高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 专题4 立体几何 第9讲 空间中的平行与垂直关系教学案 理.doc

第9讲空间中的平行与垂直关系题型1空间位置关系的判断与证明(对应学生用书第30页)核心知识储备1直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a，b，aba.(2)线面平行的性质定理：a，a，bab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abp，a，b.(4)面面平行的性质定理：，a，bab.2直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m，n，mnp，lm，lnl.(2)线面垂直的性质定理：a，bab.(3)面面垂直的判定定理：a，a.(4)面面垂直的性质定理：，l，a，ala.典题试解寻法【典题1】(考查空间位置关系的判断)已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()a且lb且lc与相交，且交线垂直于ld与相交，且交线平行于l解析根据所给的已知条件作图，如图所示由图可知与相交，且交线平行于l，故选d.答案d【典题2】(考查空间位置关系的证明)如图91，在三棱锥pabc中，paab，pabc，abbc，paabbc2，d为线段ac的中点，e为线段pc上一点图91(1)求证：pabd；(2)求证：平面bde平面pac；(3)当pa平面bde时，求三棱锥ebcd的体积思路分析(1)通过证明pa平面abc得pabd；(2)通过证明bd平面pac得面面垂直；(3)由pa平面bde，d为ac的中点得pa与de的位置及数量关系，从而求出三棱锥的体积解(1)证明：因为paab，pabc，且abbcb，所以pa平面abc.又因为bd平面abc，所以pabd.(2)证明：因为abbc，d为ac的中点，所以bdac.由(1)知，pabd，且paaca，所以bd平面pac，所以平面bde平面pac.(3)因为pa平面bde，平面pac平面bdede，所以pade.因为d为ac的中点，所以depa1，bddc.由(1)知，pa平面abc，所以de平面abc，所以三棱锥ebcd的体积vbddcde.类题通法 平行关系及垂直关系的转化空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化对点即时训练如图92所示，四棱锥pabcd中，底面abcd是正方形，侧面pad底面abcd，且papdad.图92(1)求证：平面pab平面pcd；(2)求三棱锥dpbc的体积. 【导学号：07804065】解(1)法一：(几何法)因为平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，又cdad，所以cd平面pad，所以cdpa.因为papdad，所以pad是等腰直角三角形，且apd，即papd.又cdpdd，所以pa平面pcd.又pa平面pab，所以平面pab平面pcd.法二：(向量法)取ad的中点o、bc的中点q，连接op，oq，易知oqad.因为papd，所以poad，因为平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，所以po平面abcd.建立如图所示的空间直角坐标系由papdad，知op1.则o(0,0,0)，a(1,0,0)，b(1,2,0)，q(0,2,0)，c(1,2,0)，d(1,0,0)，p(0,0,1)设平面pcd的法向量为n(x，y，z)，又(0,2,0)，(1,0,1)，则即令x1，则n(1,0，1)同理，可求得平面pab的一个法向量为m(1,0，1)，又nm1100(1)(1)0，故平面pab平面pcd.(2)取ad的中点o，连接op，如图因为papd，所以poad.因为平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，所以po平面abcd.即po为三棱锥pbcd的高，由papdad，知op1.因为底面abcd是正方形，所以sbcd222.所以v三棱锥dpbcv三棱锥pbcdposbcd12.题型强化集训(见专题限时集训t1、t3、t6、t7、t8、t9、t10、t12、t14)题型2平面图形的翻折问题(对应学生用书第31页)核心知识储备翻折问题的注意事项(1)画好两图：翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图(2)把握关系：即比较翻折前后的图形，准确把握平面图形翻折前后的线线关系，哪些平行与垂直的关系不变，哪些平行与垂直的关系发生变化，这是准确把握几何体结构特征，进行空间线面关系逻辑推理的基础(3)准确定量：即根据平面图形翻折的要求，把平面图形中的相关数量转化为空间几何体的数字特征，这是进行准确计算的基础典题试解寻法【典题】(2016全国卷)如图93，菱形abcd的对角线ac与bd交于点o，ab5，ac6，点e，f分别在ad，cd上，aecf，ef交bd于点h.将def沿ef折到def的位置，od.图93(1)证明：dh平面abcd；(2)求二面角bdac的正弦值思路分析(1)题设条件翻折,dhefdhohdh平面abcd；(2)建系求法向量求二面角的余弦值求二面角的正弦值解(1)证明：由已知得acbd，adcd.又由aecf得，故acef.因为efhd，从而efdh.由ab5，ac6得dobo4.由efac得.所以oh1，dhdh3.于是dh2oh2321210do2，故dhoh.又dhef，而ohefh，所以dh平面abcd.(2)如图，以h为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系hxyz，则h(0,0,0)，a(3，1,0)，b(0，5,0)，c(3，1,0)，d(0,0,3)，(3，4,0)，(6,0,0)，(3,1,3)设m(x1，y1，z1)是平面abd的法向量，则即所以可取m(4,3，5)设n(x2，y2，z2)是平面acd的法向量，则即所以可取n(0，3,1)于是cosm，n.sinm，n.