高考数学大一轮复习 第九章 解析几何 课时达标检测（五十一）圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 理.doc

课时达标检测(五十一) 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题一、全员必做题1已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是f1，f2，上、下顶点分别是b1，b2，c是b1f2的中点，若2，且.(1)求椭圆的方程；(2)点q是椭圆上任意一点，a1，a2分别是椭圆的左、右顶点，直线qa1，qa2与直线x分别交于e，f两点，试证：以ef为直径的圆与x轴交于定点，并求该定点的坐标解：(1)设f1(c,0)，f2(c,0)，b1(0，b)，则c.由题意得即即解得从而a24，故所求椭圆的方程为1.(2)证明：由(1)得a1(2,0)，a2(2,0)，设q(x0，y0)，易知x02，则直线qa1的方程为y(x2)，与直线x的交点e的坐标为，直线qa2的方程为y(x2)，与直线x的交点f的坐标为，设以ef为直径的圆与x轴交于点h(m,0)，m，则hehf，从而khekhf1，即1，即2，由1得y.所以由得m1，故以ef为直径的圆与x轴交于定点，且该定点的坐标为或.2在平面直角坐标系xoy中，已知点a(x1，y1)，b(x2，y2)是椭圆e：y21上的非坐标轴上的点，且4koakob10(koa，kob分别为直线oa，ob的斜率)(1)证明：xx，yy均为定值；(2)判断oab的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由解：(1)证明：依题意，x1，x2，y1，y2均不为0，则由4koakob10，得10，化简得y2，因为点a，b在椭圆上，所以x4y4，x4y4，把y2代入，整理得(x4y)x16y.结合得x4y，同理可得x4y，从而xx4yx4，为定值，yyy1，为定值(2)soab|oa|ob|sinaob |x1y2x2y1|.由(1)知x4y，x4y，易知y2，y1或y2，y1，soab|x1y2x2y1|1，因此oab的面积为定值1.3(2017河北质量检测)已知椭圆e：1的右焦点为f(c,0)，且abc0，设短轴的一个端点为d，原点o到直线df的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆e相交于c，g两点，且|4.(1)求椭圆e的方程；(2)是否存在过点p(2,1)的直线l与椭圆e相交于不同的两点a，b且使得24成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)由椭圆的对称性知|2a4，a2.又原点o到直线df的距离为，bc，又a2b2c24，abc0，b，c1.故椭圆e的方程为1.(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件故可设a(x1，y1)，b(x2，y2)，直线l的方程为yk(x2)1，代入椭圆方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，32(6k3)0，k.x1x2，x1x2，24，即4(x12)(x22)(y11)(y21)5，4(x12)(x22)(1k2)5，即4x1x22(x1x2)4(1k2)5，4(1k2)45，解得k，k不符合题意，舍去存在满足条件的直线l，其方程为yx.二、重点选做题1a为曲线y上任意一点，点b(2,0)为线段ac的中点(1)求动点c的轨迹e的方程；(2)过轨迹e的焦点f作直线交轨迹e于m，n两点，在圆x2y21上是否存在一点p，使得pm，pn分别为轨迹e的切线？若存在，求出p点的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设c(x，y)，a(m，n)，因为b(2,0)是ac的中点，所以所以又n，所以所求方程为x24y.(2)假设存在点p(x0，y0)，设m，n，直线mn的方程为ykx1，联立得x24kx40，则切线pm的方程为y(xx1)，将点p(x0，y0)代入化简得x2x1x04y00，同理得x2x2x04y00，所以知x1，x2是方程x22x0x4y00的两根，则x1x24y04，所以y01，代入圆的方程得x00，所以存在点p(0，1)，使得pm，pn分别为轨迹e的切线2已知椭圆m：1(ab0)的一个顶点坐标为(0,1)，离心率为，动直线yxm交椭圆m于不同的两点a，b，t(1,1)(1)求椭圆m的标准方程；(2)试问：tab的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由解：(1)由题意得，b1，又a2b2c2，所以a，c1，椭圆m的标准方程为y21.(2)由得3x24mx2m220.由题意得，16m224(m21)0，即m230，所以mb0)的离心率为e，过c1的左焦点f1的直线l：xy20被圆c2：(x3)2(y3)2r2(r0)截得的弦长为2.(1)求椭圆c1的方程；(2)设c1的右焦点为f2，在圆c2上是否存在点p，满足|pf1|pf2|？若存在，指出有几个这样的点(不必求出点的坐标)；若不存在，说明理由解：(1)直线l的方程为xy20，令y0，得x2，即f1(2,0)，c2，又e，a26，b2a2c22，椭圆c1的方程为1.(2)圆心c2(3,3)到直线l：xy20的距离d，又直线l：xy20被圆c2：(x3)2(y3)2r2(r0)截得的弦长为2，r 2，故圆c2的方程为(x3)2(y3)24.设圆c2上存在点p(x，y)，满足|pf1|pf2|，即|pf1|3|pf2|，且f1，f2的坐标分别为f1(2,0)，f2(2，0)，则3，整理得2y2，它表示圆心是c，半径是的圆|cc2| ，故有2|cc2|2，故圆c与圆c2相交，有两个公共点圆c2上存在两个不同的点p，满足|pf1|pf2|.2如图，已知椭圆1的左焦点为f，过点f的直线交椭圆于a，b两点，线段ab的中点为g，ab的中垂线与x轴和y轴分别交于d，e两点(1)若点g的横坐标为，求直线ab的斜率；(2)记gfd的面积为s1，oed(o为原点)的面积为s2.试问：是否存在直线ab，使得s1s2？说明理由解：(1)由条件可得c2a2b21，故f点坐标为(1,0)依题意可知，直线ab的斜率存在，设其方程为yk(x1)，将其代入1，整理得(4k23)x28k2x4k2120.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，所以x1x2.故点g的横坐标为，解得k，故直线ab的斜率为或.(2)假设存在直线ab，使得s1s2