2019_2020学年高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.3绝对值不等式的解法讲义新人教B版.docx

1.3.1|axb|c，|axb|c型不等式的解法 1.3.2|xa|xb|c，|xa|xb|c型不等式的解法学习目标：1.理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c；|xa|xb|c.教材整理1绝对值不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|ax|axax|xa，或x0的解集是()AB(，0)CD解析原不等式等价于解得x0)型不等式的解法1|axb|ccaxbc.2|axb|caxbc或axbc.不等式1|x1|3的解集为()A(0,2)B(2,0)(2,4)C(4,0) D(4，2)(0,2)解析由1|x1|3，得1x13或3x11，0x2或4x2，不等式的解集为(4，2)(0,2)答案D教材整理3|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法1利用绝对值不等式的几何意义求解2利用零点分段法求解3构造函数，利用函数的图象求解|axb|c与|axb|c型不等式的解法【例1】解下列不等式(1)1|x2|3；(2)|2x5|7x；(3).精彩点拨本题考查较简单的绝对值不等式的解法解答本题(1)可利用公式转化为|axb|c(c0)或|axb|c(c0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式(3)可分类讨论去掉分母和绝对值自主解答(1)法一：原不等式等价于不等式组即解得1x1或3x5，所以原不等式的解集为x|1x1或3x5法二：原不等式可转化为：或由得3x5，由得1x1，所以原不等式的解集是x|1x1或3x5(2)由不等式|2x5|7x，可得2x57x或2x5(7x)，整理得x2或x4.所以原不等式的解集是x|x4或x2(3)当x220且x0，即当x，且x0时，原不等式显然成立当x220时，原不等式与不等式组等价，x22|x|即|x|2|x|20，所以|x|2，所以不等式组的解为|x|2，即x2或x2.所以原不等式的解集为(，2(，0)(0，)2，)形如|f(x)|g(x)的不等式可借助|axb|c的解法，转化为f(x)g(x)或f(x)g(x)，当然|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)如果f(x)的正负能确定的话，也可以直接去掉绝对值符号1解下列不等式(1)x|2x1|3；(2)|12x|3.解(1)原不等式可化为或解得x或2x，所以原不等式的解集是.(2)原不等式化为|2x1|3，得32x13，从而22x4，得解集为x|1x2|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法【例2】解不等式|x2|x1|4.精彩点拨在数轴上与2,1对应的点把数轴分成三部分，在每一部分里分别讨论不等式的解，然后把所求得三个集合取并集；也可以利用绝对值几何意义求解，另外还可以构造函数通过数形结合求得自主解答法一(零点分段讨论法)：(1)x2时，|x2|x1|42x1x42x5x，x2；(2)2x1时，|x2|x1|4x21x410，2x1；(3)x1时，|x2|x1|4x2x142x3x，1x.因此原不等式的解集为(2,1).法二(几何法)：x为不等式|x2|x1|4的解x是与数轴上的点A(2)及B(1)两点距离之和小于等于4的点A，B两点的距离为3，因此线段AB上任何一点到A，B距离之和都等于3，因此都是原不等式的解，但我们需要找到原不等式解的全体，于是关键在于找到A，B距离之和为4的点如图，我们将B向右移动个单位至点B1，此时B1与A及B距离之和增加1个单位，同理我们将A点向左移动个单位到A1，这时A1与A及B距离之和也增加一个单位，从数轴上可以看到A1与B1之间的任何点(包括点A1和B1)到A，B的距离之和均小于等于4，而当x或x时，x与A，B两点的距离之和都大于4.因而原不等式的解集为.法三(图象法)：将原不等式转化为|x2|x1|40.构造函数y|x2|x1|4，即y作出函数图象(如图)，当x时，y0，所以原不等式的解集为.|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式可从以下三个方面去解：(1)零点分段讨论法设数轴上与a，b对应的点分别是A，B，以A，B为分界点，将数轴分为三个区间，在这三个区间上，绝对值不等式可以转化为不含绝对值的不等式，分别求解后再求并集(2)利用|xa|的几何意义|xa|xb|与|xa|xb|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的距离之和与距离之差(3)(构造函数法)数形结合法通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的单调性)是解题关键2解不等式|x1|x2|4.解当x1时，不等式化为x12x4，解得x1；当1x2时，不等式化为x12x4，解得1x2；当x2时，不等式化为x1x24，解得2x.所以原不等式的解集为.含参数的绝对值不等式的综合问题【例3】已知函数f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集为x|1x5，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)f(x5)m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围精彩点拨 自主解答(1)由f(x)3，得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集为x|1x5，所以解得a2.(2)由(1)知a2，此时f(x)|x2|，设g(x)f(x)f(x5)|x2|x3|，于是g(x)利用g(x)的单调性，易知g(x)的最小值为5.因此，若g(x)f(x)f(x5)m对xR恒成立，实数m的取值范围是(，51第(2)问求解的关键是转化为求f(x)f(x5)的最小值，运用分类讨论思想，利用函数的单调性求解2将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用3若将“本例的条件和第(1)问”改为“f(x)|2x2|x3|且关于x的不等式f(x)|2a1|的解集不是空集”，试求实数a的取值范围解易知f(x)当x3时，f(x)3x18，当3x1时，f(x)5x是减函数，4f(x)8，当x1时，f(x)3x14.因此f(x)的值域是4，)要使f(x)|2a1|的解集不是空集，必须有|2a1|4，2a14或2a14，解得a或a.因此实数a的取值范围是.含绝对值的不等式的解法探究问题1当c0时，|axb|c，|axb|c的解集分别是什么？提示cx2的解集是()A(，2)B(，)C(2，) D(，2)(2，)解析原不等式同解于x20，即x的解集是()A(0,2)B(，0)C(2，) D(，0)(2，)解析由绝对值的意义知等价于0，即x(x2)0，解得0x2.答案A4若关于x的不等式|x3|x4|1.答案(1，)5解不等式|5xx2|6.解法一