高考数学一轮复习 第12章 选4系列 12.1 坐标系学案 文.doc

121坐标系知识梳理1伸缩变换设点p(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点p(x，y)对应到点p(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数3极坐标与直角坐标的互化设m是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则它们之间的关系为：诊断自测1概念思辨(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系()(2)点p的直角坐标为(，)，那么它的极坐标可表示为.()(3)过极点作倾斜角为的直线的极坐标方程可表示为或.()(4)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点o的圆的极坐标方程为2asin.()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(选修a44p15t4)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y1x(0x1)的极坐标方程为()a，0b，0ccossin，0dcossin，0答案a解析y1x(0x1)，sin1cos(0cos1)；.故选a.(2)(选修a44p8t5)通过平面直角坐标系中的平移变换和伸缩变换，可以把椭圆1变为圆心在原点的单位圆，求上述平移变换和伸缩变换，以及这两种变换的合成的变换解先通过平移变换把椭圆1变为椭圆1；再通过伸缩变换把椭圆1变为单位圆x2y21.上述两种变换的合成变换是3小题热身(1)(2017东营模拟)在极坐标系中，已知点p，则过点p且平行于极轴的直线方程是()asin1 bsin ccos1 dcos答案a解析先将极坐标化成直角坐标表示，p转化为点xcos2cos，ysin2sin1，即(，1)，过点(，1)且平行于x轴的直线为y1，再化为极坐标为sin1.故选a.(2)(2016北京高考)在极坐标系中，直线cossin10与圆2cos交于a，b两点，则|ab|_.答案2解析将cossin10化为直角坐标方程为xy10，将2cos化为直角坐标方程为(x1)2y21，圆心坐标为(1,0)，半径r1，又(1,0)在直线xy10上，所以|ab|2r2.题型1平面直角坐标系中的伸缩变换将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线c.(1)求曲线c的标准方程；(2)设直线l：2xy20与c的交点为p1，p2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段p1p2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程由题意找出(x，y)与(x1，y1)的关系，采用代入法求解解(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线c上点(x，y)，依题意，得由xy1得x221，故曲线c的方程为x21.(2)由解得或不妨设p1(1,0)，p2(0,2)，则线段p1p2的中点坐标为，所求直线斜率为k，于是所求直线方程为y1，化为极坐标方程，并整理得2cos4sin3，故所求直线的极坐标方程为.方法技巧伸缩变换后方程的求法平面上的曲线yf(x)在变换：的作用下的变换方程的求法是将代入yf(x)，得f，整理之后得到yh(x)，即为所求变换之后的方程见典例提醒：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的坐标(x，y)冲关针对训练求双曲线c：x21经过：变换后所得曲线c的焦点坐标解设曲线c上任意一点p(x，y)，将代入x21，得1，化简得1，即1为曲线c的方程，可见仍是双曲线，则焦点f1(5,0)，f2(5,0)即为所求题型2极坐标与直角坐标的互化(2015全国卷)在直角坐标系xoy中，直线c1：x2，圆c2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求c1，c2的极坐标方程；(2)若直线c3的极坐标方程为(r)，设c2与c3的交点为m，n，求c2mn的面积 (1)用转化公式；(2)理解1，2的几何意义，化成的二次方程后，利用韦达定理求1，2.解(1)因为xcos，ysin，所以c1的极坐标方程为cos2，c2的极坐标方程为22cos4sin40.(2)将代入22cos4sin40，得2340，解得12，2.故12，即|mn|.由于c2的半径为1，所以c2mn的面积为.方法技巧极坐标方程与直角坐标方程的互化1直角坐标方程化为极坐标方程：将公式xcos及ysin直接代入直角坐标方程并化简即可2极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如cos，sin，2的形式，再应用公式进行代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形技巧冲关针对训练(2016北京高考改编)在极坐标系中，已知极坐标方程c1：cossin10，c2：2cos.求曲线c1，c2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状解由c1：cossin10，xy10，表示一条直线由c2：2cos，得22cos.x2y22x，即(x1)2y21.所以c2是圆心为(1,0)，半径r1的圆题型3极坐标方程的应用(2016全国卷)在直角坐标系xoy中，圆c的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求c的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与c交于a，b两点，|ab|，求l的斜率解方程组利用韦达定理求|12|即可解(1)由xcos，ysin，可得圆c的极坐标方程为212cos110.