2017学年湖北省襄阳五中高三（上）9月月考数学试卷（理科）（含解析）

2016-2017学年湖北省襄阳五中高三（上）9月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若是虚数单位），则ABCD2（5分）甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果它们预报准确的概率分别为0.8与0.7，且预报准确与否相互独立那么在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是A0.06B0.24C0.56D0.943（5分）命题“存在，”的否定是A不存在，B存在，C对任意的，D对任意的，4（5分）若双曲线上一点与其左顶点、右焦点构成以右焦点为直角顶点的等腰三角形，则此双曲线的离心率为ABC2D5（5分）下列各式中，值为的是ABCD6（5分）如图，一竖立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处，则该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于ABCD7（5分）如图，正方形中，为的中点，若，则的值为ABC1D8（5分）函数的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线关于轴对称，则ABCD9（5分）若的展开式的各项系数和为243，则的系数为A10B20C30D6010（5分）已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当，是函数的导函数）成立若，则，的大小关系是ABCD11（5分）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是AB，CD，12（5分）已知，直线与函数的图象在处相切，设，若在区间，上，不等式恒成立，则实数A有最小值B有最小值C有最大值D有最大值二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）13（5分）的定义域为 14（5分）任取，则点落在抛物线和围成的封闭区域内的概率为15（5分）已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则的取值范围是 16（5分）如图，棱长为3的正方体的顶点在平面上，三条棱，都在平面的同侧，若顶点，到平面的距离分别为1，则顶点到平面的距离是 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）设函数（）求函数的最小正周期和单调递增区间；（）当，时，函数的最小值为2，求函数的最大值及对应的的值18（12分）如图，在三棱锥中，平面，为的中点，过点作，且，连结，（1）证明：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值19（12分）已知函数的图象与函数的图象关于点对称（）求的解析式；（）若，且在区间，上为增函数，求实数的取值范围20（12分）已知椭圆的一个焦点为，且该椭圆过定点求椭圆的标准方程；（）设点，过点作直线与椭圆交于，两点，且，若，以，为邻边作平行四边形，求对角线的长度的最小值21（12分）已知函数（）讨论函数的单调区间；（）当时，设的两个极值点，恰为的零点，求的最小值请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，在中，于，于，交于点，若，（1）求证：；（2）求线段的长度选修4-4：坐标系与参数方程23在极坐标系中，已知曲线，为曲线上的动点，定点（）将曲线的方程化成直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（）求、两点的最短距离选修4-5：不等式选讲24设函数（1）求不等式的解集；（2），使，求实数的取值范围2016-2017学年湖北省襄阳五中高三（上）9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若是虚数单位），则ABCD【考点】：复数的运算【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；：数系的扩充和复数【分析】由，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求【解答】解：由，得故选：【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题2（5分）甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果它们预报准确的概率分别为0.8与0.7，且预报准确与否相互独立那么在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是A0.06B0.24C0.56D0.94【考点】：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【专题】：概率与统计【分析】求得甲气象台预报不准确的概率为，乙气象台预报不准确的概率为，相乘即得所求【解答】解：甲气象台预报不准确的概率为，乙气象台预报不准确的概率为，故在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是，故选：【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于中档题3（5分）命题“存在，”的否定是A不存在，B存在，C对任意的，D对任意的，【考点】：命题的否定【专题】11：计算题；35：转化思想；：定义法；：简易逻辑【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：特称命题的否定是全称命题命题“存在，”的否定是：“对任意的，”故选：【点评】本题考查命题的否定，注意量词的变化，基本知识的考查4（5分）若双曲线上一点与其左顶点、右焦点构成以右焦点为直角顶点的等腰三角形，则此双曲线的离心率为ABC2D【考点】：双曲线的性质【专题】34：方程思想；48：分析法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设出左顶点为，右焦点为，由条件可得，且轴，可得，令，代入计算可得，再由，的关系和离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：设双曲线上一点为，左顶点为，右焦点为，由题意可得，且轴，可得，由代入双曲线的方程可得，可得，即为，可得故选：【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用等腰直角三角形的