高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系学案 理 北师大版.doc

9.4直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲考情考向分析1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.1判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系dr相离(2)代数法：2圆与圆的位置关系设圆o1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圆o2：(xa2)2(yb2)2r(r20). 方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况相离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d2，点a(3,5)在圆外显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x30，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y5k(x3)，即kxy53k0.又圆心为(1,2)，半径r2，而圆心到切线的距离d2，即|32k|2，k，故所求切线方程为5x12y450或x30.题型一直线与圆的位置关系1已知点m(a，b)在圆o：x2y21外，则直线axby1与圆o的位置关系是()a相切 b相交c相离 d不确定答案b解析因为m(a，b)在圆o：x2y21外，所以a2b21，而圆心o到直线axby1的距离d1.所以直线与圆相交2圆x2y22x4y0与直线2txy22t0(tr)的位置关系为()a相离 b相切c相交 d以上都有可能答案c解析直线2txy22t0恒过点(1，2)，12(2)2214(2)50，点(1，2)在圆x2y22x4y0内，直线2txy22t0与圆x2y22x4y0相交，故选c.思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系(2)代数法：联立方程之后利用判断(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交题型二圆与圆的位置关系典例 已知圆c1：(xa)2(y2)24与圆c2：(xb)2(y2)21外切，则ab的最大值为()a. b. c. d2答案c解析由圆c1与圆c2外切，可得213，即(ab)29，根据基本不等式可知ab2，当且仅当ab时等号成立，ab的最大值为.引申探究1若将本典例中的“外切”变为“内切”，求ab的最大值解由c1与c2内切得1.即(ab)21，又ab2，当且仅当ab时等号成立，故ab的最大值为.2若将本典例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程解由题意把圆c1，圆c2的方程都化为一般方程，得圆c1：x2y22ax4ya20，圆c2：x2y22bx4yb230，由得(2a2b)x3b2a20，即(2a2b)x3b2a20为所求公共弦所在直线方程思维升华判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1r2，|r1r2|；(3)比较d，r1r2，|r1r2|的大小，写出结论跟踪训练 (2017重庆调研)如果圆c：x2y22ax2ay2a240与圆o：x2y24总相交，那么实数a的取值范围是 答案(2，0)(0,2)解析圆c的标准方程为(xa)2(ya)24，圆心坐标为(a，a)，半径为2.依题意得022，0|a|2.a(2，0)(0,2)题型三直线与圆的综合问题命题点1求弦长问题典例 (2016全国)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于a，b两点，过a，b分别做l的垂线与x轴交于c，d两点，若|ab|2，则|cd| .答案4解析设ab的中点为m，由题意知，圆的半径r2，|ab|2，所以|om|3，由|om|3，解得m，所以直线l：xy60.由解得a(3，)，b(0，2)，则ac的直线方程为y(x3)，bd的直线方程为y2x，令y0，解得c(2,0)，d(2,0)，所以|cd|4.命题点2直线与圆相交求参数范围典例 已知过点a(0,1)且斜率为k的直线l与圆c：(x2)2(y3)21交于m，n两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中o为坐标原点，求|mn|.解(1)由题设，可知直线l的方程为ykx1，因为l与c交于两点，所以1.解得k.所以k的取值范围为.(2)设m(x1，y1)，n(x2，y2)将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由题设可得812，解得k1，所以l的方程为yx1.故圆心c在l上，所以|mn|2.