高考数学一轮复习 课时规范练36 数学归纳法 理 新人教B版.doc

课时规范练36数学归纳法基础巩固组1.在用数学归纳法证明等式1+2+3+2n=n(2n+1)时,当n=1时的左边等于()a.1b.2c.3d.42.如果用数学归纳法证明:对于足够大的正整数n,总有2nn3,那么验证不等式成立所取的第一个n的最小值应该是()a.1b.9c.10d.n10,且nn*3.用数学归纳法证明1+12+14+12n-112764(nn+)成立,其初始值至少应取()a.7b.8c.9d.104.某同学回答“用数学归纳法证明n2+nn+1(nn+)”的过程如下:证明:(1)当n=1时,显然命题是正确的.(2)假设当n=k时,有k(k+1)k+1,则当n=k+1时,(k+1)2+(k+1)=k2+3k+21324的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是.8.由下列不等式:112,1+12+131,1+12+13+1732,1+12+13+1152,你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明.导学号215007419.平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,求证:这n条直线把平面分割成12(n2+n+2)个区域.综合提升组10.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)k+1成立时,总能推出f(k+1)k+2成立,则 下列命题总成立的是()a.若f(1)2成立,则f(10)11成立b.若f(3)4成立,则当k1时,均有f(k)k+1成立c.若f(2)n+1.导学号21500742创新应用组13.已知f(n)=1+12+13+1n(nn+),经计算得f(4)2,f(8)52,f(16)3,f(32)72,则其一般结论为.14.(2017山东济南模拟)已知函数f(x)=aln x+2x+1(ar).(1)当a=1时,求f(x)在1,+)内的最小值;(2)若f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(3)求证:ln(n+1)13+15+17+12n+1(nn+).参考答案课时规范练36数学归纳法1.c在用数学归纳法证明等式1+2+3+2n=n(2n+1)时,当n=1时的左边=1+2=3.2.c210=1 024103.故选c.3.b左边=1+12+14+12n-1=1-12n1-12=2-12n-1,代入验证可知n的最小值是8.故选b.4.a证明(k+1)2+(k+1)(k+1)+1时进行了一般意义的放大,而没有使用归纳假设k(k+1)n2(nn+),证明如下:(1)当n=1时,由题设条件知不等式成立.(2)假设当n=k(kn+)时不等式成立,即1+12+13+12k-1k2.则当n=k+1时,1+12+13+12k-1+12k+12k+1-1k2+12k+12k+1+12k+1-1k2+12k+1+12k+1+12k+12k个=k2+2k2k+1=k+12.所以当n=k+1时不等式成立.根据(1)和(2)可知不等式对任何nn+都成立.9.证明 (1)当n=1时,一条直线把平面分成两个区域,又12(12+1+2)=2,所以当n=1时命题成立.(2)假设当n=k时,命题成立,即k条满足题意的直线把平面分割成了12(k2+k+2)个区域.则当n=k+1时,k+1条直线中的k条直线把平面分成了12(k2+k+2)个区域,第k+1条直线被这k条直线分成k+1段,每段把它们所在的区域分成了两块,因此增加了k+1个区域,所以k+1条直线把平面分成了12(k2+k+2)+k+1=12(k+1)2+(k+1)+2个区域.所以当n=k+1时命题也成立.由(1)(2)知,对一切的nn+,此命题均成立.10.d当f(k)k+1成立时,总能推出f(k+1)k+2成立,说明如果当k=n时,f(n)n+1成立,那么当k=n+1时,f(n+1)n+2也成立,所以如果当k=4时,f(4)5成立,那么当k4时,f(k)k+1也成立.11.c由a1=13,sn=n(2n-1)an,得s2=2(22-1)a2,即a1+a2=6a2.解得a2=115=135,s3=3(23-1)a3,即13+115+a3=15a3.解得a3=135=157.同理可得a4=163=179,故猜想an的表达式为1(2n-1)(2n+1).12.证明 (1)当n=1时,左式=32,右式=2,左式右式,所以结论成立.(2)假设当n=k(k1,kn+)时结论成立,即2+124+142k+12kk+1,则当n=k+1时,2+124+142k+12k2k+32(k+1)k+12k+32(k+1)=2k+32k+1.要证当n=k+1时结论成立,只需证2k+32k+1k+2,即证2k+32(k+1)(k+2),由均值不等式可得2k+32=(k+1)+(k+2)2(k+1)(k+2)成立,故2k+32k+1k+2成立.所以当n=k+1时,结论成立.由(1)(2)可知nn+时,不等式2+124+142n+12nn+1成立.13.f(2n)n+22(n2,nn+)因为f(22)42,f(23)52,f(24)62,f(25)72,所以当n2,nn*时,有f(2n)n+22.故填f(2n)n+22(n2,nn+).14.(1)解 当a=1时,f(x)=ln x+2x+1,定义域为(0,+).因为f(x)=1x-2(x+1)2=x2+1x(x+1)20,所以f(x)在(0,+)内是增函数,所以f(x)在1,+)内的最小值为f(1)=1.(2)解 f(x)=ax-2(x+1)2=ax2+2(a-1)x+ax(x+1)2,因为f(x)存在单调递减区间,所以f(x)0有正数解,即ax2+2(a-1)x+a0有正数解.当a=0时,显然成立.当a0时,h(x)=ax2+2(a-1)x+a是开口向下的抛物线,所以ax2+2(a-1)x+a0时,h(x)=ax2+2(a-1)x+a是开口向上的抛物线,即方程ax2+2(a-1)x+a=0有正根.因为x1x2=10,所以方程ax2+2(a-1)x+a=0有两正根,所以0,x1+x20,解得0a1,所以ln 213,即当n=1时,不等式成立.假设当n=k时,ln(k+1)13+15+12k+1成立.则当n=k+1时,ln(n+1)=ln(k+2)=ln(k+1)+lnk+2k+113+