因此二面角bdac的正弦值是.类题通法 平面图形翻折问题的求解方法(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变和不变，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形.对点即时训练如图94(1)，在四边形abcd中，abad，adbc，ad6，bc2ab4，e，f分别在bc，ad上，efab，现将四边形abef沿ef折起，使平面abef平面efdc，如图94(2)图94(1)图94(2)(1)若be1，在折叠后的线段ad上是否存在一点p，且，使得cp平面abef？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；(2)求三棱锥acdf体积的最大值，并求此时二面角eacf的余弦值. 【导学号：07804066】解因为平面abef平面efdc，平面abef平面efdcef，fdef，所以fd平面abef.又af平面abef，所以fdaf.易知afef，又fdeff，所以af平面efdc.(1)以f为坐标原点，fe，fd，fa所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则f(0,0,0)，a(0,0,1)，d(0,5,0)，c(2,3,0)，.若cp平面abef，则，即0，即0，解得.ad上存在一点p，当时，满足cp平面abef.(2)设bex，则afx(0x4)，所以三棱锥acdf的体积vx2(6x)x(6x)3.当x3时，三棱锥acdf的体积v有最大值，最大值为3.此时a(0,0,3)，d(0,3,0)，c(2,1,0)，则(0,0,3)，(2,1,0)设平面ace的法向量m(x1，y1，z1)，则即令x13，则m(3,0,2)设平面acf的法向量n(x2，y2，z2)，则即令x21，则n(1，2,0)cosm，n，则二面角eacf的余弦值为.题型强化集训(见专题限时集训t2、t4、t5、t11、t13)三年真题| 验收复习效果(对应学生用书第32页)1(2016全国卷)平面过正方体abcda1b1c1d1的顶点a，平面cb1d1，平面abcdm，平面abb1a1n，则m，n所成角的正弦值为() 【导学号：07804067】a.bc.da设平面cb1d1平面abcdm1.平面平面cb1d1，m1m.又平面abcd平面a1b1c1d1，且平面cb1d1平面a1b1c1d1b1d1，b1d1m1.b1d1m.平面abb1a1平面dcc1d1，且平面cb1d1平面dcc1d1cd1，同理可证cd1n.因此直线m与n所成的角即直线b1d1与cd1所成的角在正方体abcda1b1c1d1中，cb1d1是正三角形，故直线b1d1与cd1所成角为60，其正弦值为.2(2017全国卷)已知直三棱柱abca1b1c1中，abc120，ab2，bccc11，则异面直线ab1与bc1所成角的余弦值为()a.bc.dc法一：(几何法)将直三棱柱abca1b1c1补形为直四棱柱abcda1b1c1d1，如图所示，连接ad1，b1d1，bd.图由题意知abc120，ab2，bccc11，所以ad1bc1，ab1，dab60.在abd中，由余弦定理知bd22212221cos 603，所以bd，所以b1d1.又ab1与ad1所成的角即为ab1与bc1所成的角，所以cos .故选c.法二：(向量法)以b1为坐标原点，b1c1所在的直线为x轴，垂直于b1c1的直线为y轴，bb1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示图由已知条件知b1(0,0,0)，b(0,0,1)，c1(1,0,0)，a(1，1)，则(1,0，1)，(1，1)所以cos，.所以异面直线ab1与bc1所成的角的余弦值为.故选c.3(2016全国卷)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)对于，可以平行，也可以相交但不垂直，故错误对于，由线面平行的性质定理知存在直线l，nl，又m，所以ml，所以mn，故正确对于，因为，所以，没有公共点又m，所以m，没有公共点，由线面平行的定义可知m，故正确对于，因为mn，所以m与所成的角和n与所成的角相等因为，所以n与所成的角和n与所成的角相等，所以m与所成的角和n与所成的角相等，故正确4(2017全国卷)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形abc的直角边ac所在直线与a，b都垂直，斜边ab以直线ac为旋转轴旋转，有下列结论：当直线ab与a成60角时，ab与b成30角；当直线ab与a成60角时，ab与b成60角；直线ab与a所成角的最小值为45；直线ab与a所成角的最大值为60.其中正确的是_(填写所有正确结论的编号)依题意建立如图所示的空间直角坐标系设等腰直角三角形abc的直角边长为1.由题意知点b在平面xoy中形成的轨迹是以c为圆心，1为半径的圆设直线a的方向向量为a(0,1,0)，直线b的方向向量为b(1,0,0)，以ox轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为，0,2)，则b(cos ，sin ，0)，(cos ，sin ，1)，|.设直线ab与a所成夹角为，则cos |sin |，4590，正确，错误设直线ab与b所成夹角为，则cos |cos |.当直线ab与a的夹角为60，即60时，则|sin |cos cos 60，|cos |.cos |cos |.090，60，即直线ab与b的夹角为60.正确，错误5(2015全国卷)如图95，四边形abcd为菱形，abc120，e，f是平面abcd同一侧的两点，be平面abcd，df平面abcd，be2df，aeec.图95(1)证明：平面aec平面afc；(2)求直线ae与直线cf所成角的余弦值. 【导学号：07804068】解(1)证明：如图，连接bd，设bdacg，连接eg，fg，ef.在菱形abcd中，不妨设gb1.由abc120，可得aggc.由be平面abcd，abbc，可