高考数学 考点突破——计数原理：排列与组合学案.doc

排列与组合【考点梳理】1排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个不同元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.(2)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.3排列数、组合数的公式及性质公式(1)an(n1)(n2)(nm1)(2)c(n，mn*，且mn).特别地c1性质(1)0！1；an！. (2)cc；ccc【考点突破】考点一、排列问题【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻.解析 (1)从7人中选5人排列，有a765432 520(种).(2)分两步完成，先选3人站前排，有a种方法，余下4人站后排，有a种方法，共有aa5 040(种).(3)法一(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有a种排列方法，共有5a3 600(种).法二(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有a种排法，其他有a种排法，共有aa3 600(种).(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有a种方法，再将女生全排列，有a种方法，共有aa576(种).(5)(插空法)先排女生，有a种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有a种方法，共有aa1 440(种).【类题通法】1对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.2对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.【对点训练】1从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是()a12 b24 c64 d81答案 b解析 4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法为a24.2用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()a24 b48 c60 d72答案 d解析 由题意，可知个位可以从1，3，5中任选一个，有a种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有a种方法，所以奇数的个数为aa3432172.3从6本不同的书中选出4本，分别发给4个同学，已知其中两本书不能发给甲同学，则不同分配方法有()a180种 b220种 c240种 d260种答案 c解析 因为其中两本书不能发给甲同学，所以甲只能从剩下的4本中分一本，然后再选3本分给3个同学，故有aa240种.4在一展览会上，要展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该次展出这5件作品不同的摆放方案共有_种(用数字作答).答案 24解析 将2件必须相邻的书法作品看作一个整体，同1件建筑设计展品全排列，再将2件不能相邻的绘画作品插空，故共有aaa24种不同的展出方案.考点二、组合问题【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解析 (1)从余下的34种商品中，选取2种有c561种，某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有c种或者ccc5 984种.某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有cc2 100种.恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2种假货有cc种，选取3件假货有c种，共有选取方式ccc2 1004552 555种.至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.(5)选取3件的总数为c，因此共有选取方式cc6 5454556 090种.至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.【类题通法】组合问题常有以下两类题型变化：1. “含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.2“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.【对点训练】1现有6个不同的白球，4个不同的黑球，任取4个球，则至少有两个黑球的取法种数是()a90 b115 c210 d385答案 b解析 分三类，取2个黑球有cc90种，取3个黑球有cc24种，取4个黑球有c1种，故共有90241115种取法，选b.2从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是()a18 b24 c30 d36答案 c解析 从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即ccc30.考点三、排列、组合的综合应用【例3】(1)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()a12种 b18种 c24种 d36种(2)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有()a80种 b90种 c120种 d150种(3)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有_种不同的分派方法.答案 (1) d (2) d (3) 90解析 (1)由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为cca36(种).(2)有两类情况：其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有ca60种；其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有ca90种，共有150种，故选d.(3)先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有a6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有a90种分派方法.【类题通法】1解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).对于排列组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.2不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异.其次对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”.【对点训练】1从6名同学中选派4人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛，若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有_种(用数字作答).答案 240解析 特殊位置优先考虑，既然甲、乙都不能参加生物竞赛，则从另外4个人中选择一人参加，有c种方案；然后从剩下的5个人中选择3个人参加剩下3科，有a种方案.故共有ca460240(种)方案.2将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()a12种 b10种 c9种 d8种答案 a解析 将4名学生均分为2个小组共有3(种)分法；将2个小组的同学分给2名教师共有a2(种)分法，最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有a2(种)分法.故不同的安排方案共有32212(种).3某局安排3名副局长带5名职工去3地调