高中数学 初高中衔接读本 专题5.1 解直角三角形精讲深剖学案.doc

第1讲 解直角三角形三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系，因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。【知识梳理】知识点1. 三角形及其性质 （1）由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形，称为三角形；（2）三角形的内角和是180，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；（3）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知识点2. 解直角三角形 在rtabc中，c90，a，b，c的对边分别为a，b，c.(1)三边之间的关系：a2b2c2；(2)两个锐角之间的关系：ab90；(3)边角之间的关系：sin a，cos a，tan a； sin b，cos b，tan b.（4）三角函数值之间的关系同角三角函数之间的关系：sin2cos21；tan .互余两角的三角函数关系：若ab90，则sin acos b或sin bcos a.（5）特殊锐角的三角函数值sin cos tan 3045160直角三角形是一种特殊的三角形，因为有勾股定理及锐角三角函数的运用，使它的边角关系更加丰富，同时也为高中学习解三角形和三角函数，提供了很好的阶梯。【典例解析】1.在rtabc中，c90，若ab4，sin a，求斜边上的高cd.【分析】在rtabc中，由ab与sin a的值，求出bc的长，根据勾股定理求出ac的长，再根据面积法求出斜边上的高cd的长【解析】sin a，ab4，bcabsin a.由勾股定理可得ac，由面积法，abcdacbc，cd.【解题反思】解直角三角形时，结合图形，尽可能使用题目中给出的原始数据，一般常把锐角三角函数与勾股定理结合使用.【典例解析】2.天塔是天津市的标志性建筑之一某校数学兴趣小组要测量天塔的高度如图，他们在点a处测得天塔的最高点c的仰角为45，再往天塔方向前进至点b处测得天塔的最高点c的仰角为54，ab112 m根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度cd.(tan 360.73，结果保留整数)【分析】在等腰三角形adc中，adcd，而adabbd112bd，所以bdcd112，故又可以在直角三角形bdc中，利用bcd的正切把bd和cd联系在一起【解题反思】仰角、俯角问题是常见的实际问题，一般题目中会出现两个不同的仰角、俯角或一个仰角、一个俯角.解决此类问题时，一般是先设出未知数，用同一个未知数表示问题中不同的未知量，然后根据问题中的数量关系列出方程求解.【变式训练】1.如图，在abc中，adbc于点d，ab8，abd30，cad45，求bc的长【分析】问题为求bc，结合adbc，可转化到图中的rtabd和rtadc中分别解直角三角形求得；【解析】adbc于点d，adbadc90.在rtabd中，ab8，abd30，adab4，bdad4.在rtadc中，cad45，dcad4.bcbddc44.【点评】解三角形问题需增强图形的观察能力，将所求的线段分解是一种常见的思路。【变式训练】2.将一副三角板如图所示叠放在一起，求的值.【分析】由问题所求的线段比分别在两个三角形中，需联系相似将线段比转化为可求出得线段比；【点评】问题较为复杂时，图形观察提供了很好的解题直觉，本题运用相似完成了线段比的转换，然后再运用解直角三角形解决。【变式训练】3.某学校校门是伸缩门(如图)，伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60(如图)；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60缩小为10(如图)问：校门打开了多少米？ (结果精确到1米，参考数据：sin 50.087 2，cos 50.996 2， sin 100.173 6，cos 100.984