高考数学一轮复习 第五章 数列学案 理.doc

第五章 数列第一节数列的概念与简单表示法1数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列an的第n项an通项公式数列an的第n项an与n之间的关系能用公式anf(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列an中，sna1a2an叫做数列的前n项和2.数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和an1f(an)或a1，a2和an1f(an，an1)等表示数列的方法3.通项公式和递推公式的异同点不同点相同点通项公式可根据某项的序号n的值，直接代入求出an都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项递推公式可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的an4.an与sn的关系若数列an的前n项和为sn，则an5数列的分类分类的标准名称含义例子按项的个数有穷数列项数有限的数列1,2,3,4，100无穷数列项数无限的数列1,4,9，n2，按项的变化趋势递增数列从第二项起，每一项大于它的前一项的数列3,4,5，n递减数列从第二项起，每一项小于它的前一项的数列1，常数列各项都相等的数列6,6,6,6，摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列1，2,3，4按项的有界性有界数列任一项的绝对值都小于某一正值1，1,1，1,1，1，无界数列不存在某一正值能使任一项的绝对值小于它1,3,4,4，1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个()(2)1,1,1,1，不能构成一个数列()(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列()(4)如果数列an的前n项和为sn，则对nn*，都有an1sn1sn.()答案：(1)(2)(3)(4)2已知数列an的通项公式为an912n，则在下列各数中，不是an的项的是()a21b33c152 d153解析：选c由912n152，得nn*.3在数列an中，a11，an1(n2)，则a4()a. b.c. d.解析：选b由题意知，a11，a212，a31，a41.4已知数列an满足a11，anan12n(n2)，则a7()a53 b54c55 d109解析：选c由题意知，a2a122，a3a223，a7a627，各式相加得a7a12(2347)55.5数列1，的一个通项公式an_.解析：由已知得，数列可写成，故通项公式可以为an.答案：6已知数列an的前n项和sn2n3，则数列an的通项公式是_解析：当n1时，a1s1231，当n2时，ansnsn1(2n3)(2n13)2n2n12n1.又a11不适合上式，故an答案：an考什么怎么考由sn和an的关系求通项公式是一种常见题型，高考中选择题、填空题、解答题都有呈现，但以解答题的分支命题为重点，近几年来考查难度有所降低.考法(一)已知sn，求an1已知sn3n2n1，则an_.解析：因为当n1时，a1s16；当n2时，ansnsn1(3n2n1)3n12(n1)123n12，由于a1不适合此式，所以an答案：2(2017全国卷改编)设数列an满足a13a2(2n1)an2n，则an_.解析：因为a13a2(2n1)an2n，故当n2时，a13a2(2n3)an12(n1)两式相减得(2n1)an2，所以an(n2)又由题设可得a12，满足上式，从而an的通项公式为an(nn*)答案：(nn*)题型技法已知sn求an的3步骤(1)先利用a1s1求出a1；(2)用n1替换sn中的n得到一个新的关系，利用ansnsn1(n2)便可求出当n2时an的表达式；(3)注意检验n1时的表达式是否可以与n2的表达式合并考法(二)由sn与an的关系，求an，sn3设数列an的前n项和为sn，且sn2(an1)(nn*)，则an()a2nb2n1c2n d2n1解析：选c当n1时，a1s12(a11)，可得a12，当n2时，ansnsn12an2an1，an2an1，数列an为首项为2，公比为2的等比数列，所以an2n.4(2015全国卷)设sn是数列an的前n项和，且a11，an1snsn1，则sn_.解析：an1sn1sn，an1snsn1，sn1snsnsn1.sn0，1，即1.又1，是首项为1，公差为1的等差数列1(n1)(1)n，sn.答案：题型技法sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化(1)利用ansnsn1(n2)转化为只含sn，sn1的关系式，再求解(2)利用snsn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，再求解考什么怎么考由数列的递推关系式求通项公式在高考中经常出现，有选择题、填空题，也出现在解答题的第(1)问中，近几年考查难度有所降低，但也要引起关注.方法(一)叠乘法求通项公式1在数列an中，a11，anan1(n2)，则数列an的通项公式为_解析：anan1(n2)，an1an2，an2an3，a2a1.