高考数学 专题10.2 双曲线试题 文.doc

双曲线【三年高考】1.【2017课表1，文5】已知f是双曲线c：的右焦点，p是c上一点，且pf与x轴垂直，点a的坐标是(1，3)，则apf的面积为abcd【答案】d【解析】由得，所以，将代入，得，所以，又点a的坐标是(1，3)，故apf的面积为，选d2. 【2017天津，文5】已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（a）（b）（c）（d）【答案】 【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，双曲线方程为：，本题选择d选项.3 . 【2017山东，文15】在平面直角坐标系xoy中,双曲线 的右支与焦点为f的抛物线交于a,b两点,若|af|+|bf|=4|of|,则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】4【2017江苏，8】 在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,其焦点是,则四边形的面积是 .【答案】【解析】右准线方程为，渐近线为，则，则.5【2016高考北京文数】已知双曲线 （，）的一条渐近线为，一个焦点为，则_；_.【答案】.【解析】依题意有,结合,解得.6【2016高考天津文数】已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线的方程为（ ）（a） （b）（c） （d）【答案】a【解析】由题意得，选a.7【2016高考山东文数】已知双曲线e：=1（a0，b0）矩形abcd的四个顶点在e上，ab，cd的中点为e的两个焦点，且2|ab|=3|bc|，则e的离心率是_【答案】 【解析】依题意，不妨设，作出图象如下图所示：则故离心率 8【2016高考浙江文数】设双曲线x2=1的左、右焦点分别为f1，f2若点p在双曲线上，且f1pf2为锐角三角形，则|pf1|+|pf2|的取值范围是_【答案】【解析】由已知，则，设是双曲线上任一点，由对称性不妨设在右支上，则，为锐角，则，即，解得，所以，9. 【2015高考山东，文15】过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点.若点的横坐标为,则的离心率为 .【答案】10. 【2015高考新课标1，文16】已知是双曲线的右焦点，p是c左支上一点， ，当周长最小时，该三角形的面积为 【答案】【解析】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，apf的周长为|pa|+|pf|+|af|=|pa|+|af|=|pa|+|af|+，由于是定值，要使apf的周长最小，则|pa|+最小，即p、a、共线，（3,0），直线的方程为，即代入整理得，解得或(舍)，所以p点的纵坐标为，=.11. 【2015高考重庆，文9】设双曲线的右焦点是f，左、右顶点分别是,过f做的垂线与双曲线交于b，c两点，若,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）(a) (b) (c) (d) 【答案】c【2017考试大纲】双曲线(1)了解双曲线的实际背景,了解性质求在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(2)掌握双曲线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.(3)了解双曲线的简单应用.(4)理解数形结合的思想.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对双曲线的考查以选择、填空为主，主要侧重以下几点：(1)双曲线定义的应用；（2）求双曲线的标准方程(3)以双曲线的方程为载体，研究与参数及渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是考查的重点和热点，高考题中以选择、填空题为主，分值为5分，难度为容易题和中档题.【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 双曲线的定义、标准方程、几何性质性质问题是高考考试的重点，每年必考，一般是小题形式出现,解答题很少考查,主要以利用性质求双曲线方程，求焦点三角形的周长与面积，求弦长，求双曲线的离心率,最值或范围问题，过定点问题，定值问题等, 直线与双曲线的位置关系，难度一般不是太大, 故预测2018年高考仍会延续这种情形，以双曲线的方程与性质为主备考时应熟练掌握双曲线的定义、求双曲线标准方程的方法，能灵活运用双曲线定义及几何性质确定基本元素.另外，要深入理解参数的关系、渐近线及其几何意义，应注意与向量、直线、圆等知识的综合. 【2018年高考考点定位】高考对双曲线的考查有两种主要形式：一是考双曲线的定义与标准方程；二是考查双曲线的几何性质；三是考查直线与双曲线的简单位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、平面向量、方程数学、不等式等知识相联系，字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点.