高考数学 专题2.4 探求三角形最值范围的各类妙法小题大做.doc

专题2.4 探求三角形最值范围的各类妙法一、 典例分析，融合贯通 题型一 与角有关的最值或范围问题典例1设abc的内角为a，b，c所对的边长分别为a，b，c，且acosbbcosac（）求的值；（）求tan(ab)的最大值【解析】：（）由正弦定理得sinacosbsinbcosasinc(sinacosbsinbcosa)， 所以sinacosb4sinbcosa，故4解2：（）由（）得0absinacosbsinbcosasincsin(ab)， 所以sin(ab)的最大值为，故tan(ab)的最大值为解3：由tana4tanb得：作chab于h，则4ahbh在bh上取一点a1，使a1hah,则aaa1c，所以abaa1cabcbca1显然，当过a1，b的圆与ch相切于c1时，bc1a1为bca1的最大值题型二 与边有关的最值或范围问题例3已知a，b，c分别为abc的三个内角a，b，c的对边，若(ab)(sinasinb)(cb)sinc，且a2，则abc面积的最大值为_解3：由正弦定理得(ab)(ab)(cb)c，整理可得a2b2c2bc，由余弦定理得cosa，所以a因为a2，所以a在以bc为弦，以为半径的圆上，所以abc面积的最大值为 【变式训练】abc中，a，a2，求2bc的最大值解1：由正弦定理可得2bc(2sinbsinc)2sin(c)sinc(2sinccosc)sin(c)故2bc的最大值为解2：令t，t0，f (t)1， 所以，即t时，取得最小值，所以2bc此时取得最大值【点睛】(1)正弦定理、余弦定理与三角形面积公式综合使用是高考命题的趋势，解题时要综合分析其中的数量关系，得出方程，通过解方程求得目标值(2)解三角形中范围问题的基本思路：把求解目标化为三角形一个内角的三角函数，利用三角函数的性质及基本不等式得出目标的范围二、 精选试题，能力升级1在abc中，角a,b,c的对边分别为a,b,c，其中a=6,a=3.（）若b=26，求角c的大小；（）求b+c的取值范围.【解析】：（）由正弦定理，sinb=bsinaa=26326=22又ba，ba b=4 c=-a+b=512 （）由正弦定理得，b=asinbsina=43sinb,c=asincsina=43sinc b+c=43sinb+43sinc =43sinb+43sin23-b=12sinb+6 0b23 6b+65612sinb+61612sinb+612故b+c的取值范围为6,12。 2在中， .（1）求角的大小；（2）求的最大值. 3的内角的对边分别为.（1）若，求面积的最大值；（2）若，求的值.【解析】：（1)由余弦定理得，即，所以，因为，所以，即 (当且仅当时，等号成立），所以，故面积的最大值为. 4在abc 中，a，b，c 分别是角a，b，c 的对边，且2cosacosc(1tanatanc)1 （1）求b 的大小；（2）若b=3，求abc面积的最大值【解析】：（1）由2cosacosc(1tanatanc)1， 得2cosacosc1-sinasinccosacosc=1 2cosacosc-sinasinc=1 cosa+c=12 cosb=-12 又 0b, b=23 （2）b2=a2+c2-2accosb=a2+c2+ac3ac,又b3， ac3 sabc=12acsinb334所以当且仅当a=c=3时，sabc有最大值为3345已知，（1）求函数的单调递增区间；（2）设的内角满足，而，求证： .【解析】：（1） 6设函数f(x)=cos(2x-43)+2cos2x.（1）求f(x)的最大值，并写出使f(x)取最大值时x的集合；（2）已知abc中,角a、b、c的边分别为a、b、c，若f(b+c)=32,b+c=2，求a的最小值. （1） f(x)=cos(2x-43)+2cosx2=(cos2xsin43+sin2xsin43) +(1+cos2x) =12cos2x-32sin2x+1=cos(2x+3)+1 f(x) 的最大值为2 要f(x)使取最大值cos(2x+3)=1,2x+3=2k(kz) ,故x的集合为x|x=k-6,kz .（2）f(b+c)=cos2（b+c）+3+1=32 ,cos(2-2a+3)=12 化简得cos(2a-3)=12 ,a(0,),2a-3(-3,53),，只有2a-3=3,a=3. 在abc 中，由余弦定理，a2=b2+c2-2bccos3=(b+c)2-3bc ,由b+c=2,bc(b+c)22=1,a21, 当b=c=1 时等号成立，a 最小为1. 7 在中，角的对边分别为，满足 ()求角 的大小()若，求的周长最大值 (ii)由（i）得，由正弦定理得所以的周长 当时， 的周长取得最大值为9 8在中，内角的对边分别是，满足 （1）求角的值；（2）若且，求的取值范围 9已知函数.（）求函数的单调递增区间；（）在中，角的对边分别为，若为锐角且， ，求的取值范围.【解析】：（1）函数变形，即，令，解得，所以单调增区间（2）， 所以 解