线性代数练习题答案.doc

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线性代数练习题答案第一章 行列式1.计算下列三阶行列式：（1）；（2）； （3）； （4）；（5）；（6）；（7）,其中对角线上元素都是，未写出的元素都是0；解 （1）=（2）（3）（范德蒙行列式公式）（4）12 （范德蒙行列式公式）(5)=0(6) =（7）()2.（1）设，求 （2）设，求解：（1）= （2）=第二章 矩阵一 1. 4， -42. 3. -1, 4. 二 A B D D三1. 解：先化简 从而 而 可逆 所以 2.（1），(2) 3. 证明：由两边同时加上得 ，要据矩阵乘法及加法的性质得 。根据可逆矩阵的定义知，可逆，且4. 解：当时，所以R(A)=3当时，另外显然有A的二阶子式不为零，所有R(A)=25解：6 解: 7. 解：第3章 线性方程组1非齐次线性方程组当取何值时有解？并求出它的解解方程组有解，须得当时,方程组解为当时,方程组解为2 已知 试讨论向量组，以及，的线性相关性。解 可见，向量组线性相关；而向量组线性无关。3 设矩阵，求矩阵A的列向量组的一个最大线性无关组，并把不属于最大线性无关组的列向量用最大线性无关组线性表示。解 事实上 ，而由行最简形矩阵 4 求齐次线性方程组的基础解系和通解。解 第一步，得同解方程组第二步，第三步，5 求解非齐次线性方程组解 第一步， 第二步， 得第三步， ，取得到基础解系为第四步，原非齐次线性方程组的通解为 即第四章 1 计算矩阵的特征值与特征向量解：因为方阵A的特征多项式为所以A的特征值为，。当时，代入特征方程组，由得基础解系，因此，属于的全部特征向量为。当时，代入特征方程组，由得基础解系，因此，属于的全部特征向量为。2 已知三阶矩阵A的3个特征值分别为1, -1, 2，矩阵，求B的特征值，并求出行列式的值。解：因为，所以B的特征值为。将矩阵A的3个特征值分别为1, -1, 2分别代入得B的三个特征值：-4, -6，-12.从而。3 设三阶方阵A的三个特征值为，对应的特征向量分别为，求。解：根据题意知A能对角化，故根据矩阵对角化的性质有：，其中。所以有，。所以，又因为，所以4 判断下列矩阵是否与对角阵相似。若与对角阵相似，求一个可逆矩阵P，使为对角矩阵。（1）（2）解：（1）由求解得（二重）。将代入特征方程组得：，其系数矩阵为因为，所以不能与对角阵相似。（2）由求解得三个不同的，所以可以与对角阵相似。将代入特征方程组得，解为：，（）；将代入特征方程组得，解为：，（）；将代入特征方程组得，解为：，（）。故得使5设A为n阶方阵且，试证明A的特征值为1或-1证明：设为A的任一特征值，则为的特征值，而的全部特征值全为1，所以，解得或，故A的特征值为1或-1.6设方阵与相似，求x, y.解：由两个矩阵相似可得，即。求解得7. 教材Ex4(3)第五章 二次型1. 写出二次型的矩阵表示式, 并求其秩。解：二次型的矩阵表示式为.因为二次型的矩阵的秩为3, 故二次型的秩为3.2. 求一正交变换将二次型化成标准型, 其中。解: 二次型对应的矩阵解得的特征值将代入特征方程得得方程组 基础解系 单位化得将代入特征方程得得方程组基础解系为单位化 将代入特征方程得 得方程组基础解系，单位化令，得正交变换的标准型3. 问t 取何值时，二次型是正定的，其中。解: . 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