第三章 矩阵的初等变换与线性方程.doc

3.1 基本内容 3.2 典型例题分析第三章 矩阵的初等变换与线性方程组3.1 基本内容3.1.1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换是一种十分重要的运算方法，它在解先行方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都有重要的作用下面三种变换称为矩阵的初等行变换：(1) 对调两行（对调两行，记着）；(2) 以数乘某一行中的所有元素（第行乘，记着）(3) 把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去（第行的倍加到第行，记着）把定义中矩阵的行换成列，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号把换成），矩阵的初等行变换和初等列变换统称初等变换。初等变换都是可逆的，且其逆变换仍是同一类的初等变换。如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与矩阵B等价，记着矩阵之间的等价关系满足下列性质：(1) 反身性 ；(2) 对称性 若，则 ；(3) 传递性 若，则 .3.1.2 初等矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换后所得的矩阵称为初等矩阵。三种初等变换对应着三种初等矩阵 第列 第列第行经验证，可得下述定理设A是一个矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的 阶初等矩阵 设A是可逆矩阵，则存在有限个初等矩阵，使得A=证明 因为，所以E经过有限次初等变换可变成A，即则存在有限个初等矩阵，使得即，得证。推论 矩阵的充要条件是：存在着阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使得根据此定理，可得到一种求逆矩阵的方法：由 ，有及 即 即对阶矩阵施行初等行变换，把A变成E时，原来的E就变成3.1.3 矩阵的秩在矩阵A中，任取行列（）位于这些行列处交叉处的个元素，不改变它们在A中所处的位置秩序而得的阶行列式，称为A的阶子式。设在矩阵A中有一个不等于0的阶子式D，且所有阶子式（如果存在的话）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数称为矩阵A的秩，记着注 零矩阵的秩规定为03.1.4 线性方程组的解利用方程组的系数矩阵A和增广矩阵B的秩，可以方便的讨论线性方程组的解元齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩。元非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩 等于增广矩阵B=的秩，即3.2 典型例题分析返回例1 求解方程组 解 对应的增广矩阵为 = = = = =对应方程组 取为自由未知量，令，即得 =其中为任意常数。对于任意的矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形F=例2 求矩阵A与B的秩 A= B=解 在A中，有一个2阶子式，其3阶子式，所以 =2。B是一个阶梯形矩阵，其非零行有3行，因此若，则=例3 设矩阵A=求矩阵A的秩，并求A的一个最高阶非零子式。解 对A作初等变换，化为阶梯形矩阵：A=因为行阶梯形矩阵有3个非零行，所以=3对应于阶梯形矩阵，在A中有所以这个子式便是A的一个最高阶非零子式。例4 设矩阵 ，求逆矩阵解 所以 =例5 求解齐次线性方程组 解 对系数矩阵A施行初等行变换，化为行最简形矩阵： A= 由此可得与原方程同解的方程组 可任意取值）令，即得 其中为任意常数，写成向量为 = = 例6 求解非齐次线性方程组 解 对增广矩阵（A b）施行初等行变换，化为行最简形矩阵： （A b） = ，所以方