高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 8.7 抛物线学案 理.doc

8.7抛物线知识梳理1抛物线的定义平面内到一个定点f和一条定直线l(fl)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点f叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质3必记结论(1)抛物线y22px(p0)上一点p(x0，y0)到焦点f的距离|pf|x0，也称为抛物线的焦半径(2)y2ax的焦点坐标为，准线方程为x.(3)直线ab过抛物线y22px(p0)的焦点，交抛物线于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，如图y1y2p2，x1x2.|ab|x1x2p，x1x22p，即当x1x2时，弦长最短为2p.为定值.弦长ab(为ab的倾斜角)以ab为直径的圆与准线相切焦点f对a，b在准线上射影的张角为90.诊断自测1概念思辨(1)平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a.()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(选修a11p64a组t2)抛物线yx2(a0)的焦点坐标为()a.或 b.c. d.答案c解析把方程写成x2ay，若a0，则p，焦点为f；若a0，则p，开口向下，焦点为f.故选c.(2)(选修a11p61例4)若过抛物线y28x的焦点作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的弦长为()a8 b16 c32 d64答案b解析由抛物线y28x的焦点为(2,0)，得直线的方程为yx2，代入y28x，得(x2)28x，即x212x40，所以x1x212，弦长为x1x2p12416.故选b.3小题热身(1)抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()a. b. c1 d.答案b解析由抛物线y24x，有2p4p2，焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为yx，不妨取其中一条xy0，由点到直线的距离公式，有d.故选b.(2)(2018正定一模)如图，正方形abcd和正方形defg的边长分别为a，b(a0)经过c，f两点，则_.答案1解析|od|，|de|b，|dc|a，|ef|b，故c，f，又抛物线y22px(p0)经过c，f两点，从而有即b2a22ab，2210，又1，1.题型1抛物线的定义及应用(2016浙江高考)若抛物线y24x上的点m到焦点的距离为10，则m到y轴的距离是_抛物线定义法答案9解析设m(x0，y0)，由抛物线方程知焦点f(1,0)根据抛物线的定义得|mf|x0110，x09，即点m到y轴的距离为9.条件探究1将典例条件变为“过该抛物线焦点f的直线交抛物线于a、b两点，若|af|3”，求aob的面积解焦点f(1,0)，设a，b分别在第一、四象限，则点a到准线l：x1的距离为3，得a的横坐标为2，纵坐标为2，ab的方程为y2(x1)，与抛物线方程联立可得2x25x20，所以b的横坐标为，纵坐标为，saob1(2).条件探究2将典例条件变为“在抛物线上找一点m，使|ma|mf|最小，其中a(3,2)”求m点坐标及此时的最小值解如图，点a在抛物线y24x的内部，由抛物线的定义可知，|ma|mf|ma|mh|，其中|mh|为m到抛物线的准线的距离过a作抛物线准线的垂线交抛物线于m1，垂足为b，则|ma|mf|ma|mh|ab|4，当且仅当点m在m1的位置时等号成立此时m1点的坐标为(1,2)方法技巧利用抛物线的定义可解决的常见问题1轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线见典例2距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化见条件探究2.3看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径冲关针对训练(2017湖北二模)设f为抛物线y24x的焦点，a，b，c为该抛物线上三点，若0，则|fa|fb|fc|的值为()a3 b6 c9 d12答案b解析抛物线y24x焦点坐标为f(1,0)，准线方程x1，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)0，点f是abc重心，则1，x1x2x33.