高中数学 第1部分 第二章 2.1 2.1.4 函数的奇偶性课件 新人教B版必修1 .ppt

2 1函数 2 1 4函数的奇偶数 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 第二章函数 考点一 考点二 考点三 考点四 问题1 对于函数f x x2 f x x 以 x代替x函数值发生变化吗 其图象有何特征 提示 以 x代替x各自的函数值不变 即f x f x 图象关于y轴对称 问题2 对于函数f x x3与f x 以 x代替x函数值发生变化吗 其图像有何特征 提示 以 x代替x各自的函数值互为相反数 即f x f x 图象关于原点对称 1 奇 偶函数的概念 x d f x f x x d g x g x 偶函数 2 奇 偶函数的图象特征 1 如果一个函数是奇函数 则这个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形 反之 如果一个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形 则这个函数是奇函数 2 如果一个函数是偶函数 则这个函数的图象是以为对称轴的轴对称图形 反之 如果一个函数的图像关于对称 则这个函数是偶函数 坐标原点 坐标原点 y轴 y轴 1 由定义可知 若x是定义域中的一个数值 则 x也一定在定义域中 因此 奇偶函数的定义域一定是关于原点对称的 若不对称 则这个函数必不具有奇偶性 是非奇非偶函数 2 函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的 这一点与函数的单调性不同 从这个意义上来讲 函数的单调性是函数的 局部 性质 而奇偶性是函数的 整体 性质 思路点拨 先判断定义域是否关于原点对称 然后按奇偶性的定义来判断 一点通 判断函数的奇偶性 一般有以下几种方法 1 定义法 若函数的定义域不关于原点对称 则函数为非奇非偶函数 若函数的定义域关于原点对称 则应进一步判断f x 是否等于 f x 或判断f x f x 是否等于0 从而确定奇偶性 2 图象法 若函数图象关于原点对称 则函数为奇函数 若函数图象关于y轴对称 则函数为偶函数 解析 a d两项中 函数均为偶函数 b项中 函数为非奇非偶正数 c项中 函数为奇函数 答案 c 2 若函数f x x 1 x a 为偶函数 则a a 2b 1c 1d 2解析 f x x 1 x a 是偶函数 f x x 1 x a f x 恒成立 x2 a 1 x a x2 a 1 x a恒成立 a 1 0 即a 1 答案 c 例2 如图 给出了偶函数y f x 的局部图象 试比较f 1 与f 3 的大小 思路点拨 法一 利用偶函数图象的对称性比较 法二 利用f 3 f 3 f 1 f 1 比较 精解详析 法一 函数f x 是偶函数 其图象关于y轴对称 如图 由图象可知f 1 f 3 法二 由图象可知f 1 f 3 又函数y f x 是偶函数 f 1 f 1 f 3 f 3 f 1 f 3 一点通 已知函数的奇偶性及部分图象 根据对称性可补出另一部分图象 奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反 答案 a 例3 已知函数f x x r 是奇函数 且当x 0时 f x 2x 1 求函数f x 的解析式 思路点拨 将x0上求解 同时要注意f x 是定义域为r的奇函数 一点通 解答该类问题的思路 1 求谁设谁 即求哪个区间的解析式 x就设在哪个区间内 2 要利用已知区间的解析式进行计算 3 利用f x 的奇偶性解出f x 注意 若函数f x 的定义域内含0且为奇函数 则必有f 0 0 但若为偶函数 则未必有f 0 0 6 若定义在r上的偶函数f x 和奇函数g x 满足f x g x x2 3x 1 则f x a x2b 2x2c 2x2 2d x2 1 解析 f x g x x2 3x 1 1 f x g x x2 3x 1 f x 为偶函数 f x f x g x 为奇函数 g x g x f x g x x2 3x 1 2 联立 可得f x x2 1 答案 d 7 已知f x 是r上的偶函数 当x 0 时 f x x2 x 1 求x 0 时 f x 的解析式 解 设x0 f x x 2 x 1 f x x2 x 1 函数f x 是偶函数 f x f x f x x2 x 1 当x 0 时 f x x2 x 1 例4 12分 设定义在 2 2 上的奇函数f x 在区间 0 2 上单调递减 若f m f m 1 0 求实数m的取值范围 精解详析 由f m f m 1 0 得f m f m 1 即f 1 m f m 4分 又 f x 在 0 2 上为减函数且f x 在 2 2 上为奇函数 f x 在 2 2 上为减函数 8分 一点通 此类问题的解答思路是 先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含有 f 的式子 然后根据函数的单调性列出不等式 组 求解 列不等式 组 时 注意函数的定义域也是一个限制条件 8 已知函数f x 在 5 5 上是偶函数 f x 在 0 5 上是单调函数 且f 4 f 1 解析 由f x 是偶函数 得f 4 f 1 f 2 f 3 f 5 而f 1 f 1 f 3 f 3 故f 1 f 3 f 3 f 5 只有d正确 答案 d 答案 a 1 奇偶性与单调性的相关性质 若函数f x 为奇函数 则当f x 在区间 a b 上是单调函数时 f x 在其对称区间 b a 上也是单调函数 且单调性相同 若函数f x 为偶函数 则当f x