命题点3直线与圆相切的问题典例 已知圆c：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程(1)与直线l1：xy40平行；(2)与直线l2：x2y40垂直；(3)过切点a(4，1)解(1)设切线方程为xyb0，则，b12，切线方程为xy120.(2)设切线方程为2xym0，则，m5，切线方程为2xy50.(3)kac，过切点a(4，1)的切线斜率为3，过切点a(4，1)的切线方程为y13(x4)，即3xy110.思维升华 直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题跟踪训练 (1)过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的长为 答案2解析设p(3,1)，圆心c(2,2)，则|pc|，半径r2，由题意知最短的弦过p(3,1)且与pc垂直，所以最短弦长为22.(2)过点p(2,4)引圆(x1)2(y1)21的切线，则切线方程为 答案x2或4x3y40解析当直线的斜率不存在时，直线方程为x2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y4k(x2)，即kxy42k0，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即d1，解得k，所求切线方程为xy420，即4x3y40.综上，切线方程为x2或4x3y40.高考中与圆交汇问题的求解考点分析 与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质一、与圆有关的最值问题典例1 (1)已知点a，b，c在圆x2y21上运动，且abbc.若点p的坐标为(2,0)，则|的最大值为()a6 b7 c8 d9(2)过点(，0)引直线l与曲线y相交于a，b两点，o为坐标原点，当aob的面积取最大值时，直线l的斜率等于()a. b c d解析(1)a，b，c在圆x2y21上，且abbc，ac为圆的直径，故2(4,0)，设b(x，y)，则x2y21且x1,1，(x2，y)，(x6，y)故|，当x1时有最大值7，故选b.(2)saob|oa|ob|sinaobsinaob.当aob时，aob的面积最大此时o到ab的距离d.设ab的方程为yk(x)(k0)，即kxyk0.由d，得k.答案(1)b(2)b二、直线与圆的综合问题典例2 (1)已知直线l：xay10(ar)是圆c：x2y24x2y10的对称轴，过点a(4，a)作圆c的一条切线，切点为b，则|ab|等于()a2 b4c6 d2(2)在平面直角坐标系中，a，b分别是x轴和y轴上的动点，若以ab为直径的圆c与直线2xy40相切，则圆c面积的最小值为()a. b.c(62) d.解析(1)由于直线xay10是圆c：x2y24x2y10的对称轴，圆心c(2,1)在直线xay10上，2a10，a1，a(4，1)|ac|236440.又r2，|ab|240436.|ab|6.(2)aob，点o在圆c上设直线2xy40与圆c相切于点d，则点c与点o间的距离等于它到直线2xy40的距离，点c在以o为焦点，以直线2xy40为准线的抛物线上，当且仅当o，c，d共线时，圆的直径最小为|od|.又|od|，圆c的最小半径为，圆c面积的最小值为2.答案(1)c(2)a1已知圆x2y22x2ya0截直线xy20所得的弦的长度为4，则实数a的值是()a2 b4 c6 d8答案b解析将圆的方程化为标准方程为(x1)2(y1)22a，所以圆心为(1,1)，半径r，圆心到直线xy20的距离d，故r2d24，即2a24，所以a4，故选b.2圆x22xy24y30上到直线xy10的距离为的点共有()a1个 b2个c3个 d4个答案c解析圆的方程可化为(x1)2(y2)28，圆心(1，2)到直线的距离d，半径是2，结合图形可知有3个符合条件的点3(2018福州模拟)过点p(1，2)作圆c：(x1)2y21的两条切线，切点分别为a，b，则ab所在直线的方程为()ay bycy dy答案b解析圆(x1)2y21的圆心为(1,0)，半径为1，以|pc|2为直径的圆的方程为(x1)2(y1)21，将两圆的方程相减得ab所在直线的方程为2y10，即y.4(2017广州调研)若点a(1,0)和点b(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有()a1条 b2条 c3条 d4条答案c解析如图，分别以a，b为圆心，1,2为半径作圆由题意得，直线l是圆a的切线，a到l的距离为1，直线l也是圆b的切线，b到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)5(2017福建漳州八校联考)已知点p(a，b)(ab0)是圆x2y2r2内的一点，直线m是以p为中点的弦所在的直线，直线l的方程为axbyr2，那么()aml，且l与圆相交 bml，且l与圆相切cml，且l与圆相离 dml，且l与圆相离答案c解析点p(a，b)(ab0)在圆内，a2b2r，ml，l与圆相离故选c.6(2018洛阳二模)已知圆c的方程为x2y21，直线l的方程为xy2，过圆c上任意一点p作与l夹角为45的直线交l于点a，则|pa|的最小值为()a. b1c.1 d2答案d解析方法一由题意可知，直线pa与坐标轴平行或重合，不妨设直线pa与y轴平行或重合，设p(cos ，sin )，则a(cos ，2cos )，|pa|2cos sin |，|pa|的最小值为2，故选d.