高考数学 命题角度4.5 探究性问题大题狂练 理.doc

命题角度4.5：探究性问题1.在三棱柱中， 平面， ， ， ，点在棱上，且建立如图所示的空间直角坐标系（1）当时，求异面直线与的夹角的余弦值；（2）若二面角的平面角为，求的值【答案】（1） （2）【解析】试题分析：(1)结合题中的空间直角坐标系计算可得异面直线与的夹角的余弦值为.(2)二面角的平面角为，则平面的法向量，据此列方程可解得的值为 故异面直线与的夹角的余弦值为 设平面的法向量为，则 即 令，解得， ，所以平面的一个法向量为 因为二面角的平面角为，所以，即，解得或（舍），故的值为点睛：立体几何开放性问题求解方法有以下两种：(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；(2)假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在2.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形， ， ， 底面.（1）求证：平面平面；（2）在棱上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为？若存在，求出的值？若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）=.【解析】试题分析：（1）由线面垂直的性质，勾股定理分别可得、 ，从而得 平面 ， 进而可得结果；（2）以 为原点 所在直线分别为x、轴, 轴, 轴建立如图所示坐标系，分别求出平面 与平面 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：(1)在dacd中,ac=a,cd=a, ad=a 由勾股定理得:cdacpa底面abcd pacdac面pac, pa面pac,paac=acd面pac又cd面pcd平面pcd平面pac.(2)由(1)知:abac, 又pa底面abcd以a为原点ab,ac,ap所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示坐标系则a(0,0,0),b(a,0,0),c(0,a,0),d(-a,a,0),p(0,0,a) 假设点e存在,且=,则= (xe,ye-a,ze)=(0,-a,a)xe=0,ye=(1-)a,ze=a=(a,0,0) =(0,(1-)a,a), =(-a,a,0)设平面bae的法向量为=(x1,y1,z1), 平面dae的法向量为=(x2,y2,z2),则 =(0,-1) =(,-1) cos=由题意:|cos|= 即: =3(22-2+1) =2(32-2+1) =棱pc上存在一点e,使得二面角b-ae-d的平面角的余弦值为-,且此时=.【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求法向量以及面面垂直的判定定理，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.3.如图，在棱长为2的正方体中， ， ， ， 分别是棱， ， ， 的中点，点， 分别在棱， 上移动，且.（1）当时，证明：直线平面；（2）是否存在，使面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）.（2）设平面的一个法向量为，则由，得，于是可取.设平面的一个法向量为，由，得，于是可取.若存在，使面与面所成的二面角为直二面角，则，即，解得，显然满足.故存在，使面与面所成的二面角为直二面角.点睛：立体几何的有关证明题，首先要熟悉各种证明的判定定理，然后在进行证明，要多总结题型，对于二面角问题一般直接建立空间直角坐标系，求出法向量然后根据向量夹角公式求解二面角，要注意每一个坐标的准确性4.如图，在四棱锥中， ， 平面， . (1)设点为的中点，求证： 平面；(2)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）为中点 【解析】试题分析：（1）先取的中点，利用三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得平面.根据计算，利用平几知识得，再根据线面平行判定定理得平面.从而利用面面平行判定定理得平面平面.最后根据面面平行性质得平面. （2）一般利用空间直角坐标系研究线面角，先根据条件建立恰当直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求出平面法向量，根据向量数量积求出向量夹角，最后利用线面角与向量夹角关系列方程，解出点坐标，确定其位置.试题解析：(1)证明取的中点，连接，则.因为平面， 平面，所以平面. 在中， ，所以.而，所以.因为平面， 平面，所以平面. 又因为，所以平面平面.因为平面， 所以平面. （注：（1）问也可建系来证明） , 线段上存在一点， 为中点.5.如图， 中， 是的中点， ，将沿折起，使点到达点. （1）求证： 平面；（2）当三棱锥的体积最大时，试问在线段上是否存在一点，使与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）不存在.【解析】试题分析：（1）在中， 是的中点， ，所以，由折叠知，故可以证明面；（2）当面面时，三棱锥的体积最大，面面， ，面，连结，在直角三角形中，由，可以求出或者的值，即可判断是否存在点。试题解析：（1）且是的中点，由折叠知，又，面；（2）不存在，证明如下：当面面时，三棱锥的体积最大，面面， ，面，法1：连结，面，即为与平面所成的角，在直角三角形中， ，而中， ， ，设到直线的距离为，则由，得，满足条件的点不存在；法2：在直角三角形中， ， ，易求得到直线的距离为，满足条件的点不存在.