由抛物线的定义可知：|fa|fb|fc|(x11)(x21)(x31)6，|fa|fb|fc|6，故选b.题型2抛物线的标准方程及性质设抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，点m在c上，|mf|5，若以mf为直径的圆过点(0,2)，则c的方程为()ay24x或y28x by22x或y28xcy24x或y216x dy22x或y216x本题采用待定系数法，列方程求解答案c解析以mf为直径的圆过点(0,2)，点m在第一象限由|mf|xm5可得m，以mf为直径的圆，其圆心n为，点n的横坐标恰好等于圆的半径，圆与y轴切于点(0,2)，从而2，即p210p160，解得p2或p8，抛物线方程为y24x或y216x.故选c.(2016天津高考)设抛物线(t为参数，p0)的焦点为f，准线为l.过抛物线上一点a作l的垂线，垂足为b.设c，af与bc相交于点e.若|cf|2|af|，且ace的面积为3，则p的值为_答案解析根据题意作出如图所示图形，由已知得抛物线的方程为y22px(p0)，则|fc|3p，|af|ab|p，不妨设a在第一象限，则a(p，p)易证efceab，所以2，所以，所以sacesafcppp23，所以p.方法技巧确定及应用抛物线性质的关键与技巧1关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程见典例1.2技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解见典例2.冲关针对训练1.如图，过抛物线y22px(p0)的焦点f的直线交抛物线于点a，b，交其准线l于点c，若|bc|2|bf|，且|af|3，则此抛物线的方程为()ay29x by26xcy23x dy2x答案c解析设a，b在准线上的射影分别为a1，b1，由于|bc|2|bf|2|bb1|，则直线l的斜率为，故|ac|2|aa1|6，从而|bf|1，|ab|4，故，即p，从而抛物线的方程为y23x，故选c.2(2018河南洛阳统考)已知f1，f2分别是双曲线3x2y23a2(a0)的左、右焦点，p是抛物线y28ax与双曲线的一个交点，若|pf1|pf2|12，则抛物线的准线方程为_答案x2解析将双曲线方程化为标准方程得1，可得f2(2a,0)，又易知其也是抛物线的焦点，联立x3a，即点p的横坐标为3a.而由|pf2|6a，|pf2|3a2a6a，得a1，抛物线的准线方程为x2.题型3直线与抛物线的综合问题角度1直线与抛物线的交点问题(2016全国卷)在直角坐标系xoy中，直线l：yt(t0)交y轴于点m，交抛物线c：y22px(p0)于点p，m关于点p的对称点为n，连接on并延长交c于点h.(1)求；(2)除h以外，直线mh与c是否有其他公共点？说明理由本题采用方程组法解(1)由已知得m(0，t)，p.又n为m关于点p的对称点，故n，故on的方程为yx，将其代入y22px，整理得px22t2x0，解得x10，x2，因此h.所以n为oh的中点，即2.(2)直线mh与c除h以外没有其他公共点理由如下：直线mh的方程为ytx，即x(yt)代入y22px，得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线mh与c只有一个公共点，所以除h以外直线mh与c没有其他公共点角度2与抛物线弦中点有关的问题 (2018郑州模拟)已知抛物线c：ymx2(m0)，焦点为f，直线2xy20交抛物线c于a，b两点，p是线段ab的中点，过p作x轴的垂线交抛物线c于点q.(1)求抛物线c的焦点坐标；(2)若抛物线c上有一点r(xr,2)到焦点f的距离为3，求此时m的值；(3)是否存在实数m，使abq是以q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由解(1)抛物线c：x2y，它的焦点f.(2)|rf|yr，23，得m.(3)存在，联立方程消去y得mx22x20，依题意，有(2)24m(2)0m.设a(x1，mx)，b(x2，mx)，则(*)p是线段ab的中点，p，即p，q.得，若存在实数m，使abq是以q为直角顶点的直角三角形，则0，即0，结合(*)化简得40，即2m23m20，m2或m，而2，.