高考数学 7.5空间几何体的面积与体积配套课件 文 北师大版.ppt

第五节空间几何体的面积与体积 三年22考高考指数 了解球 棱柱 棱锥 棱台的表面积和体积的计算公式 1 从近几年的高考来看 本节内容成为高考的一个热点 主要考查 1 常见几何体的侧面积 表面积与体积 2 几何体中有关截面的问题 3 结合三视图求空间几何体或简单组合体的表面积或体积 2 从考查形式上看 多以选择题 填空题的形式出现 有时也以解答题的形式出现 难度不大 属容易题 3 本部分内容的难点是与球有关的组合体问题 1 简单几何体的侧面积 1 s圆柱侧 r为底面半径 l为侧面母线长 2 s圆锥侧 r为底面半径 l为侧面母线长 3 s圆台侧 r1 r2分别为上 下底面半径 l为母线长 4 s直棱柱侧 c为底面周长 h为高 5 s正棱锥侧 c为底面周长 h 为斜高 2 rl rl r1 r2 l ch 6 s正棱台侧 c c分别为上 下底面周长 h 为斜高 即时应用 1 思考 四棱柱 四棱锥 四棱台是由多少个平面图形围成的多面体 它们的展开图是什么 如何计算多面体的表面积 提示 四棱柱是由6个平面图形围成的多面体 它的展开图是4个平行四边形及两个全等的四边形 四棱锥是由5个平面图形围成的多面体 它的展开图是4个三角形及一个四边形 四棱台是由6个平面图形围成的多面体 它的展开图是4个梯形及两个相似的四边形 因为多面体的各个面都是平面 所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积 表面积是侧面积与底面积的和 2 棱长为2的正四面体的表面积为 解析 正四面体的表面积为答案 3 若某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的侧面积 cm2 解析 由三视图可知该几何体是圆锥 其底面半径为3 母线长l 5 s侧 2 3 5 15 cm2 答案 15 2 柱体 锥体 台体的体积 1 v柱体 s为柱体的底面积 h为柱体的高 2 v锥体 s为锥体的底面积 h为锥体的高 3 v台体 s上 s下分别为台体的上 下底面积 h为高 sh 即时应用 1 思考 对于不规则的几何体应如何求其体积 提示 求一些不规则几何体的体积时常用割补的方法或转化成已知体积公式的几何体进行求解 2 底面直径和母线长相等的圆柱称为等边圆柱 已知一等边圆柱的底面半径为2 则其体积为 解析 由题意 圆柱的高为4 则v 22 4 16 答案 16 3 如图是一个几何体的三视图 则这个几何体的体积是 解析 由三视图知该几何体为组合体 由一个正四棱锥与一个正方体叠加构成 其中正方体的棱长为3 正四棱锥的高为1 底面正方形的边长为3 v v正方体 v正四棱锥 33 9 1 30 答案 30 3 球的表面积和体积若球的半径为r 则 1 s球面 2 v球 4 r2 即时应用 1 已知正方体外接球的体积是 那么正方体的棱长为 解析 设正方体的棱长为a 外接球的半径为r 则2r a r 由题意知答案 2 设三棱锥的3条侧棱两两垂直 其长度分别为2 4 4 则其外接球的表面积为 解析 构造长方体解题 设外接球半径为r 则 2r 2 22 42 42 36 r2 9 s球 4 r2 36 答案 36 3 一个球的半径扩大到原来的3倍 则其表面积扩大到原来的 倍 体积扩大到原来的 倍 解析 设球原来的半径为r 表面积为s表 体积为v 则扩大后的半径为3r 表面积为s 表 体积为v 答案 927 几何体的展开与折叠 方法点睛 1 求几何体表面上两点间的最短距离的方法常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开 转化为求平面上两点间的最短距离 2 解决折叠问题的技巧解决折叠问题时 要分清折叠前后两图形中 折叠前的平面图形和折叠后的空间图形 元素间的位置关系和数量关系哪些发生了变化 哪些没有发生变化 提醒 对折叠问题中的前后两个图形 在折线同侧的元素的位置关系和数量关系不发生变化 在折线异侧的元素的位置关系和数量关系发生变化 例1 1 2012 合肥模拟 圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形 则圆柱的表面积是 2 2012 南京模拟 如图 已知正三棱柱abc a1b1c1的底面边长为2cm 高为5cm 则一质点自点a出发 沿着正三棱柱的侧面绕行两周到达点a1的最短路线的长为 cm 3 如图 已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成 则该多面体的体积是 解题指南 1 根据侧面展开图求出圆柱的底面半径和高 2 将正三棱柱的侧面展开转化为平面问题来解决 3 