高中数学 第四讲 用数学归纳法证明不等式教学课件 新人教版A版选修45.ppt

1 利用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中 方法多种多样 其中数学归纳法是常用的方法之一 在运用数学归纳法证明不等式时 由n k成立 推导n k 1成立时 常常要与其他方法 如 等结合进行 比较法 分析法 综合法 放缩法 2 归纳 猜想 证明的思想方法数学归纳法作为一种重要的证明方法 常常体现在 归纳 猜想 证明 这一基本思想方法中 一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论 更重要的是 要用不完全归纳法去发现某些结论 规律并用证明其正确性 形成 观察 归纳 猜想 证明 的思想方法 数学归纳法 证明 1 当n 1时 左边 21 2 4 右边 1 左边 右边 当n 2时 左 22 2 6 右 22 4 所以左边 右边 当n 3时 左 23 2 10 右 32 9 所以左边 右边 因此当n 1 2 3时 不等式成立 2 假设当n k k 3且k n 时 不等式成立 当n k 1时 2k 1 2 2 2k 2 2 2k 2 2 2k2 2 k2 2k 1 k2 2k 3 k2 2k 1 k 1 k 3 因k 3 则k 3 0 k 1 0 k2 2k 1 k 1 2 所以2k 1 2 k 1 2 故当n k 1时 原不等式也成立 根据 1 2 原不等式对于任何n n都成立 利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n k到n k 1的变形 为满足题目的要求 常常要采用 凑 的手段 一是凑出假设的形式 便于用假设 二是凑出结论的形式 再证明 例2 设f n 0 n n 对任意自然数n1和n2总有f n1 n2 f n1 f n2 又f 2 4 1 求f 1 f 3 的值 2 猜想f n 的表达式 并证明你的猜想 思路点拨 利用f n1 n2 f n1 f n2 可求出f 1 f 3 再猜想f n 利用数学归纳法给出证明 解 1 由于对任意自然数n1和n2 总有f n1 n2 f n1 f n2 取n1 n2 1 得f 2 f 1 f 1 即f2 1 4 f n 0 n n f 1 2 取n1 1 n2 2 得f 3 23 2 由f 1 21 f 2 4 22 f 3 23 猜想f n 2n 证明 当n 1时f 1 2成立 假设n k时 f k 2k成立 f k 1 f k f 1 2k 2 2k 1 这就是说当n k 1时 猜想也成立 由 知猜想正确 即f n 2n 利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是 观察 归纳 猜想 证明 即先通过观察部分项的特点 进行归纳 判断并猜想出一般结论 然后用数学归纳法进行证明 4 在数列 an bn 中 a1 2 b1 4 且an bn an 1成等差数列 bn an 1 bn 1成等比数列 n n 1 求a2 a3 a4及b2 b3 b4的值 由此猜测 an bn 的通项公式 2 证明你的结论 解 1 由条件得2bn an an 1 a bnbn 1 由此可得a2 6 b2 9 a3 12 b3 16 a4 20 b4 25 猜测an n n 1 bn n 1 2 2 用数学归纳法证明 当n 1时 由上知结论成立 假设当n k时 结论成立 即ak k k 1 bk k 1 2 那么当n k 1时 ak 1 2bk ak 2 k 1 2