高中数学 第2章 数列 2.3 等差数列的前n项和学案 苏教版必修5.doc

等比数列的概念与通项公式一、考点突破知识点课标要求题型说明等差数列的前n项和1. 掌握等差数列前n项和的公式，并能运用公式解决一些简单问题；2. 体会等差数列前n项和公式与二次函数间的关系选择题填空题等差数列前n项和还要注意两点：公式推导的方法和函数的思想二、重难点提示重点：运用等差数列前n项和的公式解决一些问题。难点：等差数列前n项和公式与二次函数间的关系。考点一：等差数列前n项和公式及推导（1）等差数列的前n项和公式snna1（2） 等差数列的前n项和公式的推导：sna1a2an，snanan1a1，2sn（a1an）（a2an1）（ana1），n（a1an），snn（a1an）这种推导方法称为倒序求和法。 【核心突破】（1）由等差数列的前n项和公式及通项公式可知，若已知a1、d、n、an、sn中三个便可求出其余两个，即“知三求二”。“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解。（2）在运用等差数列的前n项和公式来求和时，一般地，若已知首项a1及末项an用公式sn较方便；若已知首项a1及公差d用公式snna1d较好。（3）在运用公式sn求和时，要注意性质“设m、n、p、q均为正整数，若mnpq，则amanapaq”的运用。（4）在求和时除了直接用等差数列的前n项和公式求和（即已知数列是等差数列）外，还要注意创设运用公式条件（即将非等差数列问题转化为等差数列问题），以利于求和。考点二：等差数列前n项和的性质数列an为等差数列，前n项和为sn，则有如下性质：（1）sm，s2msm，s3ms2m，也是等差数列，公差为m2d。（2）若项数为偶数2n（nn*），则s偶s奇nd，。（3）若项数为奇数2n1（nn*），则s奇s偶an1，。（4）若an、bn均为等差数列，前n项和分别为sn和tn，则。考点三：等差数列前n项和的最值解决等差数列前n项和的最值的基本思想是利用前n项和公式与函数的关系解决问题，即：（1）二次函数法：用求二次函数的最值的方法来求前n项和的最值，但要注意的是：。（2）图象法：利用二次函数的对称性来确定的值，使取最值。（3）通项法：当时，为使成立的最大的自然数时，最大。这是因为当时，即递增；当时，即递减。类似的，当时，则为使成立的最大的自然数时，最小。例题1（等差数列前n项和公式的应用）在等差数列an中，前n项和为sn。（1）已知s848，s12168，求a1和d；（2）已知a610，s55，求a8和s8；（3）已知a3a1540，求s17。思路分析：（1）利用前n项和公式，建立关于a1、d的方程组，解方程组求a1、d；（2）根据前n项和公式求a1、d，再求a8和s8；（3）先根据等差数列的性质求a1a17，再求s17。答案：（1）由等差数列的前n项和公式，得 解得（2）a6s6s5，s6s5a615，615，即3（a110）15，a15，d3，a8a62d16，s8844；（3）根据等差数列的性质，有a3a15a1a1740，s17340。技巧点拨：1. 本题第（3）问看似缺少条件，但注意到a3a15与a1a17的联系，便可以很容易地求出结果，所以应注意各元素之间的某些特殊联系。2. 对于两个求和公式sn和snna1，要根据题目的已知条件灵活选用。例题2（等差数列前n项和的最值）已知等差数列an中，a113且s3s11，那么n取何值时，sn取得最大值？并求出sn的最大值。思路分析：先根据前n项和公式求公差d，再求出sn的表达式，转化成二次函数在n*上的最值问题；也可求出公差d后，利用通项公式an的符号解决。答案：方法一设公差为d，由s3s11得313d1113d，d2，又a113，snn2（a1）nn214n（n7）249，当n7时，sn取得最大值，最大值是s749；方法二同方法一得d2，an132（n1）152n，由 即解得6.5n7.5，当n7时，sn取得最大值，sn的最大值是s749；方法三同方法一得d2又由s3s11知a4a5a6a7a8a9a10a114（a7a8）0，a1130，a70，a80，知数列的前7项和最大，s7713（2）49。技巧点拨：1. 本题中方法一利用二次函数的最值确定n值；方法二利用等差数列的通项公式确定n值；方法三利用等差数列的性质，由条件本身的特点确定n值。2. 求等差数列前n项和的最值的常见方法：（1）方法一：利用通项公式确定n值若a10，d0，则sn有最大值，n可由不等式组来确定；若a10，d0，则sn有最小值，n可由不等式组来确定。（2）方法二：利用二次函数的最值确定n值等差数列的前n项和为sn，当d0时，点（n，sn）是二次函数yax2bx（a0）上的间断点，因此可利用二次函数的最值确定n值。一类与等差数列有关的含绝对值的数列的求和【满分训练】已知数列为等差数列，求思路分析：所求和中关键是去掉绝对值，故