存在实数m2，使abq是以q为直角顶点的直角三角形方法技巧解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法1有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|ab|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式2涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法见角度2典例提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解冲关针对训练已知点f为抛物线e：y22px(p0)的焦点，点a(2，m)在抛物线e上，且|af|3.(1)求抛物线e的方程；(2)已知点g(1,0)，延长af交抛物线e于点b，证明：以点f为圆心且与直线ga相切的圆，必与直线gb相切解(1)由抛物线的定义得|af|2.因为|af|3，即23，解得p2，所以抛物线e的方程为y24x.(2)证明：因为点a(2，m)在抛物线e：y24x上，所以m2.由抛物线的对称性，不妨设a(2,2)由a(2,2)，f(1,0)可得直线af的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而b.又g(1,0)，所以kga，kgb，所以kgakgb0，从而agfbgf，这表明点f到直线ga，gb的距离相等，故以f为圆心且与直线ga相切的圆必与直线gb相切题型4抛物线中的最值问题(2017成都四模)如图所示点f是抛物线y28x的焦点，点a，b分别在抛物线y28x及圆x2y24x120的实线部分上运动，且ab总是平行于x轴，则fab的周长的取值范围是()a(6,10) b(8,12) c6,8 d8,12利用抛物线定义，圆的半径及ab长表示出fab的周长为xb6，再确定xb的范围即可答案b解析抛物线的准线l：x2，焦点f(2,0)，由抛物线定义可得|af|xa2，圆(x2)2y216的圆心为(2,0)，半径为4，fab的周长|af|ab|bf|xa2(xbxa)46xb.由抛物线y28x及圆(x2)2y216可得交点的横坐标为2，xb(2,6)，6xb(8,12)故选b.抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值是_ .平移直线法答案解析如图，设与直线4x3y80平行且与抛物线yx2相切的直线为4x3yb0，切线方程与抛物线方程联立得消去y整理得3x24xb0，则1612b0，解得b，所以切线方程为4x3y0，抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值是这两条平行线间的距离d.方法技巧与抛物线有关的最值问题，一般通过数形结合思想或函数方程思想来解决注意“定义转化法”(典例1)，“平移直线法”(典例2)冲关针对训练(2017浙江模拟)已知f为抛物线4y2x的焦点，点a，b都是抛物线上的点且位于x轴的两侧，若15(o为原点)，则abo与afo的面积之和的最小值为()a. b. c. d.答案d解析设直线ab的方程为：xtym，a(x1，y1)，b(x2，y2)，直线ab与x轴的交点为m(m,0)，可得4y2tym0，根据韦达定理有y1y2，15，x1x2y1y215，从而16(y1y2)2y1y2150.y1y21或y1y2.点a，b位于x轴的两侧，y1y21，故m4.不妨令点a在x轴上方，则y10，又f，sabosafo4(y1y2)y1y12，当且仅当y1，即y1时，取“”号，abo与afo面积之和的最小值是，故选d.1.(2016全国卷)以抛物线c的顶点为圆心的圆交c于a，b两点，交c的准线于d，e两点已知|ab|4，|de|2，则c的焦点到准线的距离为()a2 b4 c6 d8答案b解析不妨设c：y22px(p0)，a(x1,2)，则x1，由题意可知|oa|od|，得2825，解得p4.故选b.2(2015浙江高考)如图，设抛物线y24x的焦点为f，不经过焦点的直线上有三个不同的点a，b，c，其中点a，b在抛物线上，点c在y轴上，则bcf与acf的面积之比是()a. b.c. d.答案a解析过a，b点分别作y轴的垂线，垂足分别为m，n，则|am|af|1，|bn|bf|1.可知，故选a.3(2017全国卷)已知f是抛物线c：y28x的焦点，m是c上一点，fm的延长线交y轴于点n.若m为fn的中点，则|fn|_.答案6解析如图，不妨设点m位于第一象限内，抛物线c的准线交x轴于点a，过点m作准线的垂线，垂足为点b，交y轴于点p，pmof.由题意知，f(2,0)，|fo|ao|2.点m为fn的中点，pmof，|mp|fo|1.又|bp|ao|2，|mb|mp|bp|3.由抛物线的定义知|mf|mb|3，故|fn|2|mf|6.4(2018河北六校模拟)抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，点o是坐标原点，过点o，f的圆与抛物线c的准线相切，且该圆的面积为36，则抛物线的方程为_答案y216x解析设满足题意的圆的圆心为m.