概念，考查运算能力，属于基础题5（5分）下列各式中，值为的是ABCD【考点】：三角函数的恒等变换及化简求值【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值【分析】由条件利用二倍角公式、两角和的差三角公式，求出各个选项中式子的值，从而得出结论【解答】解：由于，故排除由于，故排除由于，满足条件由于，故排除，故选：【点评】本题主要二倍角公式、两角和的差三角公式，属于基础题6（5分）如图，一竖立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处，则该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于ABCD【考点】：点、线、面间的距离计算【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；：空间位置关系与距离【分析】作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为，由余弦定理求出设底面圆的半径为，求解即可得到选项【解答】解：作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为，由余弦定理可得，设底面圆的半径为，则有，故项正确故选：【点评】本题考查空间几何体的表面展开图的应用，最小值的求法，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力7（5分）如图，正方形中，为的中点，若，则的值为ABC1D【考点】：平面向量的基本定理；：数量积表示两个向量的夹角【专题】11：计算题；39：运动思想；：平面向量及应用【分析】利用向量转化求解即可【解答】解：由题意正方形中，为的中点，可知：则的值为：故选：【点评】本题考查向量的几何意义，考查计算能力8（5分）函数的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线关于轴对称，则ABCD【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；：函数的图象与图象的变换【专题】51：函数的性质及应用【分析】首先求出与函数的图象关于轴对称的图象的函数解析式，然后换为即可得到要求的答案【解答】解：函数的图象关于轴对称的图象的函数解析式为，而函数的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线的图象关于轴对称，所以函数的解析式为即故选：【点评】本题考查了函数解析式的求解与常用方法，考查了函数图象的对称变换和平移变换，函数图象的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，是基础题9（5分）若的展开式的各项系数和为243，则的系数为A10B20C30D60【考点】：二项式定理【专题】35：转化思想；49：综合法；：二项式定理【分析】根据各项系数和求出的值，再利用乘方的意义求出的系数【解答】解：令，可得的展开式的各项系数和为，而表示5个因式的积，故有2个因式取，2个因式取，剩下的一个因式取，可得函的项，故的系数为，故选：【点评】本题主要考查二项式定理的应用，乘方的意义，属于基础题10（5分）已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当，是函数的导函数）成立若，则，的大小关系是ABCD【考点】：对数值大小的比较【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】由导数性质推导出当或时，函数单调递减由此能求出结果【解答】解：函数的图象关于直线对称，关于轴对称，函数为奇函数，当时，函数单调递减，当时，函数单调递减，故选：【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意导数性质、函数性质的合理运用11（5分）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是AB，CD，【考点】53：函数的零点与方程根的关系【专题】11：计算题；13：作图题；51：函数的性质及应用【分析】作函数的图象如下，由图象可得，；从而化简，利用函数的单调性求取值范围【解答】解：作函数，的图象如下，由图可知，；故，其在上是增函数，故；即；故选：【点评】本题考查了分段函数的应用，属于中档题12（5分）已知，直线与函数的图象在处相切，设，若在区间，上，不等式恒成立，则实数A有最小值B有最小值C有最大值D有最大值【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】35：转化思想；48：分析法；52：导数的概念及应用；59：不等式的解法及应用【分析】求得的导数，可得切线的斜率，解方程可得，求出的导数和单调性，可得最值，解不等式即可得到的最值【解答】解：，又点在直线上，当，时，（1），在，上单调递增，（1），在，上单调递增，或，的最大值为，无最小值，故选：【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）13（5分）的定义域为【考点】33：函数的定义域及其求法【专题】11：计算题；33：函数思想；：数学模型法；51：函数的性质及应用【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，然后求解对数不等式得答案【解答】解：由，得，解得的定义域为故答案为：【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了对数不等式的解法，是基础题14（5分）任取，则点落在抛物线和围成的封闭区域内的概率为【考点】：几何概型【专题】31：数形结合；：定义法；：概率与统计【分析】根据几何概型的概率公式结合积分的应用求出对应区域的面积，进行求解即可得到结论【解答】解：由得，由和得交点，则阴影部分的面积，故答案为，【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据积分的应用求出对应区域的面积是解决本题的关键15（5分）已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则的取值范围是【考点】53：函数的零点与方程根的关系【专题】13：作图题；51：函数的性质及应用【分析】作的图象，从而由可得有三个不同的解，从而结合图象解得【解答】解：作的图象如下，或；有两个不同的解，故有三个不同的解，故；故答案为：【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用16（5分）如图，棱长为3的正方体的顶点在平面上，三条棱，都在平面的同侧，若顶点，到平面的距离分别为1，则顶点到平面的距离是【考点】：点、线、面间的距离计算【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离【分析】本题的条件正规，但位置不正规牵涉到的知识虽然只有线面距离和线面角，但难于下手出路何在？