高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式学案 苏教版选修5.doc

3.4预习课本p96102，思考并完成以下问题 (1)基本不等式的形式是什么？需具备哪些条件？ (2)“和定积最大，积定和最小”应怎样理解？ (3)在利用基本不等式求最值时，应注意哪些方面？ (4)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题？ 1重要不等式当a，b是任意实数时，有a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立2基本不等式(1)有关概念：当a，b均为正数时，把称为正数a，b的算术平均数，把称为正数a，b的几何平均数(2)基本不等式定义：如果a，b是正数，那么，当且仅当ab时取“”(3)变形：ab2，ab2(其中a0，b0，当且仅当ab时等号成立)点睛基本不等式成立的条件：a0且b0；其中等号成立的条件：当且仅当ab时取等号，即若ab时，则，即只能有.3设x，y为正实数(1)若xys(和s为定值)，则当xy时，积xy有最大值，且这个值为.(2)若xyp(积p为定值)，则当xy时，和xy有最小值，且这个值为2.1若x0，则x的最小值为_解析：x0，x4.答案：42若x，y(0，)，且x4y1，则xy的最大值是_解析：x，y(0，)，则1x4y4，即xy，当且仅当x，y时等号成立答案：3实数x，y满足x2y2，则3x9y的最小值是_解析：利用基本不等式可得3x9y3x32y22 .x2y2，3x9y26，当且仅当3x32y，即x1，y时取等号答案：64给出下面结论：若x(0，)，则sin x2；若a，b(0，)，则lg alg b2；若xr，则4.其中正确结论的序号是_解析：因为x(0，)，所以sin x(0,1，所以成立；只有在lg a0，lg b0，即a1，b1时才成立；|x|24成立答案： 利用基本不等式比较大小典例(1)已知ma(a2)，n22b2(b0)，则m，n之间的大小关系是_(2)若ab1，p，q(lg alg b)，rlg ，则p，q，r的大小关系是_解析(1)因为a2，所以a20，又因为ma(a2)2，所以m224，由b0，得b20，所以2b22，n22b2n.(2)因为ab1，所以lg alg b0，所以q(lg alg b)p；q(lg alg b)lg lg lg lg r.所以pqn(2)pq0，b0.活学活用已知a，b，c都是非负实数，试比较与(abc)的 大小解：因为a2b22ab，所以2(a2b2)(ab)2，所以 (ab)，同理 (bc), (ca)，所以 (ab)(bc)(ca)，即(abc)，当且仅当abc时，等号成立.利用基本不等式证明不等式典例已知a，b，c均为正实数， 求证：3.证明a，b，c均为正实数，2(当且仅当a2b时等号成立)，2(当且仅当a3c时等号成立)，2(当且仅当2b3c时等号成立)，将上述三式相加得6(当且仅当a2b3c时等号 成立)，3(当且仅当a2b3c时等号成立)，即3(当且仅当a2b3c时等号成立)利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向 “未知”(2)注意事项：多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型再使用活学活用已知a，b，c为正实数， 且abc1，求证：8.证明：因为a，b，c为正实数，且abc1，所以1.同理，1，1.上述三个不等式两边均为正，相乘得8，当且仅当abc时，取等号.利用基本不等式求最值典例(1)已知lg alg b2，求ab的最小值(2)已知x0，y0，且2x3y6，求xy的最大值(3)已知x0，y0，1，求xy的最小值解(1)由lg alg b2可得lg ab2，即ab100，且a0，b0，因此由基本不等式可得ab22 20，当且仅当ab10时，ab取到最小值20.(2)x0，y0,2x3y6，xy(2x3y)22，当且仅当2x3y，即x，y1时，xy取到最大值.(3)1，xy(xy)1910，又x0，y0，1021016，当且仅当，即y3x时，等号成立由得即当x4，y12时，xy取得最小值16.(1)应用基本不等式需注意三个条件：即一正、二定、三相等在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧因此，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键(2)常用构造定值条件的技巧变换：加项变换；拆项变换；统一变元；平方后利用基本不等式(3)对于条件最值要注意“1”的代换技巧的运用活学活用(1)已知0x，求函数y4x2的最小值解：(1)0x0.yx(13x)3x(13x)2，当且仅当x时，函数yx(13x)取得最大值.(2)x，4x50.y4x24x53235.当且仅当4x5，即x时取等号当x时，y取最小值为5.利用基本不等式解应用题典例某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积s的最大允许值是多少？