将平面图形折叠后得到一个四棱锥 用相关公式可求得体积 规范解答 1 选b 设圆柱的底面半径为r 高为h 则由题意得解得 s圆柱表 2 rh 2 r2 16 2 将正三棱柱沿棱aa1两次展开 得到如图所示的矩形 可知最短路线长为矩形的对角线长 从而所求最短路线的长为答案 13 3 由题知该多面体为正四棱锥 底面边长为1 侧棱长为1 斜高为 连接顶点和底面中心即为高 可得高为 所以体积为答案 互动探究 本例 3 中条件不变 求该多面体的表面积 解析 由题意知 该四棱锥的侧面为边长为1的等边三角形 底面为边长为1的正方形 故其表面积为 反思 感悟 1 求几何体表面上两点间的最短距离问题的特点是 图形的性质和数量关系分散在立体图形的几个平面上或旋转体的侧面上 解题时需将图中的某些平面旋转到同一平面上 或者将曲面展开为平面 使问题得到解决 2 折叠问题是立体几何中常见的题型 几何体的展开与平面图形的折叠 体现了转化的思想 是解决立体几何问题时常用的方法 变式备选 如图 在三棱柱abc a b c 中 abc为等边三角形 aa 平面abc ab 3 aa 4 m为aa 的中点 p是bc上一点 且由p沿棱柱侧面经过棱cc 到m的最短路线长为设这条路线与cc 的交点为n 1 求该三棱柱的侧面展开图的对角线长 2 求pc与nc的长 解析 1 该三棱柱的侧面展开图是边长分别为4和9的矩形 故对角线长为 2 将该三棱柱的侧面沿棱bb 展开 如图所示 设pc x 则mp2 ma2 ac x 2 mp ma 2 ac 3 x 2 即pc 2 又nc am 几何体的表面积 方法点睛 1 几何体表面积的求法 1 多面体的表面积是各个面的面积之和 旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积的和 2 若所给的几何体是规则的柱体 锥体或台体 则可直接利用公式进行求解 3 若以三视图的形式给出 解题的关键是对给出的三视图进行分析 从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系 得到几何体的直观图 然后根据条件求解 2 旋转体侧面积的求法计算旋转体的侧面积时 一般采用转化的方法来进行 即将侧面展开化为平面图形来解决 因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法 提醒 解题中要注意表面积与侧面积的区别 对于组合体的表面积还应注意重合部分的处理 例2 1 2011 北京高考改编 某四棱锥的三视图如图所示 该四棱锥的表面积是 a 32 b 16 16 c 48 d 16 32 2 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 解题指南 1 由三视图得到几何体的形状 然后根据图中数据及面积公式计算表面积即可 2 先将三视图还原为实物图 并画出直观图 然后将三视图中的条件转化到直观图中求解 规范解答 1 选b 画出该几何体的直观图如图所示 可得斜高为表面积为 2 由三视图知 该几何体由上 下两个长方体组合而成 下面长方体的长 宽 高分别为8 10 2 上面长方体的长 宽 高分别为6 2 8 如图 s表 2 10 8 2 8 10 2 2 2 6 8 360 答案 360 互动探究 本例 2 中的条件不变 如何求该几何体的体积 解析 结合该几何体的形状 易知体积v 2 6 8 2 8 10 256 反思 感悟 1 圆柱 圆锥 圆台的侧面是曲面 计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算 而表面积是侧面积与底面圆的面积之和 2 注意对面积公式的讨论都是利用展开图进行的 解题中要注意将空间图形转化为平面图形这一方法的运用 变式备选 1 如图是一个几何体的三视图 根据图中的数据可得该几何体的表面积为 a 18 b 30 c 33 d 40 解析 选c 由三视图知该几何体由一个圆锥和一个半球组成 球半径和圆锥底面半径都等于3 圆锥的母线长等于5 所以该几何体的表面积s 2 32 3 5 33 2 如图所示 以圆柱的下底面为底面 并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥 则该圆锥与圆柱等底等高 若圆锥的轴截面是一个正三角形 则圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比为 解析 设圆锥的底面半径为r 则母线长为2r 高为 圆柱的底面半径为r 高为答案 几何体的体积 方法点睛 1 求几何体体积的思路 1 若所给定的几何体是规则的柱体 锥体或台体 则可直接利用公式进行求解 2 