高考数学一轮复习 课时跟踪检测（二十四）正弦定理和余弦定理的应用 理（普通高中、重点高中共用）.doc

课时跟踪检测（二十四） 正弦定理和余弦定理的应用普通高中、重点高中共用作业(高考难度一般，无须挖潜)a级基础小题练熟练快1.如图，两座灯塔a和b与河岸观察站c的距离相等，灯塔a在观察站南偏西40，灯塔b在观察站南偏东60，则灯塔a在灯塔b的()a北偏东10b北偏西10c南偏东80 d南偏西80解析：选d由条件及题图可知，ab40，又bcd60，所以cbd30，所以dba10，因此灯塔a在灯塔b南偏西80.2如图，从气球a上测得正前方的河流的两岸b，c的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度bc等于()a240(1)m b180(1)mc120(1)m d30(1)m解析：选ctan 15tan(6045)2，bc60tan 6060tan 15120(1)(m)3.如图，在塔底d的正西方a处测得塔顶的仰角为45，在塔底d的南偏东60的b处测得塔顶的仰角为30，a，b的距离是84 m，则塔高cd为()a24 m b12 mc12 m d36 m解析：选c设塔高cdx m，则adx m，dbx m.又由题意得adb9060150，在abd中，利用余弦定理，得842x2(x)22x2cos 150，解得x12(负值舍去)，故塔高为12 m.4一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点a测得水柱顶端的仰角为45，沿点a向北偏东30前进100 m到达点b，在b点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()a50 m b100 mc120 m d150 m解析：选a作出示意图如图所示，设水柱高度是h m，水柱底端为c，则在abc中，a60，ach，ab100，在rtbcd中，bch，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.5一艘海轮从a处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达b处，在c处有一座灯塔，海轮在a处观察灯塔，其方向是南偏东70，在b处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么b，c两点间的距离是()a10 海里b10 海里c20 海里 d20 海里解析：选a画出示意图如图所示，易知，在abc中，ab20海里，cab30，acb45，根据正弦定理得，解得bc10(海里)6.如图，为了测量a，c两点间的距离，选取同一平面上b，d两点，测出四边形abcd各边的长度(单位：km)：ab5，bc8，cd3，da5，且b与d互补，则ac的长为()a7 kmb8 kmc9 km d6 km解析：选a在acd中，由余弦定理得：cos d.在abc中，由余弦定理得：cos b.因为bd180，所以cos bcos d0，即0，解得ac7.7海上有a，b两个小岛相距10 n mile，从a岛望c岛和b岛成60的视角，从b岛望c岛和a岛成75的视角，那么b岛和c岛间的距离是_ n mile.解析：如图，在abc中，ab10，a60，b75，c180607545，由正弦定理，得，所以bc5(n mile)答案：58.如图所示，一艘海轮从a处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15方向，与海轮相距20 n mile的b处，海轮按北偏西60的方向航行了30 min后到达c处，又测得灯塔在海轮的北偏东75的方向上，则海轮的速度为_n mile/min.解析：由已知得acb45，b60，由正弦定理得，所以ac10，所以海轮航行的速度为(n mile/min)答案：9.某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点a处测得电视塔s在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点b处，测得电视塔s在电动车的北偏东75方向上，则点b与电视塔的距离是_km.解析：如题图，由题意知ab246，在abs中，bas30，ab6，abs18075105，asb45，由正弦定理知，bs3(km)答案：310如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到a处时测得公路北侧一山顶d在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达b处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度cd_m.解析：由题意，在abc中，bac30，abc18075105，故acb45.又ab600 m，故由正弦定理得，解得bc300 m.在rtbcd中，cdbctan 30300100 (m)答案：100b级中档题目练通抓牢1某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行15 km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是()a5 km b10 kmc5 km d5 km解析：选c作出示意图(如图)，点a为该船开始的位置，点b为灯塔的位置，点c为该船后来的位置，所以在abc中，有bac603030，b120，ac15，由正弦定理，得，即bc5，即这时船与灯塔的距离是5 km.2地面上有两座相距120 m的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点o处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为()a50 m,100 m b40 m,90 mc40 m,50 m d30 m,40 m解析：选b设高塔高h m，矮塔高h m，在o点望高塔塔顶的仰角为.则tan ，tan，根据三角函数的倍角公式有.因为在两塔底连线的中点o望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在o点望矮塔塔顶的仰角为，由tan ，tan，得.联立解得h90，h40.即两座塔的高度分别为40 m,90 m.3.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形aob，c是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于ao的小路cd.已知某人从o沿od走到d用了2 min，从d沿着dc走到c用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径的长度为()a50 m b50 mc50 m d50 m解析：选b设该扇形的半径为r，连接co.由题意，得cd150(m)，od100(m)，cdo60，在cdo中，由余弦定理得，cd2od22cdodcos 60oc2，即150210022150100r2，解得r50.4.(2018惠州调研)如图所示，在一个坡度一定的山坡ac的顶上有一高度为25 m的建筑物cd，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的a处测得dac15，沿山坡前进50 m到达b处，又测得dbc45，根据以上数据可得cos _.解析：由dac15，dbc45，可得dba135，adb30.在abd中，根据正弦定理可得，即，所以bd100sin 15100sin(4530)25()在bcd中，由正弦定理得，即，解得sinbcd1.所以cos cos(bcd90)sinbcd1.答案：15.(2018福州质检)如图，小明同学在山顶a处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在a处测得公路上b，c两点的俯角分别为30，45，且bac135.若山高ad100 m，汽车从b点到c点历时14 s，则这辆汽车的速度约为_m/s(精确到0.1)参考数据：1.414，2.236.解析：因为小明在a处测得公路上b，c两点的俯角分别为30，45，所以bad60，cad45.设这辆汽车的速度为v m/s，则bc14v.在rtadb中，ab200.在rtadc中，ac100.在abc中，由余弦定理，得bc2ac2ab22acabcosbac，所以(14v)2(100)220022100200cos 135，所以v22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.答案：22.66.一艘海轮从a出发，沿北偏东75的方向航行(22)n mile 到达海岛b，然后从b出发，沿北偏东15的方向航行4 n mile到达海岛 c.(1)求ac的长；(2)如果下次航行直接从a出发到达c，求cab的大小解：(1)由题意，在abc中，abc1807515120，ab22，bc4，根据余弦定理得，ac2ab2bc22abbccosabc(22)242(22)424，所以ac2.故ac的长为2 n mile.(2)根据正弦定理得，sinbac，所以cab45.7.已知在东西方向上有m，n两座小山，山顶各有一座发射塔a，b，塔顶a，b的海拔高度分别为am100 m和bn200 m，一测量车在小山m的正南方向的点p处测得发射塔顶a的仰角为30，该测量车向北偏西60方向行驶了100 m后到达点q，在点q处测得发射塔顶b处的仰角为，且bqa，经测量tan 2，求两发射塔顶a，b之间的距离解：在rtamp中，apm30，am100，pm100.连接qm，在pqm中，qpm60，pq100，pqm为等边三角形，qm100.在rtamq中，由aq2am2qm2，得aq200.在rtbnq中，tan 2，bn200，bq100，cos .在bqa中，ba2bq2aq22bqaqcos (100)2，ba100.即两发射塔顶a，b之间的距离是100 m.c级重难题目自主选做如图所示，在一条海防警戒线上的点a，b，c处各有一个水声监测点，b，c两点到点a的距离分别为20 km和50 km.某时刻，b收到发自静止目标p的一个声波信号，8 s后a，c同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设a到p的距离为x km，用