高考数学 命题角度4.2 空间几何体体积与距离问题大题狂练 文.doc

命题角度4.2：空间几何体体积与距离问题1.如图， 是边长为的正方形， 平面， 平面， .（）求证： ；（）求三棱锥的体积.【答案】（）见解析；（） .【解析】试题分析：（）先证明，结合，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而可得结论；（）先根据勾股定理求底面三角形的三边的长，进而根据其特性求底面三角形的面积，再根据棱锥的体积公式求解即可.（）设，连接， .由（）知， 平面，所以平面.因为平面将三棱锥分为两个三棱锥和，所以.因为正方形的边长为， ，所以， .取的中点，连接，则 .所以等腰三角形的面积为 .所以 .所以三棱锥的体积为.2. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， ， ，平面底面， 为的中点， 是棱上的点， ， （）求证：平面平面；（）若三棱锥的体积是四棱锥体积的，设，试确定的值【答案】（）见解析；（） .【解析】试题分析：（）由平面平面，且平面平面， 可证得平面，进而平面平面；（）（）由， 为的中点，可得由平面平面，可得平面设，梯形面积为，则sabq= ， ，利用即可求得.（）， 为的中点，平面平面，且平面平面，平面设，梯形面积为，则三角形的面积为，又设到平面的距离为，则，根据题意，故，为中点，所以3.如图所示，菱形与正三角形所在平面互相垂直， 平面，且， .（1）求证： 平面；（2）若，求几何体的体积.【答案】（1）见解析；（2）3.【解析】试题分析：（1）过点作于，连接，可证四边形为平行四边形，可得，根据线面平行的判定定理即可证明平面；（2）若，利用分割法，将几何体分成两个棱锥，结合棱锥的体积公式即可求几何体的体积.平面.又平面， ，.四边形为平行四边形，.平面 ， 平面，平面.（2）连接，由题意得为正三角形，.平面平面，平面，平面平面，平面.，平面 ， 平面，平面，同理，由可证平面， 平面， 平面，平面平面，到平面的距离等于的长.为四棱锥的高，.4.如图所示的几何体中，四边形为菱形， ， ， ， ，平面平面， ， 为的中点， 为平面内任一点.（1）在平面内，过点是否存在直线使？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；（2）过， ， 三点的平面将几何体截去三棱锥，求剩余几何体的体积.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：(1)利用线面平行的判断定理结合题意可知点g存在；(2)利用题意将所要求解的多面体的体积进行分解可得几何体的体积.（2）连接， ，则平面将几何体分成两部分：三棱锥与几何体（如图所示）.因为平面平面，且交线为，又，所以平面.故为几何体的高.又四边形为菱形， ， ， ，所以 ，所以 .又，所以平面，所以 ，所以几何体的体积 .5. 在三棱柱中， ， ， 为的中点.（1）证明： 平面；（2）若，点在平面的射影在上，且侧面的面积为，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：（1）连接交于点，连接.利用中点可得，所以平面.（2）取中点，连接，过点作于，连接,利用等腰三角形和射影的概念可知平面，所以，所以平面，所以.利用侧面的面积可计算得三棱锥的高，由此可计算得三棱锥的体积.试题解析：（1）证明：连接交于点，连接.则为的中点，又为的中点，所以，且平面， 平面，则平面.（2）解：取的中点，连接，过点作于点，连接.因为点在平面的射影在上，且，所以平面， ，平面，则.设，在中， ， ， ， ，由，可得.则 .所以三棱锥的体积为.6.如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形， ，且与均为正三角形， 为的重心.（1）求证： 平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）【解析】【试题分析】（1）可直接运用线面平行的判定定理推证；（2）借助三棱锥可换底的特征，运用三棱锥的体积公式建立方程求解：解：(1)连接并延长交于，连接.由梯形且，知，又为的重心， ，在中， ，故.又平面平面平面.，得，所以三棱锥的体积为.又.在中，故点到平面的距离为.7.如图，在四棱锥中， ， ， ， 平面.（1）求证： 平面；（2）若为线段的中点，且过三点的平面与线段交于点，确定点的位置，说明理由；并求三棱锥的高.【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（1）先分别利用勾股定理和线面垂直的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理进行证明；（2）利用三角形的中位线证明线线平行，进而通过四点共面确定点的位置，再利用等体积法进行求解.因为平面， 为的中点，所以到平面的距离.又，所以.由题意可知，在直角三角形中， ， ，在直角三角形中， ， ，所以.设三棱锥的高为， ，解得： ，故三棱锥的高为.8.如图，边长为2的正方形和高为2的直角梯形所在的平面互相垂直， ， ， 且.（1）求证： 平面；（2）过作平面，垂足为，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：（1）因为，通过证明平面，可证得平面.（2）利用等体积法可求体积.试题解析：（1）证明：， ，四边形为平行四边形，平面平面，且平面平面，平面，平面，平面，.在正方形中， 平面，平面.（2）解：取的中点，连接，则，连接，过作于，平面，平面，平面，与重合.在中， ， ， ，由，得，.过作，垂足为，易证平面，交于，则，且.9.如图，在各棱长为的直四棱柱中，底面为棱形， 为棱上一点，且（1）求证：平面平面；（2）平面将四棱柱分成上、下两部分，求这两部分的体积之比. （棱台的体积公式为，其中分别为上、下底面面积， 为棱台的高）【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）利用直线垂直平面的判定及面面垂直的判定定理，分析出平面 又平面平面平面（2）平面分割出一个三棱台，先求其体积，再用总的体积减去此三棱台体积，即可得到下面部分的体积.试题解析：（1）证明： 底面为菱形， 在直四棱柱中， 底面平面又平面平面平面（2）解：连接，过作交于，则则平面与侧面相交的线段为故平面将四棱柱分成上、下两部分中的上部分由三棱台组成，取的中点,连接底面为菱形， 为正三角形，即也为正三角形， 又底面平面 又四棱柱的体积为 10. 如图，四棱锥中，底面为直角梯形， ,平面平面， 分别为的中点， 为的中点，过作平面分别与交于点.（）当为中点时，求证：平面平面；（）当时，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（）要证明面面垂直，即证明线面垂直，根据条件可知，根据条