层进行，以避免混乱，分