方法二由题意可知圆心(0,0)到直线xy2的距离d，圆c上一点到直线xy2的距离的最小值为1.由题意可得|pa|min(1)2，故选d.7(2018届南昌摸底)已知动直线l与圆o：x2y24相交于a，b两点，且满足|ab|2，点c为直线l上一点，且满足，若m是线段ab的中点，则的值为()a3 b2c2 d3答案a解析动直线l与圆o：x2y24相交于a，b两点，且满足|ab|2，则oab为等边三角形，于是可设动直线l的方程为y(x2)，根据题意可得b(2,0)，a(1，)，m是线段ab的中点，m，设c(x，y)，(2x，y)(1x，y)，解得c，3，故选a.8(2016全国)已知直线l：xy60与圆x2y212交于a，b两点，过a，b分别作l的垂线与x轴交于c，d两点，则|cd| .答案4解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得y23y60，解得x13，y1；x20，y22，a(3，)，b(0,2)过a，b作l的垂线方程分别为y(x3)，y2x，令y0，则xc2，xd2，|cd|2(2)4.9过点p(1，)作圆x2y21的两条切线，切点分别为a，b，则 .答案解析由题意，得圆心为o(0,0)，半径为1.如图所示，p(1，)，pbx轴，|pa|pb|.poa为直角三角形，其中|oa|1，|ap|，则|op|2，opa30，apb60.|cosapbcos 60.10在平面直角坐标系xoy中，圆c的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆c有公共点，则k的最大值是 答案解析圆c的标准方程为(x4)2y21，圆心为(4,0)由题意知(4,0)到kxy20的距离应不大于2，即2，整理得3k24k0，解得0k.故k的最大值是.11已知圆c：x2y22x4y10，o为坐标原点，动点p在圆c外，过p作圆c的切线，设切点为m.(1)若点p运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；(2)求满足条件|pm|po|的点p的轨迹方程解把圆c的方程化为标准方程为(x1)2(y2)24，圆心为c(1,2)，半径r2.(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x1，c到l的距离d2r，满足条件当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y3k(x1)，即kxy3k0，则2，解得k.l的方程为y3(x1)，即3x4y150.综上，满足条件的切线l的方程为x1或3x4y150.(2)设p(x，y)，则|pm|2|pc|2|mc|2(x1)2(y2)24，|po|2x2y2，|pm|po|，(x1)2(y2)24x2y2，整理，得2x4y10，点p的轨迹方程为2x4y10.12已知直线l：4x3y100，半径为2的圆c与l相切，圆心c在x轴上且在直线l的右上方(1)求圆c的方程；(2)过点m(1,0)的直线与圆c交于a，b两点(a在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点n，使得x轴平分anb？若存在，请求出点n的坐标；若不存在，请说明理由解(1)设圆心c(a,0)，则2，解得a0或a5(舍)所以圆c的方程为x2y24.(2)当直线abx轴时，x轴平分anb.当直线ab的斜率存在时，设直线ab的方程为yk(x1)，n(t,0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得(k21)x22k2xk240，所以x1x2，x1x2.若x轴平分anb，则kankbn，即0，则0，即2x1x2(t1)(x1x2)2t0，亦即2t0，解得t4，所以当点n坐标为(4,0)时，能使得anmbnm总成立13(2017安徽芜湖六校联考)在平面直角坐标系xoy中，点a(0,3)，直线l：y2x4，设圆c的半径为1，圆心在直线l上若圆c上存在点m，使|ma|2|mo|，则圆心c的横坐标a的取值范围是()a. b0,1c. d.答案a解析因为圆心在直线y2x4上，所以圆c的方程为(xa)2y2(a2)21.设点m(x，y)，因为|ma|2|mo|，所以2，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以点m在以d(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点m(x，y)在圆c上，所以圆c与