【考点1】双曲线的定义与标准方程【备考知识梳理】1.双曲线的定义：把平面内与两定点的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：().注意：（1）当时，轨迹是直线去掉线段.(2)当时，轨迹不存在.2.双曲线的标准方程：（1） 焦点在轴上的双曲线的标准方程为；焦点在y轴上的双曲线的标准方程为.给定椭圆，要根据的正负判定焦点在哪个坐标轴上，焦点在分母为正的那个坐标轴上.(2)双曲线中关系为：.【规律方法技巧】1.利用双曲线的定义可以将双曲线上一点到两焦点的距离进行转化，对双曲线上一点与其两焦点构成的三角形问题，常用双曲线的定义与正余弦定理去处理.2.求双曲线的标准方程方法(1)定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之差（或距离之差的绝对值）为常数（常数小于两点之间的距离），符合双曲线的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为实轴长的双曲线，从而求出双曲线方程中的参数，写出双曲线的标准方程，注意是距离之差的绝对值是双曲线的两只，是距离之差是双曲线的一只，要注意是哪一只.(2)待定系数法，用待定系数法求双曲线标准方程，一般分三步完成，定性-确定它是双曲线；定位-判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；定量-建立关于基本量的关系式，解出参数即可求出双曲线的标准方程.3.若双曲线的焦点位置不定，应分焦点在x轴上和焦点在y轴上，也可设双曲线的方程为，其中异号且都不为0，可避免分类讨论和繁琐的计算.4.若已知双曲线的渐近线方程为，则可设双曲线的标准方程为（）可避免分类讨论.【考点针对训练】1. 【贵州省遵义市2017届高三一模】已知动圆m与圆 外切，与圆内切，则动圆圆心m的轨迹方程为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】设动圆的半径为，由题意可得，所以，故由双曲线的定义可知动点在以为焦点，实轴长为的双曲线的右支上，即，故其标准方程为，应选答案a。2. 【宁夏石嘴山市2017届高三三模】已知为双曲线的左，右焦点，点为双曲线右支上一点，直线与圆相切，且，则双曲线的离心率为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【考点2】双曲线的几何性质【备考知识梳理】1.双曲线的几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程焦点(c,0)(0，c)焦距|f1f2|2c(c2a2+b2)范围|x|a；yrxr；|y|a顶点实轴顶点(a,0)，虚轴顶点(0，b)实轴顶点(0，a)，虚轴顶点(b,0)对称性曲线关于x轴、y轴、原点对称曲线关于x轴、y轴、原点对称离心率e(1，+)，其中c渐近线2.等轴双曲线： 实轴与虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，其标准方程为，离心率为，渐近线为.【规律方法技巧】1.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图像进行分析，围绕双曲线中的“六点”（两个顶点、两个焦点、虚轴的两个端点），“四线”（两条对称轴，两条渐近线），“两形”（中心、焦点、虚轴端点构成的特征三角形，双曲线上一点与两个交点构成的三角形），研究它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2.双曲线取值范围实质实质是双曲线上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用.3.求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出的等式或不等式，结合化出关于的式子，再利用，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围.离心率与的关系为：=.4.双曲线的渐近线方程为，可变形为，即，所以双曲线的渐近线方程可以看作把其标准方程中的1换为0得来的.4.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值.5. 双曲线上一点到双曲线一个焦点的距离的取值范围为).【考点针对训练】1. 【2017届山东省济宁市高三3月模拟】已知双曲线（， ）的左、右焦点分别为、，焦距为，抛物线的准线交双曲线左支于， 两点，且（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】由题意得，当 ，则，又因为，则 2. 【2016届江西省新余市2017届高三高考全真模拟】已知双曲线的左右焦点分别为， ，以线段为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若直线与圆相切，则双曲线的渐近线方程是a. b. c. d. 