高中数学 第1章 立体几何初步 第二节 点、直线、面的位置关系8 线面垂直的综合运用学案 苏教版必修2.doc

线面垂直的综合运用一、考点突破知识点课标要求题型说明线面垂直的综合应用1. 熟记、理解线面垂直关系的判定与性质定理；2. 解题中规范使用数学语言，严格证题过程；3. 重视转化思想的应用，解题中要以寻找线线垂直作为突破选择题填空题解答题1. 考查垂直关系的命题的判定；2. 考查线线、线面、面面垂直关系的判定和性质；3. 考查平行和垂直的综合问题；4. 考查空间想象能力，逻辑思维能力和转化思想二、重难点提示重点：线面垂直关系的判定与性质定理的应用。难点：求点到面的距离，线面角及有关垂直的几何证明。考点：直线与平面的垂直1. 直线和平面垂直的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面l如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行ab【要点诠释】注意判定定理中相交条件很重要，判定定理的特征是：垂直垂直；性质定理的特征是：垂直平行。2. 判定直线和平面垂直的方法定义法。利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直，简述为“线线垂直线面垂直”。推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面。3. 直线和平面垂直的性质直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线，即线面垂直线线垂直。垂直于同一个平面的两条直线平行。垂直于同一条直线的两平面平行。4. 点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离。5. 直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离。6. 斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角，其范围是。例题1 （与定理有关的几何证明）如图，正方体abcda1b1c1d1中，ef与异面直线ac、a1d都垂直相交。求证：efbd1。思路分析：先证明bd1平面ab1c，再证明ef平面ab1c，最后说明efbd1。答案：如图所示，连接ab1、b1d1、b1c、bd，dd1平面abcd，ac平面abcd，dd1ac.又acbd，dd1bdd，ac平面bdd1b1，又bd1平面bdd1b1，acbd1，同理可证bd1b1c，又acb1cc，bd1平面ab1c，efa1d，a1db1c，efb1c，又efac，ef平面ab1c.efbd1。技巧点拨：1. 题目要求证平行关系，而条件中多为垂直关系时，常考虑线面垂直的性质定理，从垂直向平行进行转化。2. 平行与垂直的转化关系：例题2 （求点到面的距离或直线到平面的距离）已知p为abc外一点，pa、pb、pc两两垂直，papbpca，求p点到平面abc的距离。思路分析：利用垂直找到射影，然后再求垂线段长度。答案：取ab中点d，连接pd、dc，papb，abpd，又pcpa，pcpb，pc平面abp，ab面abp，abpc，pdpcp，ab平面pcd，在平面pcd内，过p作phdc于h，则abph，ph平面abc，ph即为p点到平面abc的距离，pd平面abp，pcpd，papbpca，pda，cda，ph，故p点到平面abc的距离为。技巧点拨：可以利用以下方法寻找点在平面内的射影。p为abc所在平面外一点，o为p在平面abc内的射影。（1）若p到abc三边距离相等，且o在abc的内部，则o是abc的内心；（2）若pabc，pbac，则o是abc的垂心；（3）若pa，pb，pc与底面所成的角相等，则o是abc的外心；（4）若papbpc，则o是abc的外心。例题3 （求直线与平面所成的角）如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，abad，accd，abc60，paabbc，e是pc的中点。（1）求pb和平面pad所成的角的大小；（2）证明ae平面pcd；思路分析：先找出pb和平面pad所成的角，对于线面角的定义要能灵活运用；答案：在四棱锥pabcd中，因pa底面abcd，ab平面abcd，故paab.又abad，paada，从而ab平面pad，故pb在平面pad内的射影为pa，从而apb为pb和平面pad所成的角，在rtpab中，abpa，故apb45，所以pb和平面pad所成的角的大小为45；（2）证明：在四棱锥pabcd中，因pa底面abcd，cd平面abcd，故cdpa，由条件cdac，paaca，cd平面pac，又ae平面pac，aecd，由paabbc，abc60，可得acpa，e是pc的中点，aepc，又pccdc，综上得ae平面pcd。技巧点拨：求直线与平面所成的角的一般步骤：找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解。立体几何中的分类讨论思想【满分训练】如图，在矩形abcd中，ab1，bca（a0），pa平面abcd，且pa1，问bc边上是否存在点q，使得pqqd，并说明理由。思路分析：把题目中的关系转化到矩形abcd中来研究。答案：假设存在点q，使得pqqd，连接aq，由已知pa平面abcd，且dq平面abcd，padq，又pqdq，且pqpap，pq，pa平面paq，dq平面paq，aq平面paq，aqdq.设bqx，则cqax，aq2x21，dq2（ax）21，aq2dq2ad2，x21（ax）21a2，即x2ax10（*），方程（*）的判别式a24，a0，当0，即0a0，即a2时，方程（*）有两个不等实