高考数学二轮复习 专题突破练16 5.3.2 空间中的垂直与空间角 理.doc

专题突破练16空间中的垂直与空间角1.(2018湖南衡阳二模,理18)如图,ea平面abc,db平面abc,abc是等边三角形,ac=2ae,m是ab的中点.(1)证明:cmdm;(2)若直线dm与平面abc所成角的余弦值为,求二面角b-cd-e的正弦值.2.(2018北京卷,理16)如图,在三棱柱abc-a1b1c1中,cc1平面abc,d,e,f,g分别为aa1,ac,a1c1,bb1的中点,ab=bc=,ac=aa1=2.(1)求证:ac平面bef;(2)求二面角b-cd-c1的余弦值;(3)证明:直线fg与平面bcd相交.3.(2018湖南衡阳八中一模,理19)在如图所示的五面体中,四边形abcd为直角梯形,bad=adc=,平面ade平面abcd,ef=2dc=4ab=4,ade是边长为2的正三角形.(1)证明:be平面acf;(2)求二面角a-bc-f的余弦值.4.(2018宁夏银川一中一模,理19)如图,在四棱锥p-abcd中,pa面abcd,adbc,bad=90,acbd,bc=1,ad=pa=2,e,f分别为pb,ad的中点.(1)证明:acef;(2)求直线ef与平面pcd所成角的正弦值.5.(2018河北唐山三模,理19)如图,abcd中,bc=2ab=4,abc=60,paad,e,f分别为bc,pe的中点,af平面ped.(1)求证:pa平面abcd;(2)求直线bf与平面afd所成角的正弦值.6.如图,bcd是等边三角形,ab=ad,bad=90,将bcd沿bd折叠到bcd的位置,使得adcb.(1)求证:adac;(2)若m,n分别是bd,cb的中点,求二面角n-am-b的余弦值.7.(2018山东潍坊一模,理18)如图,直三棱柱abc-a1b1c1中,cc1=4,ab=2,ac=2,bac=45,点m是棱aa1上不同于a,a1的动点.(1)证明:bcb1m;(2)若平面mb1c把此棱柱分成体积相等的两部分,求此时二面角m-b1c-a的余弦值.参考答案专题突破练16空间中的垂直与空间角1.解 (1)因为abc是等边三角形,m是ab的中点,所以cmmb.db平面abc,cm平面abc,dbcm.dbmb=b,cm平面dmb.dm平面dmb,cmdm.(2)解法1:以点m为坐标原点,mc所在直线为x轴,mb所在直线为y轴,过m且与直线bd平行的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系m-xyz.因为db平面abc,所以dmb为直线dm与平面abc所成的角.由题意得cosdmb=,tandmb=2,即bd=2mb,从而bd=ac.不妨设ac=2,又ac=2ae,则cm=,ae=1.故b(0,1,0),c(,0,0),d(0,1,2),e(0,-1,1).于是=(,-1,0),=(0,0,2),=(-,-1,1),=(-,1,2),设平面bcd与平面cde的法向量分别为m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2),由令x1=1,得y1=,m=(1,0).由令x2=1,得y2=-,z2=n=cos=0.故二面角b-cd-e的正弦值为1.解法2:db平面abc,dmb为直线dm与平面abc所成的角.由题意得cosdmb=,tandmb=2,即bd=2mb,从而bd=ac.不妨设ac=2,又ac=2ae,则cm=,ae=1,ab=bc=bd=2.由于ea平面abc,db平面abc,则eabd.取bd的中点n,连接en,则en=ab=2.在rtend中,ed=,在rteac中,ec=,在rtcbd中,cd=2,取cd的中点p,连接ep,bp,be,则epcd,bpcd.所以epb为二面角b-cd-e的平面角.在rtepc中,ep=,在rtcbd中,bp=cd=,在rteab中,eb=,ep2+bp2=5=eb2,epb=90.故二面角b-cd-e的正弦值为1.2.(1)证明 在三棱柱abc-a1b1c1中,cc1平面abc,四边形a1acc1为矩形.又e,f分别为ac,a1c1的中点,acef.ab=bc,acbe,ac平面bef.(2)解 由(1)知acef,acbe,efcc1.cc1平面abc,ef平面abc.be平面abc,efbe.建立如图所示的空间直角坐标系e-xyz.