高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.3 平面向量的数量积试题 理 北师大版.doc

第五章 平面向量 5.3 平面向量的数量积试题 理 北师大版1向量的夹角已知两个非零向量a和b，作a，b，则aob(0180)叫作向量a与b的夹角2平面向量的数量积定义已知两个向量a和b，它们的夹角为，我们把|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积)，记作ab几何意义a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos 的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos 的乘积3.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角则(1)eaae|a|cos .(2)abab0.(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|.(4)cos .(5)|ab|a|b|.4平面向量数量积满足的运算律(1)abba；(2)(a)b(ab)a(b)(为实数)；(3)a(bc)abac.5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，由此得到(1)若a(x，y)，则|a|2x2y2或|a|.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a，b两点间的距离ab|.(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.(4)若a，b都是非零向量，是a与b的夹角，则cos .【知识拓展】1两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角ab0且a，b不共线2平面向量数量积运算的常用公式(1)(ab)(ab)a2b2.(2)(ab)2a22abb2.(3)(ab)2a22abb2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量在另一个向量方向上的射影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)由ab0可得a0或b0.()(4)(ab)ca(bc)()(5)两个向量的夹角的范围是0，()1(教材改编)已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k等于()a12 b6c6 d12答案d解析2ab(4,2)(1，k)(5,2k)，由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0，102k0，解得k12.2(2016南宁质检)已知向量a与b的夹角为30，且|a|1，|2ab|1，则|b|等于()a. b. c. d.答案c解析由题意可得ab|b|cos 30|b|,4a24abb21，即42|b|b21，由此求得|b|，故选c.3(2015广东)在平面直角坐标系xoy中，已知四边形abcd是平行四边形，(1，2)，(2,1)，则等于()a5 b4 c3 d2答案a解析四边形abcd为平行四边形，(1，2)(2,1)(3，1)23(1)15.4(2016北京)已知向量a(1，)，b(，1)，则a与b夹角的大小为_答案解析设a与b的夹角为，则cos ，又因为0，所以.5(2016厦门模拟)设xr，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，则|ab|_.答案解析ab，ab0，即x20，x2，a(2,1)，a25，b25，|ab|.题型一平面向量数量积的运算例1(1)(2016天津)已知abc是边长为1的等边三角形，点d，e分别是边ab，bc的中点，连接de并延长到点f，使得de2ef，则的值为()a b.c. d.(2)已知正方形abcd的边长为1，点e是ab边上的动点，则的值为_；的最大值为_答案(1)b(2)11解析(1)如图，由条件可知，所以()()22.因为abc是边长为1的等边三角形，所以|1，bac60，所以.(2)方法一以射线ab，ad为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则a(0，0)，b(1,0)，c(1,1)，d(0,1)，设e(t,0)，t0,1，则(t，1)，(0，1)，所以(t，1)(0，1)1.因为(1,0)，所以(t，1)(1,0)t1，故的最大值为1.方法二由图知，无论e点在哪个位置，在方向上的射影都是cb1，|11，当e运动到b点时，在方向上的射影最大，即为dc1，()max|11.思维升华平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解(1)(2016全国丙卷)已知向量，则abc等于()a30 b45 c60 d120(2)(2015天津)在等腰梯形abcd中，已知abdc，ab2，bc1，abc60.点e和f分别在线段bc和dc上，且，则的值为_答案(1)a(2)解析(1)|1，|1，cosabc，又0abc180，abc30.(2)在等腰梯形abcd中，abdc，ab2，bc1，abc60，cd1，21cos 60212cos 6012cos 120.题型二平面向量数量积的应用命题点1求向量的模例2(1)(2016西安模拟)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|，|b|2，在abc中，2a2b，2a6b，d为bc的中点，则|_.(2)在平面直角坐标系中，o为原点，a(1,0)，b(0，)，c(3,0)，动点d满足|1，则|的最大值是_答案(1)2(2)1解析(1)因为()(2a2b2a6b)2a2b，所以|24(ab)24(a22bab2)4(322cos 4)4，所以|2.(2)设d(x，y)，由(x3，y)及|1，知(x3)2y21，即动点d的轨迹为以点c为圆心的单位圆又o(1,0)(0，)(x，y)(x1，y)，|.问题转化为圆(x3)2y21上的点与点p(1，)间距离的最大值圆心c(3,0)与点p(1，)之间的距离为，故的最大值为1.即|的最大值是1.