高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 专题1 三角函数 第2讲 解三角形问题教学案 理.doc

第2讲解三角形问题题型1利用正、余弦定理解三角形(对应学生用书第5页)核心知识储备1正弦定理及其变形在abc中，2r(r为abc的外接圆半径)变形：a2rsin a，sin a，abcsin asin bsin c等2余弦定理及其变形在abc中，a2b2c22bccos a；变形：b2c2a22bccos a，cos a.3三角形面积公式sabcabsin cbcsin aacsin b.典题试解寻法【典题1】(考查解三角形应用举例)如图21，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到a处时测得公路北侧一山顶d在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达b处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度cd_m.图21思路分析由已知条件及三角形内角和定理可得acb的值在abc中，利用正弦定理求得bc在rtbcd中利用锐角三角函数的定义求得cd的值解析依题意有ab600，cab30，cba18075105，dbc30，dccb.acb45，在abc中，由，得，有cb300，在rtbcd中，cdcbtan 30100，则此山的高度cd100 m.答案100【典题2】(考查应用正余弦定理解三角形)(2017全国卷)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知abc的面积为.(1)求sin bsin c；(2)若6cos bcos c1，a3，求abc的周长. 【导学号：07804011】解(1)由题设得acsin b，即csin b.由正弦定理得sin csin b.故sin bsin c.(2)由题设及(1)得cos bcos csin bsin c，即cos(bc).所以bc，故a.由题意得bcsin a，a3，所以bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.故abc的周长为3.类题通法1.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.2.在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a2b2c22bccos a中，有a2c2和ac两项，二者的关系a2c2(ac)22ac经常用到.3.三角形形状判断的两种思路：一是化角为边；二是化边为角.注意：要灵活选用正弦定理或余弦定理，且在变形的时候要注意方程的同解性，如方程两边同除以一个数时要注意该数是否为零，避免漏解.对点即时训练1在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若b2ccos a，c2bcos a，则abc的形状为()a直角三角形b锐角三角形c等边三角形d等腰直角三角形cb2ccos a，c2bcos a，b4bcos2a，即cos a，或cos a(舍)bc，abc为等边三角形2如图22，在abc中，ab2，cos b，点d在线段bc上图22(1)若adc，求ad的长；(2)若bd2dc，acd的面积为，求的值. 【导学号：07804012】解(1)在三角形中，cos b，sin b.在abd中，又ab2，adb，sin b，ad.(2)bd2dc，sabd2sadc，sabc3sadc，又sadc，sabc4.sabcabbcsinabc，bc6.sabdabadsinbad，sadcacadsincad，sabd2sadc，2，在abc中，ac2ab2bc22abbccosabc，ac4，24.题型强化集训(见专题限时集训t1、t2、t3、t4、t5、t6、t9、t10、t11、t13)题型2与三角形有关的最值、范围问题(答题模板)(对应学生用书第6页)与三角形有关的最值、范围问题一般涉及三角形的角度(或边长、面积、周长等)的最大、最小问题(2015全国卷t16、2014全国卷t16、2013全国卷t17)典题试解寻法【典题】(本小题满分12分)(2013全国卷)的对边分别为a，b，c，已知.(1)求b；(2)若，求. 【导学号：07804013】审题指导题眼挖掘关键信息看到abc的内角a，b，c，想到abc.看到abcos ccsin b，想到三角形的正弦定理，想到三角恒等变换.看到b2，想到(1)及余弦定理.看到abc的面积的最大值，想到面积公式及不等式放缩.规范解答(1)由已知及正弦定理得sin asin bcos csin csin b2分又，故sin asin(bc)sin bcos ccos bsin c4分由和c(0，)得sin bcos b5分又b(0，)，所以b.6分(2)abc的面积sacsin bac.7分由已知及余弦定理得4a2c22accos .8分又，故ac，当且仅当ac时，等号成立.10分因此abc面积的最大值为1.12分阅卷者说易错点防范措施忽视三角形内角和定理导致无法求b.熟记三角形内的常见结论，实现角的互化.忽视不等式的变形导致无法解出ac的范围.不等式a2b22ab及ab是应用余弦定理求最值的切入点，平时应加强训练.类题通法1.求与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法求解范围即可.注意题目中的隐含条件，如abc，0a、b、c，bcabc，三角形中大边对大角等.2.在利用含有a2b2，(ab)2，ab的关系等式求最值时常借助均值不等式.对点即时训练(2017石家庄一模)在abc中，内角a，b，c的对边分别是a，b，c，且.(1)求角b的大小；(2)点d满足2，且ad3，求2ac的最大值解(1)，由正弦定理可得，c(ac)(ab)(ab)，即a2c2b2ac.又a2c2b22accos b，cos b，b(0，)，b.(2)法一：(利用基本不等式求最值)在abd中，由余弦定理得c2(2a)222accos 32，(2ac)2932ac.2ac，(2ac)29(2ac)2，即(2ac)236,2ac6，当且仅当2ac，即a，c3时，2ac取得最大值，最大值为6.法二：(利用三角函数的性质求最值)在abd中，由正弦定理知2，2a2sinbad，c2sinadb，2ac2sinbad2sinadb2sinbadsinadb266sin.bad，bad，当bad，即bad时，2ac取得最大值，最大值为6.题型强化集训(见专题限时集训t7、t8、t12、t14)三年真题| 验收复习效果(对应学生用书第7页)1(2016全国卷)在abc中，b，bc边上的高等于bc，则cos a()abcdc法一：设abc中角a，b，c所对的边分别为a，b，c，则由题意得sabcaaacsin b，ca.由余弦定理得b2a2c22accos ba2a22aaa2，ba.cos a.故选c.法二：同方法一得ca.由正弦定理得sin csin a, 又b，sin csinsin a，即cos asin asin a，tan a3，a为钝角又1tan2a，cos2a，cos a.故选c.2(2016全国卷)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若cos a，cos c，a1，则b_.因为a，c为abc的内角，且cos a，cos c，所以sin a，sin c，所以sin bsin(ac)sin(ac)sin acos ccos asin c.又a1，所以由正弦定理得b.3(2015全国卷)在平面四边形abcd中，abc75，bc2，则ab的取值范围是_(，)如图所示，延长ba与cd相交于点e，过点c作cfad交ab于点f，则bfabbe.在等腰三角形cfb中，fcb30，cfbc2，bf.在等腰三角形ecb中，ceb30，ecb75，bece，bc2，be.ab.4(2017全国卷)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知sin acos a0，a2，b2.(1)求c；(2)