高考数学一轮复习 课时跟踪检测（四十五）立体几何中的向量方法 理（重点高中）.doc

课时跟踪检测（四十五） 立体几何中的向量方法(二)重点高中适用作业a级保分题目巧做快做1在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别为a1b1，bb1的中点，那么直线am与cn所成角的余弦值等于()a.b.c. d.解析：选d建立如图所示的空间直角坐标系，则a(1,0,0)，m，c(0,1,0)，n，.故cos，.2在直三棱柱abca1b1c1中，aa12，二面角baa1c1的大小为60，点b到平面acc1a1的距离为，点c到平面abb1a1的距离为2，则直线bc1与直线ab1所成角的正切值为()a. b.c. d2解析：选a由题意可知，bac60，点b到平面acc1a1的距离为，点c到平面abb1a1的距离为2，所以在三角形abc中，ab2，ac4，bc2，abc90，则()()4，|2，|4，cos，故tan，.3.如图所示，在三棱锥pabc中，pa平面abc，d是棱pb的中点，已知pabc2，ab4，cbab，则异面直线pc，ad所成角的余弦值为()a bc. d.解析：选d因为pa平面abc，所以paab，pabc.过点a作aecb，又cbab，则ap，ab，ae两两垂直如图，以a为坐标原点，分别以ab，ae，ap所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，p(0,0,2)，b(4,0,0)，c(4，2,0)因为d为pb的中点，所以d(2,0,1)故(4,2,2)，(2,0,1)所以cos，.设异面直线pc，ad所成的角为，则cos |cos，|.4.如图，正三棱柱abca1b1c1的所有棱长都相等，e，f，g分别为ab，aa1，a1c1的中点，则b1f与平面gef所成角的正弦值为()a. b.c. d.解析：选a设正三棱柱的棱长为2，取ac的中点d，连接dg，db，分别以da，db，dg所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则b1，f(1,0,1)，e，g(0,0,2)，(1,0，1)设平面gef的法向量n(x，y，z)，则即取x1，则z1，y，故n为平面gef的一个法向量，所以cosn，所以b1f与平面gef所成角的正弦值为.故选a.5在正方体abcd a1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为()a. b.c. d.解析：选b以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系axyz，设棱长为1，则a1(0,0,1)，e，d(0,1,0)，(0,1，1)，设平面a1ed的一个法向量为n1(1，y，z)，则即n1(1,2,2)又平面abcd的一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2.即平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为.6.如图所示，在正方体abcd a1b1c1d1中，e，f分别是正方形a1b1c1d1和正方形add1a1的中心，则ef和cd所成的角的大小是_解析：以d为原点，分别以da，dc，dd1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，设正方体的棱长为1，则d(0,0，0)，c(0，1,0)，e，f，(0,1,0)，cos，135，异面直线ef和cd所成的角的大小是45.答案：457.如图，菱形abcd中，abc60，ac与bd相交于点o，ae平面abcd，cfae，ab2，cf3.若直线fo与平面bed所成的角为45，则ae_.解析：如图，以o为原点，以oa，ob所在直线分别为x轴，y轴，以过点o且平行于cf的直线为z轴建立空间直角坐标系设aea，则b(0，0)，d(0，0)，f(1,0,3)，e(1,0，a)，(1,0,3)，(0,2，0)，(1，a)设平面bed的法向量为n(x，y，z)，则即则y0，令z1，得xa，n(a,0,1)，cosn，.直线fo与平面bed所成角的大小为45，解得a2或a(舍去)，ae2.答案：28.如图，已知四棱锥p abcd的底面abcd是等腰梯形，abcd，且acbd，ac与bd交于o，po底面abcd，po2，ab2，e，f分别是ab，ap的中点则二面角f oe a的余弦值为_解析：以o为坐标原点，ob，oc，op所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系oxyz，由题知，oaob2，则a(0，2,0)，b(2,0,0)，p(0,0,2)，e(1，1,0)，f(0，1,1)，则(1，1,0)，(0，1,1)，设平面oef的法向量为m(x，y，z)，则即令x1，可得m(1,1,1)易知平面oae的一个法向量为n(0,0,1)，则cosm，n.由图知二面角foea为锐角，所以二面角foea的余弦值为.答案：9(2017全国卷)如图，四面体abcd中，abc是正三角形，acd是直角三角形，abdcbd，abbd.(1)证明：平面acd平面abc；(2)过ac的平面交bd于点e，若平面aec把四面体abcd分成体积相等的两部分，求二面角daec的余弦值解：(1)证明：由题设可得，abdcbd，从而addc.又acd是直角三角形，所以adc90.取ac的中点o，连接do，bo，则doac，doao.又因为abc是正三角形，所以boac.所以dob为二面角dacb的平面角在rtaob中，bo2ao2ab2.