高考数学 问题2.5 函数与方程、不等式相结合问题提分练习.doc

2.5函数与方程、不等式相结合问题一、考情分析函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的热点和重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大,函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线,它们贯穿于高中数学的各个内容,求值的问题就要涉及到方程,求取值范围的问题就离不开不等式,但方程、不等式更离不开函数,函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段.二、经验分享(1) 确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法(2)判断函数零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理、结合函数的性质；数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数(3) 已知函数零点情况求参数的步骤判断函数的单调性；利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式(组)；解不等式(组),即得参数的取值范围(4)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数,利用数形结合求解参数范围(5)“af(x)有解”型问题,可以通过求函数yf(x)的值域解决三、知识拓展1有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号2三个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点四、题型分析(一) 函数与方程关系的应用函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f(x)0的解就是函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标,函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和历年高考的重点.【例1】【2017浙江杭州地区重点中学期中】已知函数（）有四个不同的零点,则实数的取值范围是（ ）abcd【分析】把函数（）有四个不同的零点转化为方程有三个不同的根,再利用函数图象求解【点评】 零点问题也可转化为方程的根的问题,的根的个数问题,可以转化为函数和图象交点的个数问题,通过在直角坐标系中作出两个函数图象,从而确定交点的个数,也就是方程根的个数【小试牛刀】【2018届北京北京师大附中高中三年级期中】已知函数, .若函数 恰有6个不同的零点,则m的取值范围是( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】函数, 当时,即时,则,当时,即时,则,当,即时, 只与的图象有两个交点,不满足题意,应该舍去；当时, 与的图象有两个交点,需要直线与函数的图象有四个交点时才满足题意,又,解得,综上可得： 的取值范围是,故选d (二) 函数与不等式关系的应用函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都是很大的.函数是高中数学的主线,方程与不等式则是它的重要组成部分.在很多情况下函数与不等式也可以相互转化,对于函数yf(x),当y0时,就转化为不等式f(x)0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而同时研究函数的性质,也离不开解不等式的应用.【例2】已知函数 ,若对任意的,都有成立,则实数的取值范围为 .【分析】根据题中条件：对任意的,都有成立,将问题转化为.再由题中所给两函数的特征：函数是一确定的分段函数,由它的图象不难求出函数的最大值；而另一个函数中含有绝对值,由含有绝对值的不等式可求出它的最小值,即可得到不等式,则可求出的取值范围.【解析】对任意的,都有成立,即.观察的图象可知,当时,函数；因为,所以所以,解得或,故答案为或【点评】本题考查了分段函数、对数函数和二次函数的性质,主要考察了不等式的恒成立问题和函数的最值问题. 注意不等式：对是恒成立的.特别要注意等号成立的条件. 渗透到方程问题、不等式问题、和某些代数问题都可以转化为函数知识.且涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,它们是高考中考查的重点,所以在教学中我们应引引起高度的重视.【小试牛刀】【2018届湖南衡阳高三12月联考】已知函数,若恰好存在3个整数,使得成立,则满足条件的整数的个数为 （ ）a. 34 b. 33 c. 32 d. 25【答案】a【解析】画出的函数图象如图所示：当时, ,当时, , , , 当时, ；当时, , ；当时, 恰好存在3个整数,使得成立整数的值为及, , , ,共34个,故选a (三) 函数、方程和不等式关系的应用函数、方程、不等式的结合,是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式,体现了一般到特殊的观念.也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系,在高中阶段,应该让学生进一步深刻认识和体会函数、方程、不等式三部分之间的内在联系,并把这种内在联系作为学习的基本指导思想,这也是高中数学最为重要的内容之一.而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度.因此,在高三的复习中,对这部分内容应予以足够的重视.