2019_2020学年高中数学第五章三角函数5.4.3正切函数的性质与图象讲义新人教A版.docx

5.4.3正切函数的性质与图象知识点函数ytan x的图象与性质解析式ytan x图象定义域值域R周期奇偶性奇函数单调性在开区间，kZ上都是增函数如何作正切函数的图象(1)几何法就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐(2)“三点两线”法“三点”是指，(0,0)，；“两线”是指x和x. 在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线教材解难1教材P209思考有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象2教材P210思考可以先考察函数ytan x，x的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展基础自测1下列说法正确的是()Aytan x是增函数Bytan x在第一象限是增函数Cytan x在某一区间上是减函数Dytan x在区间(kZ)上是增函数解析：由正切函数的图象可知D正确答案：D2函数ytan的定义域是()A. B.C. D.解析：由xk，kZ，得xk，kZ.答案：D3已知函数f(x)tan，则函数f(x)的最小正周期为()A. B.C D2解析：解法一函数ytan(x)的周期T，可得T.解法二由诱导公式可得tantantan，所以ff(x)，所以周期为T.答案：B4比较大小：tan 135_tan 138.(填“”或“”)解析：因为90135138270，又函数ytan x在区间(90，270)上是增函数，所以tan 135tan 138.答案：题型一求函数的定义域例1求下列函数的定义域：(1)y；(2)ylg(tan x)【解析】(1)要使函数y有意义，需使所以函数的定义域为xxR且xk，xk，kZ.(2)要使ylg(tan x)有意义，需使，所以函数的定义域是.求函数的定义域注意函数中分母不等于0，真数大于0，正切函数中的xk kZ等问题方法归纳求正切函数定义域的方法求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytan x有意义即xk，kZ.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解跟踪训练1(1)函数y的定义域为()A.x|x0Bx|xk，kZC.D.(2)求函数ylg(1tan x)的定义域解析：(1)函数y有意义时，需使所以函数的定义域为xxk，且xk，kZxx，kZ.(2)由题意得即1tan x1.在内，满足上述不等式的x的取值范围是，.又ytan x的周期为，所以所求函数的定义域是(kZ)答案：(1)D(2)见解析(1)分母不等于0(2)偶次根式被开方数大于等于0(3)真数大于0(4)正切函数xk，kZ题型二正切函数的单调性及其应用例2求函数ytan的单调区间【解析】ytantan.由k3xk(kZ)，得x(kZ)所以函数ytan的单调递减区间为（，）(kZ)先利用诱导公式将函数转化为ytan，再由k3x0，由于ytan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kxk，kZ，解得x的范围即可若0，可利用诱导公式先把yAtan(x)转化为yAtan(x)Atan(x)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可跟踪训练2本例(2)函数变为ytan，求该函数的单调区间解析：ytantan，由kxk，kZ，得2kx2k，kZ，所以函数ytan的单调递减区间是（2k，2k），kZ.题型三正切函数图象与性质的综合应用教材P212例6例3求函数ytan的定义域、周期及单调区间【解析】自变量x的取值应满足xk，kZ，即x2k，kZ.所以，函数的定义域是.设zx，又tan(z)tan z，所以tantan，即tantan.因为xx|x2k，kZ都有tantan，所以，函数的周期为2.由kxk，kZ解得2kx2k，kZ.因此，函数在区间，kZ上单调递增.利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论教材反思解答正切函数图象与性质问题应注意的两点(1)对称性：正切函数图象的对称中心是(kZ)，不存在对称轴(2)单调性：正切函数在每个(kZ)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的跟踪训练3设函数f(x)tan.(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；(2)求不等式1f(x)的解集 解析：(1)由k(kZ)得x2k(kZ)所以f(x)的定义域是xx2k，kZ因为，所以最小正周期T2.由kk(kZ)，得2kx2k(kZ)所以函数f(x)的单调递增区间是(kZ)由(kZ)，得xk(kZ)，故函数f(x)的对称中心是，kZ.(2)由1tan，得kk(kZ)，解得2kx2k(kZ)所以不等式1f(x)的解集是x2kx2k，kZ.由此不等式确定函数的单调区间是关键一步，也是易误点由tan的范围确定的范围是本题的难点思想方法与三角函数相关的函数零点问题例当x时，确定方程tan xsin x0的根的个数【分析】tan xsin x0的根即为tan xsin x的根，也就是ytan x与ysin x交点的横坐标，所以可根据图形进行分析【解析】在同一平面直角坐标系内画出ytan x与ysin x在上的图象，如图，由图象可知它们有三个交点，方程有三个根【点评】数形结合思想，是高中数学的一类重要的数学思想方法，其核心是以形助数和以数析形解决函数问题通常会用到数形结合的思想方法课时作业 36一、选择题1函数f(x)tan的最小正周期为()A. B.C D2解析：方法一函数f(x)tan(x)的周期是T，直接利用公式，可得T.方法二由诱导公式可得tantantan，所以ff(x)，所以周期T.答案：A2函数y(x)的值域是()A(1,1) B(，1)(1，)C(，1) D(1，)解析：x，1tan xbc Babac Dba325可得tan 3tan 2tan(5)答案：C4函数y3tan 2x的对称中心为()A.(kZ) B.(kZ)C.(kZ) D.(kZ)解析：令2x(kZ)，得x(kZ)，则函数y3tan 2x的对称中心为(kZ)，故选B.答案：B二、填空题5函数ytan的定义域为_解析：由6xk(kZ)，得x(kZ)答案：6函数y3tan(x)，x的值域为_解析：函数y3tan(x)3tan x，因为正切函数在上是增函数，所以3y，所以值域为(3，答案：(3，7函数ytan的最小正周期为_，图象的对称中心为_解析：最小正周期T；由2x(kZ)得x(kZ)对称中心为(kZ)答案：；(kZ)三、解答题8求函数ytan的定义域、周期及单调区间解析：由xk，kZ，得x2k，kZ，所以函数ytan的定义域为，T2，所以函数ytan的周期为2.由kxk，kZ，得2kx2k，kZ，所以函数ytan的单调递增区间为(kZ)9不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：(1)tan与tan；(2)tan与tan.解析：(1)因为tantan，tantan，又0，ytan x在内单调递增，所以tantan，即tantan.(2)因为tantan，tant