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(r)设a，b所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入c的极坐标方程，得212cos110.于是1212cos，1211.|ab|12|.由|ab|，得cos2，tan.所以l的斜率为或.方法技巧极坐标方程及其应用的类型及解题策略1求极坐标方程可在平面直角坐标系中，求出曲线方程，然后再转化为极坐标方程2求点到直线的距离先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解3求线段的长度先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后再求线段的长度冲关针对训练在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为(其中为参数)，曲线c2：(x1)2y21.以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线c1的普通方程和曲线c2的极坐标方程；(2)若射线(0)与曲线c1，c2分别交于a，b两点，求|ab|.解(1)由得所以曲线c1的普通方程为x2(y2)27.把xcos，ysin代入(x1)2y21，得(cos1)2(sin)21，化简得曲线c2的极坐标方程为2cos.(2)依题意可设a，b.因为曲线c1的极坐标方程为24sin30，将(0)代入曲线c1的极坐标方程，得2230，解得13.同理，将(0)代入曲线c2的极坐标方程，得2，所以|ab|12|3.1(2017南阳期末)直线l：ykx20与曲线c：2cos有交点，则k的取值范围是()ak bkckr dkr但k0答案a解析由曲线c：2cos化为22cos，x2y22x，联立化为(1k2)x2(4k2)x40.直线l与曲线c有交点，(4k2)216(1k2)0，化为16k12，解得k.k的取值范围是k.故选a.2(2017甘谷期末)在极坐标系(，)(02)中，曲线2sin与cos1的交点的极坐标为()a. b.c. d.答案b解析由可得sin21，再根据00)，m的极坐标为(1，)(10)由题设知|op|，|om|1.由|om|op|16得c2的极坐标方程为4cos(0)因此c2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点b的极坐标为(b，)(b0)由题设知|oa|2，b4cos，于是oab的面积s|oa|bsinaob4cos22.当时，s取得最大值2.所以oab面积的最大值为2.基础送分 提速狂刷练1(2018延庆县期末)在极坐标方程中，与圆4sin相切的一条直线的方程是()asin2 bcos2ccos4 dcos4答案b解析4sin的普通方程为x2(y2)24，选项b：cos2的普通方程为x2.圆x2(y2)24与直线x2显然相切故选b.2(2017渭滨区月考)在极坐标系中，a，b，c，则abc的形状为()a直角三角形 b等腰三角形c等边三角形 d钝角三角形答案c解析b，oa5，ob8，oc3，aob，boc，aoc，在aob中，由余弦定理可得ab7，同理可得，bc7，ac7，abbcac，abc是等边三角形故选c.3牛顿在1736年出版的流数术和无穷级数中，第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点，牛顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系在极坐标系下，已知圆o：cossin和直线l：sin.(1)求o和直线l的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线l与圆o的公共点的极坐标解(1)圆o：cossin，即2cossin，故圆o的直角坐标方程为x2y2xy0，直线l：sin，即sincos1，则直线l的直角坐标方程为xy10.(2)由(1)知圆o与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得解得即圆o与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为.4(2018郑州模拟)在极坐标系中，曲线c1，c2的极坐标方程分别为2cos，cos1.(1)求曲线c1和c2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线c2相交于点q，在oq上取一点p，使|op|oq|2，求点p的轨迹，并指出轨迹是什么图形解(1)c1的直角坐标方程为(x1)2y21，它表示圆心为(1,0)，半径为1的圆，c2的直角坐标方程为xy20，所以曲线c2为直线，由于圆心到直线的距离为d1，所以直线与圆相离，即曲线c1和c2没有公共点(2)设q(0，0)，p(，)，则即因为点q(0，0)在曲线c2上，所以0cos1，将代入，得cos1，即2cos为点p的轨迹方程，化为直角坐标方程为221，因此点p的轨迹是以为圆心，1为半径的圆5(2017湖北模拟)在极坐标系中，曲线c：2acos(a0)，l：cos，c与l有且仅有一个公共点(1)求a；(2)o为极点，a，b为曲线c上的两点，且aob，求|oa|ob|的最大值解(1)曲线c：2acos(a0)，变形22acos，化为x2y22ax，即(xa)2y2a2.曲线c是以(a,0)为圆心，a为半径的圆由l：cos，展开为cossin，l的直角坐标方程为xy30.由题可知直线l与圆c相切，即a，解得a1.(2)不妨设a的极角为，b的极角为，则|oa|ob|2cos2cos3cossin2cos，当时，|oa|ob|取得最大值2.6(2018沈阳模拟)在直角坐标系xoy中，以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系已知圆c的极坐标方程为24cos60.(1)将极坐标方程