高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念导学案 新人教A版必修4.doc

2.1 平面向量的实际背景及基本概念学习目标1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.知识点一向量的概念思考1在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？答案 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向.思考2两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？答案数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小.梳理向量与数量(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量.(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量.知识点二向量的表示方法思考1向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？答案可以用一条有向线段表示.思考20的模长是多少？0有方向吗？答案0的模长为0，方向任意.思考3单位向量的模长是多少？答案单位向量的模长为1个单位长度.梳理(1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示.带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示. 以a为起点、b为终点的有向线段记作.(2)向量的字母表示：向量可以用字母a， b， c，表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用， ， ).(3)向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，即有向线段的长度，记作|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.知识点三相等向量与共线向量思考1已知a，b为平面上不同两点，那么向量和向量相等吗？它们共线吗？答案因为向量和向量方向不同，所以二者不相等.又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线.思考2向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？答案不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动.由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合.思考3若ab，bc，那么一定有ac吗？答案不一定.因为当b0时，a，c可以是任意向量.梳理(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.记法：向量a平行于b，记作ab.规定：零向量与任一向量平行.(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.类型一向量的概念例1下列说法正确的是()a.向量与向量的长度相等b.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同c.零向量没有方向d.任意两个单位向量都相等答案a解析两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向不确定，并不是没有方向；任意两个单位向量只有长度相等，方向不一定相同，故b，c，d都错误，a正确.故选a.反思与感悟解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题.跟踪训练1下列说法正确的有 .(1)若|a|b|，则ab或ab；(2)向量与是共线向量，则a、b、c、d四点必在同一条直线上；(3)向量与是平行向量.答案(3)解析(1)错误.|a|b|仅说明a与b的模相等，不能说明它们方向的关系.(2)错误.共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量、必须在同一直线上，因此点a、b、c、d不一定在同一条直线上.(3)正确.向量和是长度相等，方向相反的两个向量.类型二共线向量与相等向量例2如图所示，abc的三边均不相等，e、f、d分别是ac、ab、bc的中点. (1)写出与共线的向量；(2)写出与的模大小相等的向量；(3)写出与相等的向量.解(1)因为e、f分别是ac、ab的中点，所以ef綊bc.又因为d是bc的中点，所以与共线的向量有，.(2)与模相等的向量有，.(3)与相等的向量有与.反思与感悟(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反.(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.跟踪训练2如图所示，o是正六边形abcdef的中心. (1)与的模相等的向量有多少个？(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？(3)与共线的向量有哪些？解(1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如ob)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个.(2)存在.由正六边形的性质可知，bcaoef，所以与的长度相等、方向相反的向量有，共4个.(3)由(2)知，bcoaef，线段od，ad与oa在同一条直线上，所以与共线的向量有，共9个.类型三向量的表示及应用例3一辆汽车从a点出发向西行驶了100 km到达b点，然后又改变方向，向西偏北50的方向走了200 km到达c点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达d点.(1)作出向量、；(2)求|.解(1)向量、如图所示.(2)由题意，易知与方向相反，故与共线，|，在四边形abcd中，ab綊cd，四边形abcd为平行四边形，|200 km.反思与感悟准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.跟踪训练3在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1. (1)试以b为终点画一个向量b，使ba；(2)在图中画一个以a为起点的向量c，使|c|，并说出向量c的终点的轨迹是什么？解(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略).(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以a为圆心，半径为的圆(作图略).1.下列结论正确的个数是()温度含零上和零下温度，所以温度是向量；向量的模是一个正实数；向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；若|a|b|，则ab.a.0 b.1 c.2 d.3答案b解析温度没有方向，所以不是向量，故错；向量的模也可以为0，故错；向量不可以比较大小，故错；若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故对.2.下列说法错误的是()a.若a0，则|a|0b.零向量是没有方向的c.零向量与任一向量平行d.零向量的方向是任意的答案b解析零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以b是错误的.3.如图所示，梯形abcd为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是()a. b.|c. d.答案b解析|与|表示等腰梯形两腰的长度，故相等.4.如图所示，以12方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中. (1)写出与、相等的向量；(2)写出与模相等的向量.解(1)，.(2)，.1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用.2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然，同一直线上的向量也是平行向量.3.注意两个特殊向量零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.课时作业一、选择题1.下列物理量：质量；速度；位移；力；加速度；路程.其中是向量的有()a.2个 b.3个 c.4个 d.5个答案c解析是向量.2.下列说法中正确的个数是()任一向量与它的相反向量不相等；一个向量方向不确定当且仅当模为0；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；单位向量的模都相等.a.0 b.1 c.2 d.3答案c3.下列说法正确的是()a.若ab，则a与b的方向相同或相反b.若ab，bc，则acc.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等d.若ab，bc，则ac答案d4.如图，在四边形abcd中，若，则图中相等的向量是() a.与 b.与c.与 d.与答案d解析，四边形abcd是平行四边形，ac、bd互相平分，.5.如图，在菱形abcd中，bad120，则以下说法错误的是() a.与相等的向量只有一个(不含)b.与的模相等的向量有9个(不含)c.的模恰为的模的倍d.与不共线答案d解析由于，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，因此选项b正确.而rtaod中，ado30，|，故|，因此选项c正确.由于，因此与是共线的，故选d.6.如图所示，四边形abcd，cefg，cghd是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是() a.|b.与共线c.与共线d.答案c7.以下命题：|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关；两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；单位向量都是共线向量.其中，正确命题的个数是()a.0 b.1 c.2 d.3答案c解析错误.二、填空题8.在四边形abcd中，若且|，则四边形的形状为 .答案菱形解析，ab綊dc，四边形abcd是平行四边形，|，四边形abcd是菱形.9.给出以下5个条件：ab；|a|b|；a与b的方向相反；|a|0或|b|0；a与b都是单位向量.其中能使ab成立的是 .(填序号)答案解析相等向量一定是共线向量，故能使ab；方向相同或相反的向量一定是共线向量，故能使ab；零向量与任一向量平行，故成立.10.如图，若四边形abcd为正方形，bce为等腰直角三角形，则：(1)图中与共线的向量有 ；(2)图中与相等的向量有 ；(3)图中与的模相等的向量有 ；(4)图中与相等的向量有 .答案(1)，(2)，(3)，(4)三、解答题11.一辆消防车从a地去b地执行任务，先从a地向北偏东30方向行驶2千米到d地，然后从d地沿北偏东60方向行驶6千米到达c地，从c地又向南偏西30方向行驶2千米才到达b地. (1)画出，；(2)求b地相对于a地的位置向量.解(1)向量，如图所示. (2)由题意知，ad綊bc，则四边形abcd为平行四边形，则b地相对于a地的位置向量为“北偏东60，长度为6千米”.12.如图，已知.求证：(1)abcabc；(2)，.证明(1)，|，且.又点a不在上，aabb，四边形aabb是平行四边形，|.同理|，|.abcabc.(2)四边形aabb是平行四边形，且|，.同理可证.13.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点a，b.点c为小正方形的顶点，且|.(1)画出所有的向量；(2)求|的最大值与最小值.解(1)画出所有的向量，如图所示.(2)由(1)所画的图知，当点c位于点c1或c2时，|取得最小值；当点c位于点c5或c6时