根据题意可知圆心m在抛物线上，又圆的面积为36，圆的半径为6，则|mf|xm6，即xm6，又由题意可知xm，6，解得p8.抛物线方程为y216x. 重点保分 两级优选练a级一、选择题1(2017皖北协作区联考)已知抛物线c：x22py(p0)，若直线y2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线c的方程为()ax28y bx24y cx22y dx2y答案c解析由得或即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p)，则4，得p1(舍去负值)，故抛物线c的方程为x22y.故选c.2(2014全国卷)设f为抛物线c：y23x的焦点，过f且倾斜角为30的直线交c于a，b两点，则|ab|()a. b6 c12 d7答案c解析抛物线c：y23x的焦点为f，所以ab所在的直线方程为y，将y代入y23x，消去y整理得x2x0.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由根与系数的关系得x1x2，由抛物线的定义可得|ab|x1x2p12.故选c.3(2018广东广州模拟)如果p1，p2，pn是抛物线c：y24x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，xn，f是抛物线c的焦点，若x1x2xn10，则|p1f|p2f|pnf|()an10 bn20 c2n10 d2n20答案a解析由抛物线的方程y24x可知其焦点为(1,0)，准线为x1，由抛物线的定义可知|p1f|x11，|p2f|x21，|pnf|xn1，所以|p1f|p2f|pnf|x11x21xn1(x1x2xn)nn10.故选a.4(2017江西赣州二模)抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，a是抛物线上一点，若a到f的距离是a到y轴距离的两倍，且三角形oaf的面积为1，o为坐标原点，则p的值为()a1 b2 c3 d4答案b解析不妨设a(x0，y0)在第一象限，由题意可知即a，又点a的抛物线y22px上，2p，即p416，又p0，p2，故选b.5过抛物线y28x的焦点f的直线交抛物线于a，b两点，交抛物线的准线于点c，若|af|6，(0)，则的值为()a. b. c. d3答案d解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(2，y3)，则x126，解得x14，y14，点a(4,4)，则直线ab的方程为y2(x2)，令x2，得c(2，8)，联立方程组解得b(1，2)，所以|bf|123，|bc|9，所以3.故选d.6(2017抚顺一模)已知点p是抛物线y24x上的动点，设点p到此抛物线的准线的距离为d1，到直线xy40的距离为d2，则d1d2的最小值为()a2 b. c. d.答案d解析点p到准线的距离等于点p到焦点f的距离，过焦点f作直线xy40的垂线，此时d1d2最小，f(1,0)，则d1d2.故选d.7(2018北京东城区期末)已知抛物线c1：yx2(p0)的焦点与双曲线c2：y21的右焦点的连线交c1于第一象限的点m，若c1在点m处的切线平行于c2的一条渐近线，则p()a. b. c. d.答案d解析由题意可知，抛物线开口向上且焦点坐标为，双曲线焦点坐标为(2,0)，所以两个焦点连线的直线方程为y(x2)设m(x0，y0)，则有yx0x0p.因为y0x，所以y0.又m点在直线y(x2)上，即有p，故选d.8(2018河北邯郸调研) 已知m(x0，y0)是曲线c：y0上的一点，f是曲线c的焦点，过m作x轴的垂线，垂足为n，若0，则x0的取值范围是()a(1,0)(0,1) b(1,0)c(0,1) d(1,1)答案a解析由题意知曲线c为抛物线，其方程为x22y，所以f，根据题意可知，n(x0,0)，x00，(0，y0)，所以y00，即0y0，因为点m在抛物线上，所以有0，又x00，解得1x00或0x01，故选a.9(2017山西五校联考)已知抛物线c：y22px(p0)上一点(5，m)到焦点的距离为6，p，q分别为抛物线c与圆m：(x6)2y21上的动点，当|pq|取得最小值时，向量在x轴正方向上的投影为()a2 b21 c1 d.1答案a解析因为65，所以p2，所以抛物线c的方程为y24x.设p(x，y)，则|pm|，可知当x4时，|pq|取得最小值，最小值为121，此时不妨取p点的坐标为(4，4)，则直线pm的斜率为2，即tanpmo2，所以cospmo，故当|pq|取得最小值时，向量在x轴正方向上的投影为(21)cospmo2.