(2)为使s达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解(1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，而顶部面积为sxy，依题意得，40x245y20xy3 200，由基本不等式得3 200220xy12020xy12020s.所以s61600，即(10)(16)0，故10，从而s100，所以s的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x90y且xy100，求得x15，即铁栅的长是15米求实际问题中最值的解题策略(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性(4)正确写出答案 活学活用某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xn*)，则当每台机器运转_年时，年平均利润最大，最大值是_万元解析：每台机器运转x年的年平均利润为18，而x0，故182 8，当且仅当x5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元答案：58层级一学业水平达标1设x0，则y33x的最大值是_解析：y33x33232，当且仅当3x，即x时取等号答案：322若2xy4，则4x2y的最小值为_解析：4x2y22x2y2228.当且仅当2xy2，即x1，y2时等号成立答案：83若对于任意x0，a恒成立，则a的取值范围是_解析：，因为x0，所以x2(当且仅当x1时取等号)，则，即的最大值为，故a.答案：a4某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两次费用之和最小，仓库应建在离车站_千米处解析：设仓库与车站的距离为x千米，则y1，y2k2x.2，8k210.k120，k2.yx.x28，当且仅当x，即x5时取等号x5千米时，y取得最小值答案：55已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是_解析：依题意得(x1)(2y1)9，(x1)(2y1)26，x2y4，当且仅当x12y1，即x2，y1时取等号，故x2y的最小值是4.答案：46若0a1,0b1，且ab，则ab,2，2ab，a2b2中最大的一个是_解析：因为0a1,0b2，a2b22ab，所以四个数中最大的数应从ab，a2b2中选择而a2b2(ab)a(a1)b(b1)又因为0a1,0b1，所以a(a1)0，b(b1)0，所以a2b2(ab)0，即a2b20，b0，若不等式恒成立，则n的最大值为_解析：因为a0，b0，由题知，即(2ab)n，又(2ab)415529，当且仅当ab时等号成立，故n9.故n的最大值为9.答案：98已知x0，y0，且1，若x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围是_解析：x0，y0且1，x2y(x2y)4428，当且仅当，即x4，y2时取等号，(x2y)min8，要使x2ym22m恒成立，只需(x2y)minm22m恒成立，即8m22m，解得4m0，b0，ab1，求证：9.证明：法一：因为a0，b0，ab1，所以112，同理12，故52549.所以9.法二：111，因为a，b为正数，ab1，所以ab2，于是4，8，因此189.10桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为s平方米(1)试用x表示s；(2)当x取何值时，才能使得s最大？并求出s的最大值解：(1)由图形知，3a6x，a.则总面积sa2aa1 832，即s1 832(x0)(2)由s1 832，得s1 83221 83222401 352.当且仅当，此时，x45.即当x为45米时，s最大，且s最大值为1 352平方米层级二应试能力达标1已知函数f(x)4x(x0，a0)在x3时取得最小值，则a_.解析：由基本不等式性质，f(x)4x(x0，a0)在4x，即x2时取得最小值，由于x0，a0，再根据已知可得32，故a36.答案：362已知a0，且b0，若2ab4，则的最小值为_解析：由题中条件知，2，当且仅当a1，b2时等号成立，故4，即.答案：3已知x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，则的最小值是_解析：因为lg 2xlg 8ylg 2，所以x3y1，所以(x3y)24，当且仅当，即x，y时，取等号答案：44已知x1，则函数yx的值域为_解析：x1，x10.yxxx9x11021016，当且仅当x1，即x4时，y取最小值16，函数yx的值域为16，)答案：16，)5若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值为_解析：由题知，5，即1，所以3x4y(3x4y)1(3x4y)，因为x，y0，由基本不等式得25，当且仅当，即x1，y时等号成立答案：56设x，y为实数若4x2y2xy1，则2xy的最大值是_解析：依题意有(2xy)213xy12xy12，得(2xy)21，即|2xy|.