在正方体的8个顶点中，有关系的只有4个（其他顶点可不予理会）这4点组成直角四面体，这就是本题的根所以最终归结为：已知直角四面体的3个顶点，到平面的距离依次为0，1，求顶点到平面的距离【解答】解：如图，连结、，则四面体为直角四面体作平面的法线，再作，平面于，平面于，平面于连结，令，由等体积可得，令，可得，设，解得即所求点到平面的距离为故答案为：【点评】本题考查点到平面的距离，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，难度大三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）设函数（）求函数的最小正周期和单调递增区间；（）当，时，函数的最小值为2，求函数的最大值及对应的的值【考点】：两角和与差的三角函数；：三角函数的周期性；：三角函数的最值【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值【分析】（）由条件利用三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性求得函数的最小正周期和单调递增区间（）当，时，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的最大值及对应的的值【解答】解：（）由于函数，最小正周期为由得：，故函数的单调增区间为，（）当，时，函数的最小值为2，求函数的最大值及对应的的值，故当时，原函数取最小值2，即，故，故当时，取得最大值为，此时，【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性、值域，属于基础题18（12分）如图，在三棱锥中，平面，为的中点，过点作，且，连结，（1）证明：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值【考点】：直线与平面垂直；：二面角的平面角及求法【专题】14：证明题；35：转化思想；：空间位置关系与距离；：空间角【分析】（1）连结，推导出四边形为正方形，从而，由线面垂直得，由等腰三角形性质得，从而，由此能证明平面（2）由平面，连结，则为二面角的平面角，由此能求出二面角的平面角的余弦值【解答】证明：（1）如图，连结，为中点，平面，平面，平面，平面，四边形为正方形，平面，平面，为线段的中点，又，平面，平面，平面解：（2）由（1）知平面，连结，则为二面角的平面角，由题意知，二面角的平面角的余弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19（12分）已知函数的图象与函数的图象关于点对称（）求的解析式；（）若，且在区间，上为增函数，求实数的取值范围【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；：函数单调性的性质与判断；：奇偶函数图象的对称性【专题】51：函数的性质及应用【分析】先设的图象上任一点，再由点点对称求出对称的坐标，由题意把对称点的坐标代入的解析式，进行整理即可；由求出的解析式，再求出导数，将条件转化为：在区间，上恒成立，再分离出常数，利用函数在区间，上的单调性求出函数的最小值，再求出的范围【解答】解：设的图象上任一点，则点关于点对称在的图象上，得，即，由得，则，在区间，上为增函数，在区间，上恒成立，即在区间，上恒成立，在区间，上递增，故此函数的最小值为，则【点评】本题考查了利用轨迹法求函数解析式，导数与函数单调性、最值问题，以及恒成立问题，考查了转化思想20（12分）已知椭圆的一个焦点为，且该椭圆过定点求椭圆的标准方程；（）设点，过点作直线与椭圆交于，两点，且，若，以，为邻边作平行四边形，求对角线的长度的最小值【考点】：椭圆的性质【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）利用椭圆焦点性质、该椭圆过定点和，间的关系列出方程组，求出，由此能求出椭圆的标准方程（）设直线的方程为，将直线的方程代入，由根与系数的关系、向量运算法则、两点间距离公式，结合题意能求出对角线的长度的最小值【解答】解：（）椭圆的一个焦点为，且该椭圆过定点，解得，椭圆的标准方程为（）设直线的方程为，将直线的方程代入，得：，设，且，由根与系数的关系得，且，把平方除以，得：，由，得，令，即，对角线的长度的最小值为2【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查对角线长度的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根与系数的关系、向量运算法则、两点间距离公式的合理运用21（12分）已知函数（）讨论函数的单调区间；（）当时，设的两个极值点，恰为的零点，求的最小值【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的极值【专题】32：分类讨论；49：综合法；：构造法；52：导数的概念及应用【分析】求出函数的导数，讨论的取值，利用导数判断函数的单调性与单调区间；对函数求导数，利用极值的定义得出时存在两正根，；再利用判别式以及根与系数的关系，结合零点的定义，构造函数，利用导数即可求出函数的最小值【解答】解：函数，；当时，由解得，即当时，单调递增；由解得，即当时，单调递减；当时，即在上单调递增；当时，故，即在上单调递增；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时， 的单调递增区间为； （5分），则，的两根，即为方程的两根；又，； （7分）又，为的零点，两式相减得，得，而，（10分）令，由得，因为，两边同时除以，得，故，解得或，；（12分）设，则在，上是减函数，即的最小值为 （14分）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数单调区间的问题，也考查了构造函数法和分类讨论思想的应用问题，是综合题请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，在中，于，于，交于点，若，（1）求证：；（2）求线段的长度【考点】：圆內接多边形的性质与判定；：与圆有关的比例线段【专题】11：计算题；17：选作题；35：转化思想；49：综合法；：推理和证明【分析】（1）推导出，四点在以为直径的圆上，由割线定理能证明（2）过点作于点，推导出，四点共圆，四点共圆，由此利用割线定理能求出的长【解答】证明：（1）由已知，所以，四点在以为直径的圆上，由割线定理知：（3分）解：（2）如图，过点作于点