【答案】d【解析】设切点为m,则empf1,又,所以|pf1|=4r=b,所以|pf2|=2a+b,因此b2+(2a+b)2=4c2，所以b=2a，所以渐近线方程为y=2x.本题选择d选项.【考点3】直线与双曲线的位置关系【备考知识梳理】设双曲线的方程为，直线，将直线方程与双曲线方程联立，消去y得到关于x的方程.(1) 若0，当0时，直线与双曲线有两个交点.当=0时，直线与双曲线有且只有一个公共点，此时直线与双曲线相切. 当0时，直线与双曲线无公共点.（2）当=0时，直线与双曲线只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行.【规律方法技巧】1. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础2直线ykxb(k0)与椭圆相交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，则弦长|ab| |x1x2| |y1y2|.3对中点弦问题常用点差法和参数法.【考点针对训练】1. 【山西省太原市2017届高三第二次模拟】已知双曲线：的焦距为2c，直线 若，则l与的左、右两支各有一个交点；若，则l与的右支有两个不同的交点，则的离心率的取值范围为a. b. c. d. 【答案】c 2. 【广西桂林市2017届高三适应性考试】已知双曲线的标准方程为，直线与双曲线交于不同的两点，若两点在以点为圆心的同一个圆上，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】设cd的中点为e，联立直线与双曲线的方程可得： ,由 可得： 直线与双曲线有两个交点，则判别式： ，整理可得： ，解得 或 ，又 ，解得： ，综上可得实数的取值范围是.本题选择d选项.【应试技巧点拨】焦点三角形问题的求解技巧(1)所谓焦点三角形，就是以双曲线的焦点为顶点，另一个顶点在双曲线上的三角形(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识：双曲线的定义；勾股定理或余弦定理；基本不等式与三角形的面积公式离心率的求法双曲线的离心率就是的值，有些试题中可以直接求出的值再求离心率，在有些试题中不能直接求出的值，由于离心率是个比值，因此只要能够找到一个关于或的方程，通过这个方程解出或，利用公式求出，对双曲线来说，对椭圆来说，.3 有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视双曲线的定义的运用，以简化运算斜率为的直线与双曲线的交于两点，则所得弦长或，其中求与时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：，.当斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算4.求解双曲线的的离心率，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数 1. 【2017届安徽省宣城市高三第二次调研】已知双曲线两渐近线的夹角满足，焦点到渐进线的距离，则该双曲线的焦距为（ ）a. b. 或 c. 或 d. 或【答案】c 2. 【2017届四川省资阳市高三一模】已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是 （ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】由题意得， ，设，由，得 ,因为在的渐近线上存在点，则，即，又因为为双曲线，则，故选b.3.【黑龙江省大庆2017届高三考前模拟】设f1，f2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使，o为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】由，得()()0，即|2|20，所以|c，所以pf1f2中，边f1f2上的中线等于|f1f2|的一半，则pf1pf2.即|pf1|2|pf2|24c2，又|，解得|pf1|c，|pf2|c，又|pf1|pf2|cc2a.所以e1.故选a.4. 【天津市十二重点中学2017届高三第二次联考】已知双曲线的离心率为，圆心在轴的正半轴上的圆与双曲线的渐近线相切，且圆的半径为2，则以圆的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】设双曲线渐近线的方程为 ，圆心坐标为，因为圆与直线相切由点到直线距离公式可得 ，即 ，又因为离心率为 ，可得 ，所以抛物线的方程为 ，故选b.5. 【天津市河西区2017届高三二模】在平面直角坐标系中，已知双曲线： ，过的左顶点引的一条渐进线的平行线，则该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】不妨设直线的斜率为，则直线方程为，另一条渐近线方程为，联立可得交点坐标为，故三角形的面积为，应选答案c。6. 