由题意得b(0,2,0),c(-1,0,0),d(1,0,1),f(0,0,2),g(0,2,1).=(2,0,1),=(1,2,0).设平面bcd的法向量为n=(a,b,c),则令a=2,则b=-1,c=-4,平面bcd的法向量n=(2,-1,-4),又平面cdc1的法向量为=(0,2,0),cos=-由图可得二面角b-cd-c1为钝角,二面角b-cd-c1的余弦值为-(3)证明 平面bcd的法向量为n=(2,-1,-4),g(0,2,1),f(0,0,2),=(0,-2,1),n=-2,n与不垂直,fg与平面bcd不平行且不在平面bcd内,fg与平面bcd相交.3.(1)证明 取ad的中点o,以o为原点,oa为x轴,过o作ab的平行线为y轴,oe为z轴,建立空间直角坐标系,则b(1,1,0),e(0,0,),a(1,0,0),c(-1,2,0),f(0,4,),=(-1,-1,),=(-1,4,),=(-2,2,0),=1-4+3=0,=2-2=0,beaf,beac.又afac=a,be平面acf.(2)解 =(-2,1,0),=(-1,3,).设平面bcf的法向量n=(x,y,z),则取x=1,得n=易知平面abc的一个法向量m=(0,0,1).设二面角a-bc-f的平面角为,则cos =-二面角a-bc-f的余弦值为-4.解 (1)易知ab,ad,ap两两垂直.如图,以a为坐标原点,ab,ad,ap所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设ab=t,则相关各点的坐标为:a(0,0,0),b(t,0,0),c(t,1,0),d(0,2,0),p(0,0,2),e,f(0,1,0),从而=(t,1,0),=(-t,2,0).因为acbd,所以=-t2+2+0=0.解得t=或t=-(舍去).于是=(,1,0).因为=-1+1+0=0,所以,即acef.(2)由(1)知,=(,1,-2),=(0,2,-2).设n=(x,y,z)是平面pcd的一个法向量,则令z=,则n=(1,).设直线ef与平面pcd所成的角为,则sin =|cos|=即直线ef与平面pcd所成角的正弦值为5.解 (1)连接ae,因为af平面ped,ed平面ped,所以afed,在abcd中,bc=2ab=4,abc=60,ae=2,ed=2,从而有ae2+ed2=ad2.aeed.afae=a,ed平面pae.pa平面pae,edpa.paad,aded=d,pa平面abcd.(2)以a为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则a(0,0,0),d(0,4,0),b(,-1,0),e(,1,0).af平面ped,afpe.f为pe的中点,pa=ae=2,p(0,0,2),f=(0,4,0),设平面afd的法向量为n=(x,y,z),由得令z=1,得n=设直线bf与平面afd所成的角为,则sin =|cos|=即直线bf与平面afd所成角的正弦值为6.解 (1)证明:bad=90,adab.cbad,且abcb=b,ad平面cab.ac平面cab,adac.(2)bcd是等边三角形,ab=ad,bad=90,不妨设ab=1,则bc=cd=bd=m,n分别为bd,cb的中点,由此以a为原点,以ab,ad,ac所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系a-xyz.则有a(0,0,0),b(1,0,0),d(0,1,0),c(0,0,1),m,n,0,设平面amn的法向量为m=(x,y,z),则即令x=1,则y=z=-1,m=(1,-1,-1).又平面abm的一个法向量是n=(0,0,1),cos=-,二面角n-am-b的余弦值为7.(1)证明 在abc中,由余弦定理得,bc2=4+8-222cos 45=4,bc=2,则有ab2+bc2=8=ac2,abc=90,bcab.又bcbb1,bb1ab=b,bc平面abb1a1,又b1m平面abb1a1,bcb1m.(2)解 由题设知,平面把此三棱柱分成两个体积相等的几何体为四棱锥c-abb1m和四棱锥b1-a1mcc1.由(1)知四棱锥c-abb1m的高为bc=2,224=8,v柱=4,又bc=4,=6=2,am=2.此时m为aa1中点.以点b为坐标原点,的方向为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系b-xyz