高考数学一轮总复习 第7章 立体几何 7.7 立体几何中的向量方法模拟演练 理.DOC

2018版高考数学一轮总复习 第7章 立体几何 7.7 立体几何中的向量方法模拟演练 理 a级基础达标(时间：40分钟)1若平面的一个法向量为(1,2,0)，平面的一个法向量为(2，1,0)，则平面和平面的位置关系是()a平行 b相交但不垂直c垂直 d重合答案c解析由(1,2,0)(2，1,0)122(1)000，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直22017宜宾模拟已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相平行，则k的值是()a2 b. c. d.答案a解析由题意得，kab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)所以，解得k2.32017金华模拟在空间直角坐标系oxyz中，平面oab的一个法向量为n(2，2,1)，已知点p(1,3,2)，则点p到平面oab的距离d等于()a4 b2 c3 d1答案b解析由已知平面oab的一条斜线的方向向量(1，3,2)，所以点p到平面oab的距离d|cos，n|2.4在三棱锥pabc中，pa平面abc，bac90，d，e，f分别是棱ab，bc，cp的中点，abac1，pa2，则直线pa与平面def所成角的正弦值为()a. b. c. d.答案c解析以a为原点，ab，ac，ap所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由abac1，pa2，得a(0，0,0)，b(1，0,0)，c(0,1,0)，p(0,0,2)，d，0,0，e，0，f，(0,0，2)，.设平面def的法向量为n(x，y，z)，则由得取z1，则n(2,0,1)，设pa与平面def所成的角为，则sin，pa与平面def所成角的正弦值为.5已知直三棱柱abca1b1c1中，acb90，ac1，cb，侧棱aa11，侧面aa1b1b的两条对角线交于点d，则平面b1bd与平面cbd所成的二面角的余弦值为()a b c. d.答案a解析建立如图所示的空间直角坐标系，则c(0,0,0)，b(，0,0)，a(0,1,0)，b1(，0,1)，d，(，0,0)，(，1,0)，(0,0,1)设平面cbd和平面b1bd的法向量分别为n1，n2，可得n1(0,1，1)，n2(1，0)，所以cosn1，n2，又平面b1bd与平面cbd所成的二面角的平面角与n1，n2互补，故平面b1bd与平面cbd所成的二面角的余弦值为.6.如图，在正方形abcd中，efab，若沿ef将正方形折成一个二面角后，aeedad11，则af与ce所成角的余弦值为_答案解析aeedad11，aeed，即ae，de，ef两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设abefcd2，则e(0,0,0)，a(1,0,0)，f(0,2,0)，c(0，2,1)，(1,2,0)，(0,2,1)，cos，af与ce所成角的余弦值为.7.正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)abca1b1c1的底面边长为2，侧棱长为2，则ac1与侧面abb1a1所成的角为_答案解析以c为原点建立坐标系，得下列坐标：a(2，0,0)，c1(0,0,2)点c1在侧面abb1a1内的射影为点c2.所以(2,0,2)，2，设直线ac1与平面abb1a1所成的角为，则cos.又，所以.8已知点e，f分别在正方体abcda1b1c1d1的棱bb1，cc1上，且b1e2eb，cf2fc1，则面aef与面abc所成的锐二面角的正切值为_答案解析如图，建立空间直角坐标系dxyz，设da1，由已知条件得a(1,0,0)，e，f，设平面aef的法向量为n(x，y，z)，面aef与面abc所成的锐二面角为，由图知为锐角，由得令y1，z3，x1，则n(1,1，3)，平面abc的法向量为m(0,0，1)，cos|cosn，m|，tan.9.如图，在直二面角eabc中，四边形abef是矩形，ab2，af2，abc是以a为直角顶点的等腰直角三角形，点p是线段bf上的一点，pf3.(1)证明：fb平面pac；(2)求异面直线pc与ab所成的角的余弦值解(1)证明：以a为原点，向量，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(0,2,0)，f(0,0,2)bf4，pf3，p，(2,0，2)，(0,2,0)，.0，fbac.0，fbap.fbac，fbap，acapa，fb平面apc.(2)(2,0,0)，记与夹角为，则|cos|.10如图，在直棱柱abcda1b1c1d1中，adbc，bad90，acbd，bc1，adaa13.(1)证明：acb1d；(2)求直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值解(1)证明：易知，ab，ad，aa1两两垂直如图，以a为坐标原点，ab，ad，aa1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设abt，则相关各点的坐标为：a(0,0,0)，b(t,0,0)，b1(t,0,3)，c(t,1,0)，c1(t,1,3)，d(0,3,0)，d1(0，3,3)从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)因为acbd，所以t2300.解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)因为3300，所以，即acb1d.(2)由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)设n(x，y，z)是平面acd1的一个法向量，则即令x1，则n(1，)设直线b1c1与平面acd1所成角为，则sin|cosn，|，即直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值为.b级知能提升(时间：20分钟)11一个四面体的顶点在空间直角坐标系oxyz中的坐标分别是(0,0,0)，(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，则该四面体的体积为()a. b. c1 d2答案a解析如图所示，该四面体是棱长均为的正四面体abcd.设bcd的中心为o，则ao平面bcd，ao即为该四面体的高在rtaob中，ab，bobe，所以ao.底面积sbcd()2，故其体积为.122017西宁模拟如图所示的三棱锥pabc中，d是棱pb的中点，已知pabc2，ab4，cbab，pa平面abc，则异面直线pc，ad所成角的余弦值为()a bc. d.答案d解析因为pa平面abc，所以paab，pabc.过点a作aecb，又cbab，则ap，ab，ae两两垂直如图所示，以a为坐标原点，分别以ab，ae，ap所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则a(0,0,0)，p(0,0,2)，b(4,0,0)，c(4，2,0)因为d为pb的中点，所以d(2,0,1)故(4,2,2)，(2,0,1)所以cos，.设异面直线pc，ad所成的角为，则cos|cos，|.13已知正四棱柱abcda1b1c1d1，ab1，aa12，点e为cc1的中点，则点d1到平面bde的距离为.答案解析如图所示，以d为坐标原点，以da，dc，dd1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则d(0，0,0)，b(1,1,0)，d1(0,0,2)，e(0,1,1)，所以(1,1,0)，(0,1,1)，(1，1,2)设n(x，y，z)是平面bde的法向量，所以n，n，所以即令x1，则所以平面bde的一个法向量为n(1，1，1)，则点d1到平面bde的距离d.故填.14.2016山东高考在如图所示的圆台中，ac是下底面圆o的直径，ef是上底面圆o的直径，fb是圆台的一条母线(1)已知g，h分别为ec，fb的中点求证：gh平面abc；(2)已知effbac2，abbc.求二面角fbca的余弦值解(1)证明：设fc的中点为i，连接gi，hi，在cef中，因为点g是ce的中点，所以gief.又efob，所以giob.在cfb中，因为h是fb的中点，所以hibc.又higii，所以平面ghi平面abc.因为gh平面ghi，所以gh平面abc.(2)连接oo，则oo平面abc.又abbc，且ac是圆o的直径，所以boac.以o为坐标原点