故选a.10(2018湖北七市联考)过抛物线y22px(p0)的焦点f的直线与双曲线x21的一条渐近线平行，并交抛物线于a，b两点，若|af|bf|，且|af|2，则抛物线的方程为()ay22x by23xcy24x dy2x答案a解析由双曲线方程x21知其渐近线方程为yx，过抛物线焦点f且与渐近线平行的直线ab的斜率为，不妨取kab，则其倾斜角为60，即afx60.过a作anx轴，垂足为n.由|af|2，得|fn|1.过a作am准线l，垂足为m，则|am|p1.由抛物线的定义知，|am|af|，p12，p1，抛物线的方程为y22x，故选a.二、填空题11(2017河南新乡二模)已知点a(1，y1)，b(9，y2)是抛物线y22px(p0)上的两点，y2y10，点f是抛物线的焦点，若|bf|5|af|，则yy2的值为_答案10解析由抛物线的定义可知，95，解得p2，抛物线方程为y24x，又a，b两点在抛物线上，y12，y26，yy222610.12(2017湖南岳阳二模)直线3x4y40与抛物线x24y和圆x2(y1)21从左至右的交点依次为a，b，c，d，则的值为_答案16解析如图所示，抛物线x24y的焦点为f(0,1)，直线3x4y40过点(0,1)，由得4y217y40，设a(x1，y1)，d(x2，y2)，则y1y2，y1y21，解得y1，y24，则16.13(2017河南安阳二模)已知抛物线c1：yax2(a0)的焦点f也是椭圆c2：1(b0)的一个焦点，点m，p分别为曲线c1，c2上的点，则|mp|mf|的最小值为_答案2解析将p代入1，可得1，b，c1，抛物线的焦点f为(0,1)，抛物线c1的方程为x24y，准线为直线y1，设点m在准线上的射影为d，根据抛物线的定义可知|mf|md|，要求|mp|mf|的最小值，即求|mp|md|的最小值，易知当d，m，p三点共线时，|mp|md|最小，最小值为1(1)2.14(2017河北衡水中学调研)已知抛物线y22px(p0)的焦点为f，过f的直线l与抛物线交于a，b两点，且|af|4|fb|，o为坐标原点，若aob的面积为，则p_.答案1解析易知抛物线y22px的焦点f的坐标为，准线为x，不妨设点a在x轴上方，如图，过a，b作准线的垂线aa，bb，垂足分别为a，b，过点b作bhaa，交aa于h，则|bb|ah|，设|fb|t，则|af|aa|4t，|ah|aa|ah|3t，又|ab|5t，在rtabh中，coshab，tanhab，则可得直线ab的方程为y.由得8x217px2p20，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则|ab|x1x2pppp，易知点o到直线ab的距离为d|of|sinaabp.saobpp，p21，又p0，p1.b级三、解答题15(2017泰安模拟)已知抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，抛物线c与直线l1：yx的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线c的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点a，b，若线段ab的中点为p，且|op|pb|，求fab的面积解(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)，(8)22p8，2p8，抛物线方程为y28x.(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：xym，a(x1，y1)，b(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为m.由得y28y8m0，6432m0，m2.y1y28，y1y28m，x1x2m2.由题意可知oaob，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍)，直线l2：xy8，m(8,0)故sfabsfmbsfma|fm|y1y2|324.16(2016浙江高考)如图，设抛物线y22px(p0)的焦点为f，抛物线上的点a到y轴的距离等于|af|1.(1)求p的值；(2)若直线af交抛物线于另一点b，过b与x轴平行的直线和过f与ab垂直的直线交于点n，an与x轴交于点m.求m的横坐标的取值范围解(1)由题意可得，抛物线上点a到焦点f的距离等于点a到直线x1的距离，由抛物线的定义得1，即p2.(2)由(1)得，抛物线方程为y24x，f(1,