【2017届广西南宁市高三一模】设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是（ ）a. b. c. d. 5【答案】b【解析】若，则可设，因为是的一个四等分点；若,则,但此时，再由双曲线的定义，得，得到，这与矛盾；若,则，由双曲线的定义，得，则此时满足,所以 是直角三角形，且 ,所以由勾股定理，得，得,故选b.7. 【河北省武邑2017届高三四模】已知点分别为双曲线的右焦点与右支上的一点， 为坐标原点，若，且，则该双曲线的离心率为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】解：由题意可知：，由可知，点m为线段 的中点，由几何关系可得点p的坐标为 ，点在双曲线上，则： ，结合 整理得： ,由 可得： .本题选择d选项. 8. 【山西省三区八校2017届高三二模】双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右焦点为f，直线y=43x与双曲线相交于a、b两点，若afbf，则双曲线的渐进线方程为_【答案】y=2x【解析】由题意可知：双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）焦点在x轴上,右焦点f(c,0)，则y=43xx2a2-y2b2=1,整理得：9b2-16a2x2=9a2b2,即x2=9a2b29b2-16a2，a与b关于原点对称,设ax,43x,b(-x,-43x)，fa=x-c,43x,fb=(-x-c,-43x),afbf，fafb=0，即x-c-x-c+43x-43x=0,整理得：c2=259x2，a2+b2=2599a2b29b2-16a2,即9b4-32a2b2-16a4=0，(b2-4a2)9b2+4a2=0，a0,b0，9b2+4a20，b2-4a2=0，故b=2a，双曲线的渐近线方程y=bax=2x，故答案为y=2x.9. 【河北省衡水中学2017届高三二摸】已知点分别是双曲线的左、右焦点， 为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，则双曲线的焦点的取值范围为_【答案】【解析】由可得为直角三角形，=90，可得即， ，得即化为可得： ，又由双曲线中ca=1,所以双曲线的焦点的取值范围为10.【福建省莆田2017届高三二模】已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率_【答案】【解析】如图所示渐近线om的方程为 右焦点为 ，因此 ，过点向on作垂线，垂足为p，则.又因为，所以，在直角三角形中， ，所以，故在三角形omn中， ，所以,所以，即所以双曲线的离心率为 .11.【2016年江西省九江市三模】过双曲线的左焦点作圆的切线，且点为，延长交双曲线右支于点，若为的中点，则双曲线的离心率为（ )a b c d【答案】c【解析】如图所示，设双曲线的右焦点为，依题意可得，则，即.12. 【2016届云南省玉溪一中高三下第八次月考】已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为（ ）a b c d【答案】a【解析】由题意双曲线的左顶点为，抛物线的焦点为，准线方程为，又双曲线的渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，所以，解得， ，所以双曲线的焦距为.故选a.13. 【2016年河南省商丘市高三三模】 已知抛物线与双曲线的一个交点为，为抛物线的焦点，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ）a b c d【答案】a【解析】依题意,抛物线焦点,设,因为,所以,所以,代入得,所以令,得双曲线的渐近线为,即.14. 【2017届广州省惠州市高三第一次调研】双曲线：的实轴的两个端点为、，点为双曲线上除、外的一个动点，若动点满足,则动点的轨迹为（ ）（a）圆 （b）椭圆 （c）双曲线 （d）抛物线【答案】c15. 【2016届河南省禹州市名校高三三模】已知点为双曲线右支上的一点，点分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的一条渐近线的斜率为，若为的内心，且，则的值为 【答案】【解析】设内切圆半径为，由题意知，即，即.又因为，所以. 【一年原创真预测】1. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，点为双曲线上一点，若的内切圆半径为，则该双曲线的方程为（ ）abcd【答案】a 【解析】设，（），则，又，所以，即.由双曲线的定义，得，所以，.又，两式相减，得，整理，得，代入，得，则，故所求双曲线的方程为，选a.【入选理由】本题主要考查双曲线的方程和几何性质、三角形的面积公式等基础知识，意在考查学生的数据分析能力以及运算求解能力.本题双曲线的定义，与三角形的面积公式结合，有一定的新意，故选此题.2. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，分别为双曲线的左、右顶点，过 作直线，在直线上存在点，使得，则双曲线的离心率的最大值为（ ）a b c d【答案】d【解析】由题意得，由两角差的正切公式可得，（当且仅当时取等号），从而可得,两边平方得，又因为，双曲线的离心率的最大值为故选d.【入选