高考数学一轮复习 课时跟踪检测（四十一）空间点、线、面之间的位置关系 理（重点高中）.doc

课时跟踪检测（四十一） 空间点、线、面之间的位置关系 (二)重点高中适用作业a级保分题目巧做快做1下列命题中，真命题的个数为()如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；两条直线可以确定一个平面；空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；若m，m，l，则ml.a1b2c3 d4解析：选b根据公理2，可判断是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故是假命题；根据平面的性质可知是真命题综上，真命题的个数为2.2已知l1，l2，l3是空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是()al1l2，l2l3l1l3bl1l2，l2l3l1l3cl1l2l3l1，l2，l3共面dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面解析：选b在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故a错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，b正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故c错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故d错3已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()a且lb且lc与相交，且交线垂直于ld与相交，且交线平行于l解析：选d由于m，n为异面直线，m平面，n平面，则平面与平面必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足lm，ln，则交线平行于l，故选d.4在正方体abcd a1b1c1d1中，p，q，e，f分别是ab，ad，b1c1，c1d1的中点，则正方体过点p，q，e，f的截面图形的形状是()a正方形 b平行四边形c正五边形 d正六边形解析：选d如图所示，由efpq，可以确定一个平面设这个平面与正方体abcd a1b1c1d1的棱bb1，dd1分别交于m，n.由正方体的性质得fnmp，nqme，且effnnqqppmme，所以正方体过点p，q，e，f的截面图形的形状是正六边形5.如图，abcd a1b1c1d1是长方体，o是b1d1的中点，直线a1c交平面ab1d1于点m，则下列结论正确的是()aa，m，o三点共线ba，m，o，a1不共面ca，m，c，o不共面db，b1，o，m共面解析：选a连接a1c1，ac，则a1c1ac，所以a1，c1，c，a四点共面，所以a1c平面acc1a1，因为ma1c，所以m平面acc1a1，又m平面ab1d1，所以m在平面acc1a1与平面ab1d1的交线上，同理o在平面acc1a1与平面ab1d1的交线上，所以a，m，o三点共线6如图为正方体表面的一种展开图，则图中的ab，cd，ef，gh在原正方体中互为异面直线的有_对解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则ab，cd，ef和gh在原正方体中，显然ab与cd，ef与gh，ab与gh都是异面直线，而ab与ef相交，cd与gh相交，cd与ef平行故互为异面直线的有3对答案：37设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线上述命题中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号)解析：由公理4知正确；当ab，bc时，a与c可以相交、平行或异面，故错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故错；a，b，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故错答案：8.如图，已知圆柱的轴截面abb1a1是正方形，c是圆柱下底面弧ab的中点，c1是圆柱上底面弧a1b1的中点，那么异面直线ac1与bc所成角的正切值为_解析：取圆柱下底面弧ab的另一中点d，连接c1d，ad，因为c是圆柱下底面弧ab的中点，所以adbc，所以直线ac1与ad所成角等于异面直线ac1与bc所成角因为c1是圆柱上底面弧a1b1的中点，所以c1d圆柱下底面，所以c1dad，因为圆柱的轴截面abb1a1是正方形，所以c1dad，所以直线ac1与ad所成角的正切值为，所以异面直线ac1与bc所成角的正切值为.答案：9.如图所示，a是bcd所在平面外的一点，e，f分别是bc，ad的中点(1)求证：直线ef与bd是异面直线；(2)若acbd，acbd，求ef与bd所成的角解：(1)证明：假设ef与bd不是异面直线，则ef与bd共面，从而df与be共面，即ad与bc共面，所以a，b，c，d在同一平面内，这与a是bcd所在平面外的一点相矛盾故直线ef与bd是异面直线(2)取cd的中点g，连接eg，fg，则acfg，egbd，所以相交直线ef与eg所成的角，即为异面直线ef与bd所成的角又因为acbd，则fgeg.