【例3】已知函数,其中m,a均为实数(1)求的极值；(2)设,若对任意的,恒成立,求的最小值；(3)设,若对任意给定的,在区间上总存在,使得 成立,求的取值范围【分析】(1)求的极值,就是先求出,解方程,此方程的解把函数的定义域分成若干个区间,我们再确定在每个区间里的符号,从而得出极大值或极小值；（2）此总是首先是对不等式恒成立的转化,由（1）可确定在上是增函数,同样的方法（导数法）可确定函数在上也是增函数,不妨设,这样题设绝对值不等式可变为,整理为,由此函数在区间上为减函数,则在（3,4）上恒成立,要求的取值范围采取分离参数法得恒成立,于是问题转化为求在上的最大值；（3）由于的任意性,我们可先求出在上的值域,题设“在区间上总存在,使得成立”,转化为函数在区间上不是单调函数,极值点为（）,其次,极小值,最后还要证明在上,存在,使,由此可求出的范围.（2）当时,在恒成立,在上为增函数 设, 0在恒成立,在上为增函数 设,则等价于,即 设,则u(x)在为减函数在（3,4）上恒成立 恒成立 设,=,x3,4,0时,根据题意知两图像有两个交点,当直线和图像,相切时是一种临界,要想至少有4个交点,斜率要变小；故设切点为 当k0时,临界是过点（-6,1）时,此时,要想至少有4个交点需要逆时针继续旋转,斜率边大,直到和x轴平行.故两种情况并到一起得到：实数k的取值范围是.故答案为：c.4【2018届上海市浦东新区高三数学一模】关于的方程恰有3个实数根、,则（ ）a. 1 b. 2 c. d. 【答案】b5.【2017山西省运城市高三上学期期中】函数是偶函数,且在内是增函数,则不等式的解集为（ ）abcd【答案】b【解析】函数为偶函数,故为奇函数,在内是增函数,所以时,当时,根据对称性,有当时,当时,.由此可知即为两者异号的解集为.6.【2017湖北孝感高三上学期第一次联考】定义域在上的奇函数,当时,则关于的方程所有根之和为,则实数的值为（ ）a b c. d【答案】b【解析】因为函数为奇函数,所以可以得到当时,当时,所以函数图象如下图,函数的零点即为函数与的交点,如上图所示,共个,当时,令,解得：,当时,令,解得：,当时,令,解得：,所以所有零点之和为：,.故本题正确答案为b.7.【2017重庆八中高三上学期二调】对于函数,设,（,且）,令集合,则集合为（ ）a空集b实数集c单元素集 d二元素集【答案】b【解析】由题设可知,故从开始组成了一个以为首项,以周期为重复出现一列代数式,由得,故的解为,故选b8.【2017中原名校高三上学期第三次质量考评】定义在实数集上的函数,满足,当时,.则函数的零点个数为（ ）a b c. d【答案】b【解析】是偶函数,图象关于直线对称,周期是,画图可得,零点个数为,故选b.9.【2017辽宁盘锦市高中11月月考】设函数则满足的的取值范围是（ ）a b c d【答案】c【解析】令,则,当时,由的导数为,在时,在递增,即有,则方程无解；当时,成立,由,即,解得,且；或,解得,即为综上可得的范围是故选c.10. 【2017湖北荆州高三上学期第一次质量检测】已知函数,用表示中最小值,设,则函数的零点个数为（ ）a b c. d【答案】c【解析】 由可得；由可得,且当时,当时无意义,结合函数的图象可知方程有三个根.故应选c.11.【2017河南八市重点高中上学期第三次测评】函数的零点个数为（ ）a1 b2 c3 d4【答案】b【解析】由已知得,令,即,在同一坐标系内作出函数与的图象 两个函数有两个不同的交点,所以函数的零点的个数为,故选b.12. 【2017河南百校联盟高三11月质检】已知函数满足,当时,若在上,方程有三个不同的实根,则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】由题意,时,当时,如图在有两解,有两解,设函数在上单调递减,在上单调递增,.故选：d13.【河北石家庄2017届高三上学期第一次质检,10】已知函数,则的解集为（ ）a b c. d【答案】b【解析】因为当时,；当时,所以,等价于,即,解得,所以的解集为,故选b14.【2017江苏徐州丰县民族中学高三上学期第二次月考】设函数（,为自然对数的底数）,若曲线上存在一点使得,则的取值范围是 【答案】15.【2017江苏徐州丰县民族中学高三上学期第二次月考】已知函数为定义在上的偶函数,在上单调递减,并且,则的取值范围是 【答案】【解析】由题设可得,即,故可化为,又,故,且.故应填答案.16【2017届12月浙江省重点中学期末热身联考】已知,函数,若存在三个互不相等的实数,使得成立,则的取值范围是_【答案】【解析】若存在三个互不相等的实数,使得成立,则方程存在三个不相等的实根,当时, ,令,则,令,得,当时, ,即在上为减函数,当时, ,即在上为增函数,则在上存在一个实根,在上存在两个不相等的实根,即, 有两个不相等的实根,故答案为17【2018届福建省闽侯高三12月月考】已知函数,若函数有个零点,则实数的取值范围为 _ .【答案】18.【2017湖南百所重点中学高三上学期阶段诊测】已知定义在上的函数的周期为3.当时,.（1）求的值；（2）若关于的方程在区间上有实根,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）函数的周期为3,. （2）设,则,函数的周期为3,. 方程在上有实根在上有实根,设,又,实数的取值范围为.19.定义在上的函数及二次函数满足： ,且的最小值是（）求和的解析式；（）若对于,均有成立,求实数的取值范围；（）设讨论方程的解的个数情况【答案】（）,（）（）三个解【解析】（）,则由联立解得： ；是二次函数,可设又,抛物线对称轴为根据题意函数有最小值为,又,故 （）设,依题意知：当时, ,在上单调递增, ,解得, 实数的取值范围是； （）图像解法：的图象如图所示： 令,则而有两个解, 有个解有个解 代数解法：令,则（1）由得：或,解得（2）若,则或,；若,则或由解得,而无解综上所述,方程共有三个解20.已知函数（1）讨论的单调性；（2）证明：当时,；（3）若函数有两个零点,比较与的大小,并证明你的结论.【答案】（1）时,f（x）在上递增,上递减,上递增；时,f（x）在上递增；时,f（x）在上递增,上递减,上递增；时,f（x）在上递增,在上递减；（2）见解析；（3）c,即时,f（x）在上递增,上递减,上递增；且,故此时f（x）在上有且只有一个零点综上所述：时,f（x）在上递增,上递减,上递增；时,f（x）在上递增；时,f（x）在上递增,上递减,上递增；时,f（x）在上递增,在上递减；（2） 设在上单调递减得证（3）由（1）知,函数要有两个零点,则,不妨设由（2）得,21.已知函数（1）若函数在上无零点,请你探究函数在上的单调性；（2）设,若对任意的,恒有成立,求实数的取值范围【答案】（1）若：在上无单调性,若：在