高三数学一轮复习 三角函数与平面向量的综合应用热点专题突破课件.ppt

热点专题突破系列 二 三角函数与平面向量的综合应用 考点1三角函数的求值与平面向量的综合 典例1 2014 中山模拟 已知向量a sin 2 与b 1 cos 互相垂直 其中 1 求cos sin 的值 2 若5cos cos 0 求cos 的值 解题视点 1 由向量a与b互相垂直列关于sin cos 的方程 解方程即可 2 承接 1 的结论 利用两角差的余弦公式解答 规范解答 1 因为a b 所以a b sin 2cos 0 即sin 2cos 又sin2 cos2 1 所以4cos2 cos2 1 即cos2 因为 所以 2 由5cos cos 得5 cos cos sin sin cos 即所以sin cos 因为 所以 规律方法 平面向量在三角函数求值中的应用步骤 1 此类题目的特点是所给向量的坐标用关于某角的正 余弦给出 把向量垂直或共线转化为关于该角的三角函数的等式 2 利用三角恒等变换进行条件求值 变式训练 已知向量b cosx 1 1 若 a b a b 求cos2x的值 2 若a b 求cos2x sin2x的值 解析 1 因为 a b a b a b a b 所以 a b a b sin2x cos2x 0 即cos2x 2 因为a b 所以 sinx cosx 0 即tanx 所以cos2x sin2x 加固训练 设向量a 4cos sin b sin 4cos c cos 4sin 1 若a与b 2c垂直 求tan 的值 2 求 b c 的最大值 3 若tan tan 16 求证 a b 解析 1 因为b 2c sin 2cos 4cos 8sin a与b 2c垂直 所以4cos sin 2cos sin 4cos 8sin 0 即sin cos cos sin 2 cos cos sin sin 所以sin 2cos 所以tan 2 2 因为b c sin cos 4cos 4sin 所以 b c 所以当sin2 1时 b c 取最大值 且最大值为 3 因为tan tan 16 所以即sin sin 16cos cos 所以 4cos 4cos sin sin 即a 4cos sin 与b sin 4cos 共线 所以a b 考点2三角函数的性质与平面向量的综合 典例2 2014 杭州模拟 已知平面向量a cos sin b cosx sinx c sin cos 其中0 且函数f x a b cosx b c sinx的图象过点 1 求 的值及函数f x 的单调增区间 2 先将函数y f x 的图象向左平移个单位 然后将得到函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍 纵坐标不变 得到函数y g x 的图象 求函数y g x 在上的最大值和最小值 解题视点 1 由平面向量数量积的运算及三角函数的相关公式化简函数解析式 由函数f x 的图象过定点确定 的值 并由此求函数f x 的单调增区间 2 先根据图象变换的法则确定函数g x 的表达式 并由此根据给定的范围求函数g x 的最值 规范解答 1 因为a b cos cosx sin sinx cos x b c cosxsin sinxcos sin x 所以f x a b cosx b c sinx cos x cosx sin x sinx cos x x cos 2x 即f x cos 2x 所以而0 所以 所以由2k 2x 2k 得即f x 的单调增区间为 2 由 1 得 f x 平移后的函数为于是当x 时 所以即当x 时 g x 取得最小值当x 时 g x 取得最大值1 规律方法 平面向量与三角函数性质的综合问题的解法 1 利用平面向量的数量积把向量问题转化为三角函数的问题 2 利用三角函数恒等变换公式 尤其是辅助角公式 化简函数解析式 3 根据化简后的函数解析式研究函数的性质 变式训练 2014 金华模拟 已知向量a cos x sin x sin x b cos x sin x cos x 设函数f x a b x r 的图象关于直线x 对称 其中 为常数 且 1 1 求f x 的最小正周期 2 若y f x 的图象经过点 0 求函数f x 在区间 0 上的取值范围 解析 1 f x a b cos x sin x cos x sin x sin xcos x cos2 x sin2 x 2sin 2 x 因为函数f x 的图象关于直线x 对称 所以sin 2 1 即2 k k z 所以 k z 因为 1 所以 所以t 2 因为y f x 的图象经过点 0 所以得f 0 所以 2sin 2sin 因为x 0 所以所以f x 加固训练 2013 成都模拟 已知o为坐标原点 2sin2x 1 1 sinxcosx 1 f x 1 求y f x 的单调递增区间 2 若f x 的定义域为值域为 2 5 求m的值 解析 1 f x 2sin2x sinxcosx 1 m 1 cos2x sin2x 1 m由得y f x 的单调递增区间为 2 当 x 时 所以所以1 m f x 4 m 所以 m 1 考点3平面向量在三角形计算中的应用 典例3 2014 黄山模拟 已知 abc的面积是30 三内角a b c所对边长分别为a b c cosa 1 求 2 若c b 1 求a的值 解题视点 1 由cosa 可求得sina的值 根据 abc的面积可求得bc的值 利用平面向量数量积公式求的值 2 由边的关系及余弦定理求a的值 规范解答 1 由cosa 得s abc 2 因为c b 1 bc 156 所以a2 b2 c2 2bccosa c b 2 2bc bc即a 5 规律方法 平面向量与三角形计算综合问题的解法 1 利用平面向量数量积的计算公式 把问题转化为三角形中的计算问题 在三角形中 结合三角形内角和公式 正余弦定理 三角形的面积公式进行相关计算 2 先在三角形中利用相关公式进行计算 再按要求求向量的数量积 夹角 模等 提醒 解决三角形中向量夹角问题的思维误区是不注意向量的方向 从而弄错向量的夹角 变式训练 2014 天津模拟 abc的三个内角a b c所对的边分别为a b c 向量m 1 1 n 且m n 1 求a的大小 2 现给出下列四个条件 a 1 b 2sinb 2c 1 b 0 b 45 试从中再选择两个条件以确定 abc 求出你所确定的 abc的面积 解析 1 因为m n 所以 cosbcosc sinbsinc即cosbcosc sinbsinc cos b c 因为a b c 180 所以cos b c cosa 所以cosa 又0 a 180 所以a 30 2 方法一 选择 可确定 abc 因为a 30 a 1 2c 1 b 0 由余弦定理整理得所以s abc bcsina 方法二 选择 可确定 abc 因为a 30 a 1 b 45 所以c 105 因为sin105 sin 60 45 sin60 cos45 cos60 sin45 由正弦定理得所以s abc 加固训练 2013 济南模拟 在 abc中 角a b c的对边分别为a b