当且仅当2xy时，2xy取最大值.答案：7已知函数f(x)lg x(xr)，若x10，x20，比较f(x1)f(x2)与f的大小，并加以证明证明：f(x1)f(x2)lg x1lg x2lg(x1x2)，flg，又x10，x20，x1x22，lg(x1x2)lg2，lg(x1x2)lg，即(lg x1lg x2)lg.f(x1)f(x2)f.当且仅当x1x2时，等号成立8已知两正数x，y满足xy1，求z的最小值解：zxyxyxy2，令txy，则0txy2.由f(t)t在上单调递减，故当t时f(t)t有最小值，所以当xy时，z有最小值. (时间120分钟满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分将答案填在题中的横线上)1不等式x21的解集为_解析：x21，则1x1，所以不等式的解集为x|1x1答案：x|1x0的解集为x|1x2，则m的值为_解析：由已知得1,2是方程mx22x40的两个根，12.m2.答案：23已知一元二次不等式f(x)0的解集为_解析：因为一元二次不等式f(x)0的解集为，所以可设f(x)a(x1)(a0可得(10x1)0，即10x，xlg 2.答案：x|x0表示的平面区域内，则a的取值范围为_解析：根据题意，分以下两种情况：原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内则无解原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，则所以1a0.综上所述，10，y0，n0，nxy1，的最小值为16，则n的值为_解析：因为x0，y0，n0，nxy1，所以(nxy)n4n42n44，当且仅当y2x时取等号所以n4416，解得n4.答案：46在条件下，z(x1)2(y1)2的取值范围是_解析：由约束条件作出可行域如图目标函数表示点(x，y)与点m(1,1)的距离的开方由图可知，z的最小值为点m与直线xy1的距离的平方即zmin2.z的最大值为点m(1,1)与点b(2,0)的距离的平方：即zmax(12)2(10)22.z的取值范围为.答案：7已知a0，b0，a，b的等比中项是1，且mb，na，则mn的最小值是_解析：a，b的等比中项是1，ab1.b，a，又a0，b0，mn2(ab)44，当且仅且ab1时取等号mn的最小值是4.答案：48已知a0，b0，则2的最小值是_解析：a0，b0，222224.(当且仅当ab时取等号)答案：49某校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y满足约束条件则该校招聘的教师最多是_名解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线xy0，平移该直线，因为xn，yn，所以当平移到经过该平面区域内的整点(5,5)时，相应直线在y轴上的截距最大，此时xy取得最大值，xy的最大值是10.答案：1010若实数x，y满足x2y2xy1，则xy的最大值是_解析：由x2y2xy1，得(xy)2xy1，即xy(xy)21.所以(xy)21，故xy.当xy时“”成立，所以xy的最大值为.答案：11函数f(x)(x0)的最大值为_解析：令t2x1(t1)，原式，因为t2(当且仅当t取等号)，所以式，故函数f(x)的最大值为.答案：12.在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为_(m)解析：设矩形宽为y，由三角形相似得：，且x0，y0，x40，y0(2x1)(x1)0x(1，)，所以，原不等式组的解为x(1,6)16(本小题满分14分)已知函数f(x)x2ax6，(1)当a5时，解不等式f(x)0的解集为r，求实数a的取值范围解：当a5时，f(x)x25x6，由f(x)0，得x25x60.即(x2)(x3)0.3x0的解集为r，则有a2460，解得2a2.所以实数a的取值范围是(2，2)17(本小题满分14分)若x，y满足约束条件(1)求目标函数zxy的最值；(2)若目标函数zax2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围解：(1)作出可行域如图，可求得a(3,4)，b(0,1)，c(1,0)平移初始直线xy0，过a(3,4)取最小值2，过c(1,0)取最大值1.所以z的最大值为1，最小值为2.(2)直线ax2yz仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知12，解得4aad)为长方形薄板，沿ac折叠后，ab交dc于点p.当adp的面积最大时最节能(1)设abx米，用x表示图中dp的长度，并写出x的取值范围；(2)若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？解：(1)由题意，abx，bc2x.因x2x，故1x2.设dpy，则pc