命题点2求向量的夹角例3(1)已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _.(2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_答案(1)(2)解析(1)因为a2(3e12e2)2923212cos 49，所以|a|3，因为b2(3e1e2)2923112cos 18，所以|b|2，ab(3e12e2)(3e1e2)9e9e1e22e991128，所以cos .(2)2a3b与c的夹角为钝角，(2a3b)c0，即(2k3，6)(2,1)0，4k660，k3.又若(2a3b)c，则2k312，即k.当k时，2a3b(12，6)6c，即2a3b与c反向综上，k的取值范围为.思维升华平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos ，要注意0，(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是abab0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2aa|a|2或|a|.|ab|.若a(x，y)，则|a|.(1)(2016江西高安中学等九校联考)已知平面向量a，b满足a(ab)5，且|a|2，|b|1，则向量a与b的夹角的正切值为()a. b.c d(2)在abc中，若a120，1，则|的最小值是()a. b2c. d6答案(1)b(2)c解析(1)a(ab)5，即a2ab5ab1，cosa，b，a，b，则向量a与b的夹角的正切值为，故选b.(2)1，|cos 1201，即|2，|2|22222|26，|min.题型三平面向量与三角函数例4(2015广东)在平面直角坐标系xoy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解(1)因为m，n(sin x，cos x)，mn.所以mn0，即sin xcos x0，所以sin xcos x，所以tan x1.(2)因为|m|n|1，所以mncos，即sin xcos x，所以sin，因为0x，所以x，所以x，即x.思维升华平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等(1)已知o为坐标原点，向量(3sin ，cos )，(2sin ，5sin 4cos )，且，则tan 的值为()a b c. d.(2)已知向量a(，)，ab，ab，若oab是以o为直角顶点的等腰直角三角形，则oab的面积为_答案(1)a(2)1解析(1)由题意知6sin2cos (5sin 4cos )0，即6sin25sin cos 4cos20，上述等式两边同时除以cos2，得6tan25tan 40，由于，则tan 0，解得tan ，故选a.(2)由题意得，|a|1，又oab是以o为直角顶点的等腰直角三角形，所以，|.由得(ab)(ab)|a|2|b|20，所以|a|b|，由|得|ab|ab|，所以ab0.所以|ab|2|a|2|b|22，所以|，故soab1.6利用数量积求向量夹角典例已知直线y2x上一点p的横坐标为a，直线外有两个点a(1,1)，b(3,3)求使向量与夹角为钝角的充要条件错解展示现场纠错解错解中，cos 0包含了，即，反向的情况，此时a1，故，夹角为钝角的充要条件是0a2且a1.纠错心得利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的情况1(2016北师大附中模拟)已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是()ax bx1cx5 dx0答案d2若向量a，b满足|a|b|2，a与b的夹角为60，则|ab|等于()a2 b2c4 d12答案b解析|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos 604422212，|ab|2.3(2016山西四校二联)已知平面向量a，b满足a(ab)3，且|a|2，|b|1，则向量a与b夹角的正弦值为()a b c. d.答案d解析a(ab)a2ab2221cosa，b42cosa，b3，cosa，b，又a，b0，sina，b.4.如图，在abc中，若|，ab2，ac1，e，f为bc边的三等分点，则等于()a. b. c. d.答案b解析若|，则222222，即有0.e，f为bc边的三等分点，则()()22(14)0.故选b.5(2016驻马店质检)若o为abc所在平面内任一点，且满足()(2)0，则abc的形状为()a正三角形 b直角三角形c等腰三角形 d等腰直角三角形答案c解析因为()(2)0，即()0，因为，所以()()0，即|，所以abc是等腰三角形，故选c. 6.若abc外接圆的圆心为o，半径为4，220，则在方向上的投影为()a4 b.c. d1答案c解析如图所示，取bc的中点d，连接ad，od，则由平面向量的加法的几何意义得2.又由条件得，所以2，即4，所以a，o，d共线所以oabc，所以cd为在方向上的投影因为|4，所以|3，所以| .7在abc中，m是bc的中点，am3，点p在am上，且满足2，则()的值为_答案4解析由题意得，ap2，pm1，所以()2221cos 1804.8在abc中，3，abc的面积s，则与夹角的取值范围是_答案，解析由三角形面积公式及已知条件知sabcabbcsin b，所以abbcsin b3，由3，知abbccos(b)3，所以abbc，代入得，3，所以1tan b，所以b，而与的夹角为b，其取值范围为，9(2016江西白鹭洲中学调研)已知在直角三角形abc中，acb90，acbc2，点p是斜边ab上的中点，则_.答案4解析由题意可建立如图所示的坐标系，可得a(2,0)，b(0,2)，p(1,1)，c(0，0)，则()224.10(2015福建改编)已知，|，|t，若点p是abc所在平面内的一点，且，则的最大值为_答案13解析建立如图所示坐标系，则b，c(0，t)，(0，t)，t(0，t)(1,4)，p(1,4)，(1，t4)1717213.11(2016江西玉山一中模拟)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，a与b的夹角为60.(1)若(kab)(ab)，求k的值；(2)若|kab|2，求k的取值范围解(1)(kab)(ab)，(ka