在rtegf中，由egfgac，求得feg45，即异面直线ef与bd所成的角为45.10.如图所示，在三棱锥p abc中，pa底面abc，d是pc的中点已知bac90，ab2，ac2，pa2.求：(1)三棱锥p abc的体积；(2)异面直线bc与ad所成角的余弦值解：(1)sabc222，故三棱锥p abc的体积为vsabcpa22.(2)如图所示，取pb的中点e，连接de，ae，则debc，所以ade(或其补角)是异面直线bc与ad所成的角在ade中，debc2，ae，ad2，则cosade.即异面直线bc与ad所成角的余弦值为.b级拔高题目稳做准做1(2018湖北七市(州)联考)设直线m与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是()a在平面内有且只有一条直线与直线m垂直b过直线m有且只有一个平面与平面垂直c与直线m垂直的直线不可能与平面平行d与直线m平行的平面不可能与平面垂直解析：选b对于a，在平面内可能有无数条直线与直线m垂直，这些直线是互相平行的，a错误；对于b，只要m，过直线m必有并且也只有一个平面与平面垂直，b正确；对于c，类似于a，在平面外可能有无数条直线垂直于直线m并且平行于平面，c错误；对于d，与直线m平行且与平面垂直的平面有无数个，d错误故选b.2过正方体abcd a1b1c1d1的顶点a作直线l，使l与棱ab，ad，aa1所成的角都相等，这样的直线l可以作()a1条 b2条c3条 d4条解析：选d如图，连接体对角线ac1，显然ac1与棱ab，ad，aa1所成的角都相等，所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线，如连接bd1，则bd1与棱bc，ba，bb1所成的角都相等，bb1aa1，bcad，体对角线bd1与棱ab，ad，aa1所成的角都相等，同理，体对角线a1c，db1也与棱ab，ad，aa1所成的角都相等，过a点分别作bd1，a1c，db1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条3如图是三棱锥dabc的三视图，点o在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线do和ab所成角的余弦值等于()a. b.c. d.解析：选a由三视图及题意得如图所示的直观图，从a出发的三条线段ab，ac，ad两两垂直且abac2，ad1，o是bc中点，取ac中点e，连接de，do，oe，则oe1，又可知ae1，由于oeab，故doe即为所求两异面直线所成的角或其补角在直角三角形dae中，de，由于o是bc的中点，在直角三角形abc中可以求得ao，在直角三角形dao中可以求得do.在三角形doe中，由余弦定理得cosdoe，故所求异面直线do与ab所成角的余弦值为.4(2017全国卷)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形abc的直角边ac所在直线与a，b都垂直，斜边ab以直线ac为旋转轴旋转，有下列结论：当直线ab与a成60角时，ab与b成30角；当直线ab与a成60角时，ab与b成60角；直线ab与a所成角的最小值为45；直线ab与a所成角的最大值为60.其中正确的是_(填写所有正确结论的编号)解析：由题意，ab是以ac为轴，bc为底面半径的圆锥的母线，又aca，acb，ac圆锥底面，在底面内可以过点b，作bda，交底面圆c于点d，如图所示，连接de，则debd，deb，连接ad，设bc1，在等腰abd中，abad，当直线ab与a成60角时，abd60，故bd，又在rtbde中，be2，de，过点b作bfde，交圆c于点f，连接af，ef，bfde，abf为等边三角形，abf60，即ab与b成60角，故正确，错误由最小角定理可知正确；很明显，可以满足平面abc直线a，直线ab与a所成角的最大值为90，错误正确的说法为.答案：5.如图所示，在三棱柱abc a1b1c1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱a1a底面abc，点e，f分别是棱cc1，bb1上的点，点m是线段ac上的动点，ec2fb2.(1)当点m在何位置时，bm平面aef?(2)若bm平面aef，判断bm与ef的位置关系，说明理由；并求bm与ef所成的角的余弦值解：(1)法一：如图所示，取ae的中点o，连接of，过点o作omac于点m.因为侧棱a1a底面abc，所以侧面a1acc1底面abc.又因为ec2fb2，所以omecfb且omecfb，所以四边形ombf为矩形，bmof.因为of平面aef，bm平面aef，故bm平面aef，此时点m为ac的中点法二：如图所示，取ec的中点p，ac的中点q，连接pq，pb，bq.因为ec2fb2，所以pe綊bf，所以pqae，pbef，所以pq平面afe，pb平面aef，因为pbpqp，pb平面pbq，pq 平面pbq，所以平面pbq平面aef.又因为bq平面pbq，所以bq平面aef.故点q即为所求的点m，此时点m为ac的中点(2)由(1)知，bm与ef异面，ofe(或mbp)就是异面直线bm与ef所成的角或其补角易求afef，mbof，ofae，所以cosofe，所以bm与ef所成的角的余弦值为.6.如图，已知二面角 mn的大小为60，菱形abcd在平面内，a，b两点在棱mn上，bad60，e是ab的中点，do平面，垂足为o.(1)证明：ab平面ode；(2)求异面直线bc与od所成角的余弦值解：(1)证明：do，ab，d