若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出 则常用转换法 分割法 补形法等方法进行求解 3 若以三视图的形式给出几何体 则应先根据三视图得到几何体的直观图 然后根据条件求解 2 柱体 锥体 台体的体积公式之间的关系 可表示为 提醒 在立体几何的计算题中 要有必要的推理 s s s 0 v柱体 sh 例3 1 2011 新课标全国卷 已知两个圆锥有公共底面 且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上 若圆锥底面面积是这个球面面积的则这两个圆锥中 体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 2 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形 正视图是一个底边长为8 高为4的等腰三角形 侧视图是一个底边长为6 高为4的等腰三角形 求该几何体的体积v 求该几何体的侧面积s 解题指南 1 画出组合体的截面图 利用直角三角形中的边角关系求圆锥底面圆的圆心与球心的距离即可 2 根据三视图可得到几何体的直观图 结合相应数据及公式求解即可 规范解答 1 如图 设球的半径为r 圆锥底面圆的半径为r 则依题意得 r2 4 r2 即 o co 30 oo r ao r r bo r r 答案 2 由已知可得该几何体是一个底面为矩形 高为4 顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥p abcd v 8 6 4 64 该四棱锥有两个侧面pad pbc是全等的等腰三角形 且bc边上的高为另两个侧面pab pcd也是全等的等腰三角形 ab边上的高为 互动探究 本例第 2 题条件不变 画出该几何体的直观图 解析 直观图如图所示 反思 感悟 1 求几何体的体积关键是确定几何体的形状及相关数据 利用公式求解 2 求与球有关的组合体的体积时 常遇到的困难是弄不清几何体中元素与球半径的关系 这往往会导致解题错误 变式备选 1 如图 在多面体abcdef中 已知四边形abcd是边长为1的正方形 且 ade bcf均为正三角形 ef ab ef 2 则该多面体的体积为 解析 选a 如图所示 过a b两点分别作am bn垂直于ef 垂足分别为m n 连接dm cn 可得dm ef cn ef 多面体可分为三部分 故多面体的体积为vabcdef vamd bnc ve amd vf bnc nf bf 1 bn 作nh bc于点h 则h为bc的中点 则 2 如图 在四边形abcd中 dab 90 adc 135 ab 5 cd ad 2 求四边形abcd绕ad旋转一周所成几何体的表面积及体积 解析 四边形abcd绕ad旋转一周所成的几何体 如图所示 设ce r1 ab r2 cd l1 bc l2 de h1 ae h2 则r1 2 r2 5 l1 l2 5 h1 2 h2 4 s表面 s圆台下底面 s圆台侧面 s圆锥侧面 r22 r1 r2 l2 r1l1 52 2 5 5 2 25 35 60 易错误区 球的组合体中求体积时常见的错误 典例 2011 辽宁高考 已知球的直径sc 4 a b是该球球面上的两点 ab 2 asc bsc 45 则棱锥s abc的体积为 解题指南 根据所给条件画出图形 将三棱锥s abc分为上下两部分 结合三棱锥的体积公式求解 规范解答 选c 如图 由题意可知 在三棱锥s abc中 sac和 sbc都是等腰直角三角形 其中ab 2 sc 4 sa sb ac bc 取sc的中点d 易得sc 平面abd 故所求棱锥s abc的体积等于以 abd为底的两个小三棱锥的体积的和 其高的和即为球的直径sc 故 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 湖南高考 如图是某几何体的三视图 则该几何体的体积为 解析 选b 由三视图可以得到几何体的上面是一个半径为的球 下面是一个底面边长为3高为2的正四棱柱 故其体积为 2 2011 陕西高考 某几何体的三视图如下 则它的体积是 解析 选a 由几何体的三视图可知该几何体为一个组合体 是由一个正方体中间挖去一个圆锥后得到的 所以它的体积是 3 2011 天津高考 一个几何体的三视图如图所示 单位 m 则该几何体的体积为 m3 解析 由三视图可知 该几何体由上下两部分组成 其中下面是一个长 宽 高分别为2 1 1的长方体 上面是一个长 宽 高分别为1 1 2的长方体 所以所求的体积是 v 2 1 1 1 1 2 4 答案 4 4 2012 咸阳模拟 已知某几何体的三视图如图所示 则它的体积是 解析 由题