又abbd，所以bo2do2bo2ao2ab2bd2，故dob90.所以平面acd平面abc.(2)由题设及(1)知，oa，ob，od两两垂直以o为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz，则a(1,0,0)，b(0，0)，c(1，0,0)，d(0,0,1)由题设知，四面体abce的体积为四面体abcd的体积的，从而e到平面abc的距离为d到平面abc的距离的，即e为db的中点，得e.故(1,0,1)，(2,0,0)，.设n(x1，y1，z1)是平面dae的法向量，则即可取n.设m(x2，y2，z2)是平面aec的法向量，则即可取m(0，1，)则cosn，m.由图知二面角daec为锐角，所以二面角daec的余弦值为.10(2017山东高考)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形abcd(及其内部)以ab边所在直线为旋转轴旋转120得到的，g是的中点(1)设p是上的一点，且apbe，求cbp的大小；(2)当ab3，ad2时，求二面角eagc的大小解：(1)因为apbe，abbe，ab平面abp，ap平面abp，abapa，所以be平面abp.又bp平面abp，所以bebp.又ebc120，所以cbp30.(2)以b为坐标原点，分别以be，bp，ba所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系由题意得a(0,0,3)，e(2,0,0)，g(1，3)，c(1，0)，故(2,0，3)，(1，0)，(2,0,3)，设m(x1，y1，z1)是平面aeg的一个法向量由可得取z12，可得平面aeg的一个法向量m(3，2)设n(x2，y2，z2)是平面acg的一个法向量由可得取z22，可得平面acg的一个法向量n(3，2)所以cosm，n.由图知二面角eagc为锐角，故所求二面角eagc的大小为60.b级拔高题目稳做准做1(2017天津高考)如图，在三棱锥pabc中，pa底面abc，bac90.点d，e，n分别为棱pa，pc，bc的中点，m是线段ad的中点，paac4，ab2.(1)求证：mn平面bde；(2)求二面角cemn的正弦值；(3)已知点h在棱pa上，且直线nh与直线be所成角的余弦值为，求线段ah的长解：由题意知，ab，ac，ap两两垂直，故以a为原点，分别以，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系依题意可得a(0，0,0)，b(2，0,0)，c(0,4,0)，p(0,0,4)，d(0,0,2)，e(0,2,2)，m(0,0,1)，n(1,2,0)(1)证明：(0,2,0)，(2,0，2)设n(x，y，z)为平面bde的法向量，则即不妨取z1，可得n(1,0,1)又(1,2，1)，可得n0.因为mn平面bde，所以mn平面bde.(2)易知n1(1,0,0)为平面cem的一个法向量设n2(x1，y1，z1)为平面emn的法向量，又(0，2，1)，(1,2，1)，则即不妨取y11，可得n2(4,1，2)因此有cosn1，n2，于是sinn1，n2.所以二面角cemn的正弦值为.(3)依题意，设ahh(0h4)，则h(0,0，h)，进而可得(1，2，h)，(2,2,2)由已知，得|cos，|，整理得10h221h80，解得h或h.所以线段ah的长为或.2.(2018东北四市模拟)如图，四棱锥pabcd的底面abcd为正方形，pa底面abcd，adap，e为棱pd的中点(1)求证：pd平面abe；(2)若f为ab的中点， (01)，试确定的值，使二面角pfmb的余弦值为.解：(1)证明：pa平面abcd，ab平面abcd，paab.又adab，paada，ab平面pad.pd平面pad，pdab.e是pd的中点，adap，aepd.又aeaba，pd平面abe.(2)以a为坐标原点，以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系axyz，令ab2，则a(0,0,0)，b(2,0,0)，p(0,0,2)，c(2,2,0)，f(1，0,0)，(1,0，2)，(1,0,0)，(2,2，2)， (01)，(2，2，2)，m(2，2，22)，(21,2，22)设平面pfm的法向量为m(x1，y1，z1)，则即令z11，则m(2，1,1)为平面pfm的一个法向量设平面bfm的法向量为n(x2，y2，z2)，则即令z2，则n(0，1，)为平面bfm的一个法向量|cosm，n|，解得.3.(2018福建质检)如图，在以a，b，c，d，e，f为顶点的多面体中，四边形acdf是菱形，fac60，abde，bcef，abbc3，af2，bf.(1)求证：平面abc平面acdf；(2)求平面aef与平面ace所成的锐二面角的余弦值解：(1)证明：设o是ac的中点，连接of，ob，fc.在abc中，abbc，所以obac.因为四边形acdf是菱形，fac60，所以fac是等边三角形，所以ofac，所以fob是二面角facb的平面角在rtfao中，af2，aoac，所以of3.在rtabo中，ab3，ao，所以ob，又bf，所以of2ob2bf2，所以fob90，所以平面abc平面acdf.(2)由(1)知，ob，oc，of两两垂直，以o为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系oxyz，则a(0，0)，b(，0,0)，c(0，0)，f(0,0,3)，所以(0，3)，(0,2，0)，因为abde，afcd，又ab平面cde，af平面cde，de平面cde，cd平面cde，所以