法3：已证得两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则，设，则，又平面的法向量，依题意得， ，得，化简得， ，此方程无解，满足条件的点不存在.6.如图所示，等腰梯形 的底角 等于，直角梯形 所在的平面垂直于平面， ，且.（1）证明：平面平面；（2）点在线段上，试确定点的位置，使平面与平面所成二面角的余弦值为.【答案】（1）详见解析；（2）为线段的中点.【解析】试题分析：（1）先利用面面垂直和线面垂直的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理进行证明；（2）建立空间直角坐标系，利用向量共线设出点的坐标，求出平面的法向量，再利用空间向量进行求解. (2)以点为原点建立如图空间直角坐标系 ，则，设平面的法向量为，则，即，令，得，设，则，设平面的法向量为，则，即， ，得， ，解得，所以为线段的中点.7.如图，四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面平面， （1）求证：平面平面；（2）为线段上一点，若二面角的平面角与二面角的平面角大小相等，求的长【答案】()见解析; () .【解析】试题分析: (1)用面面垂直的判定定理证明; (2)由已知条件建立空间直角坐标系,由两个二面角的平面角相等,确定e的位置,求出se的长.试题解析:()平面平面， ，平面 底面，平面底面 ()取中点，连接，又因为平面底面，所以平面以为原点， 方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系平面的法向量， 平面的法向量， ， 则，设，所以由上同理可求出平面的法向量由平面、与平面所成的锐二面角的大小相等可得， 8.已知圆柱底面半径为1，高为，abcd是圆柱的一个轴截面，动点m从点b出发沿着圆柱的侧面到达点d，其距离最短时在侧面留下的曲线如图所示将轴截面abcd绕着轴逆时针旋转后，边与曲线相交于点p()求曲线长度；()当时，求点到平面apb的距离；()证明：不存在，使得二面角的大小为【答案】() () 不存在试题解析：() 在侧面展开图中为bd的长，其中ab = ad = ， 的长为; ()当时，建立如图所示的空间直角坐标系，则有、，、设平面abp的法向量为，则，取z = 2得，所以点c1到平面pab的距离为；注：本题也可以使用等积法求解 () 假设存在满足要求的，在（ii）的坐标系中， ，设平面abp的法向量为，则，取x1 = 1得，又平面abd的法向量为，由二面角的大小为，则 ，时，均有，与上式矛盾所以不存在使得二面角的大小为9.如图，在直角梯形abcd中，adbc，adc=90，ae平面abcd，efcd，bc=cd=ae=ef=1（）求证：ce平面abf；（）求证：beaf；（）在直线bc上是否存在点m，使二面角emda的大小为？若存在，求出cm的长；若不存在，请说明理由【答案】（i）见解析；（）见解析；（）在bc上存在点m，且|cm|=.【分析】（i）作 fgea，agef，连结eg交af于h，连结bh，bg，由题设条件推导出四边形aefg为正方形，从而得到cdag为平行四边形，由此能够证明ce面abf（）利用已知条件推导出bg面aefg，从而得到af平面bge，由此能够证明afbe（）以a为原点，ag为x轴，ad为y轴，ae为z轴，建立空间直角坐标系axyz利用向量法能够求出结果（）证明：在平行四边形cdag中，adc=90，bgag又由ae平面abcd，知aebg，bg面aefg，bgaf又afeg，af平面bge，afbe（）解：如图，以a为原点，ag为x轴，ae为z轴，ad为y轴，建立空间直角坐标系axyz由题意得：a（0，0，0），g（1，0，0），e（0，0，1），d（0，2，0），设m（1，y0，0），则，设面emd的一个法向量=（x，y，z），则，令y=1，得z=2，x=2y0，=（2y0，1，2）又，为面amd的法向量，二面角emda的大小为，|cos|=|=cos=，解得，在bc上存在点m，且|cm|=|=【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与直线垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断，解题时要注意向量法的合理运用10.三棱柱abca1b1c1中，abac，ab=ac=2，侧面bcc1b1为矩形，a1ab=，二面角abca1的正切值为（1）求侧棱aa1的长；（2）侧棱cc1上是否存在点d，使得直线ad与平面a1bc所成角的正切值为，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）先根据条件得到二面角abca1的平面角，结合余弦定理，同角的三角函数关系以及勾股定理建立方程即可求侧棱aa1的长；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法以及向量关系，建立方程关系进行求解即可【解答】解：（1）取bc的中点e，c1b1的中点f，则四边形aefa1为平行四边形，ab=ac=2，aebc，侧面bcc1b1为矩形，bcef，efae=e，bc平面aefa1，则bca1e，则a1ea 是二面角abca1的平面角，则tana1ea=，则sina1ea=，cosa1ea=，设aa1=x，abac，ab=ac=2，ce=be=，a1ab=，a1b2=x2+2222xcos=x2+2x+4，又a1e2=a1b2be2=x2+2x+42=x2+2x+2，在aea1中x2=a1e2+2222a1e=x2+2x+2，即=2x+2，平方整理得3x24x4=0，得x=2或x=（舍），即侧棱aa1的长为2；设平面a1bc的法向量为=（x，y，z），由=2x+yz=0，=2y=0，则y=0，令x=1，则z=2，即=