以上(n1)个式子相乘得ana1.当n1时，a11，上式也成立an(nn*)答案：an(nn*)方法点拨叠乘法求通项公式的4步骤方法(二)叠加法求通项公式2设数列an满足a11，且an1ann1(nn*)，则数列an的通项公式为_解析：由题意有a2a12，a3a23，anan1n(n2)以上各式相加，得ana123n.又a11，an(n2)当n1时也满足上式，an(nn*)答案：an(nn*)方法点拨叠加法求通项公式的4步骤方法(三)构造法求通项公式3已知数列an满足a11，an13an2，则数列an的通项公式为_解析：an13an2，an113(an1)，3，数列an1为等比数列，公比q3，又a112，an123n1，an23n11(nn*)答案：an23n11(nn*)方法点拨构造法求通项公式的3步骤怎样快解准解1正确选用方法求数列的通项公式(1)对于递推关系式可转化为f(n)的数列，并且容易求数列f(n)前n项的积时，采用叠乘法求数列an的通项公式(2)对于递推关系式可转化为an1anf(n)的数列，通常采用叠加法(逐差相加法)求其通项公式(3)对于递推关系式形如an1panq(p0,1，q0)的数列，采用构造法求数列的通项2避免2种失误(1)利用叠乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到，漏掉a1而导致错误；二是根据连乘求出an之后，不注意检验a1是否成立(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定叠加、叠乘后最后一个式子的形式从近几年高考可以看出，数列中的最值、周期是高考的热点，一般难度稍大.在复习中，从函数的角度认识数列，注意数列的函数特征，特别是利用函数的方法研究数列的有关性质.典题领悟1已知数列an满足an1，若a1，则a2 018()a1b.c1 d2解析：选d由a1，an1，得a22，a31，a4，a52，于是可知数列an是以3为周期的周期数列，因此a2 018a36722a22.2已知数列an满足an(nn*)，则数列an的最小项是第_项解析：因为an，所以数列an的最小项必为an0，即0,3n160，从而n.又nn*，所以当n5时，an的值最小答案：5解题师说1解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值2判断数列单调性的2种方法(1)作差比较法：比较an1an与0的大小(2)作商比较法：比较与1的大小，注意an的符号3求数列最大项或最小项的方法(1)利用不等式组(n2)找到数列的最大项；(2)利用不等式组(n2)找到数列的最小项冲关演练1已知数列an满足a11，an1a2an1(nn*)，则a2 018()a1 b0c2 018 d2 018解析：选ba11，an1a2an1(an1)2，a2(a11)20，a3(a21)21，a4(a31)20，可知数列an是以2为周期的数列，a2 018a20，选b.2等差数列an的公差d0，且aa，则数列an的前n项和sn取得最大值时的项数n的值为()a5 b6c5或6 d6或7解析：选c由aa，可得(a1a11)(a1a11)0，因为d0，所以a1a110，所以a1a110，又2a6a1a11，所以a60.因为da2a5a60a7a8，显然前5项和或前6项和最大，故选c.(一)普通高中适用作业a级基础小题练熟练快1已知数列1,2，则2在这个数列中的项数是()a16b24c26 d28解析：选c因为a11，a22，a3，a4，a5，所以an.令an2，解得n26.2数列an的前n项和sn2n23n(nn*)，若pq5，则apaq()a10 b15c5 d20解析：选d当n2时，ansnsn12n23n2(n1)23(n1)4n5，当n1时，a1s11，符合上式，所以an4n5，所以apaq4(pq)20.3(2017河南许昌二模)已知数列an满足a11，an2an6，则a11的值为()a31 b32c61 d62解析：选a数列an满足a11，an2an6，a3617，a56713，a761319，a961925，a1162531.4(2018云南检测)设数列an的通项公式为ann2bn，若数列an是单调递增数列，则实数b的取值范围为()a(，1 b(，2c(，3) d.解析：选c因为数列an是单调递增数列，所以an1an2n1b0(nn*)，所以b2n1(nn*)，所以b(2n1)min3，即b100时，n的最小值为()a3 b4c5 d6解析：选c由a1，an4an11(n2)得，a24a11413，a34a2143113，a44a31413153，a54a414531213100.2(2018咸阳模拟)已知正项数列an中，(nn*)，则数列an的通项公式为()aann bann2can dan解析：选b，(n2)，两式相减得n(n2)，ann2(n2)又当n1时，1，a11，适合上式，ann2，nn*.故选b.3若数列an满足：a119，an1an3(nn*)，则数列an的前n项和数值最大时，n的值为()a6 b7c8 d9解析：选ba119，an1an3，数列an是以19为首项，3为公差的等差数列，an19(n1)(3)223n.设an的前k项和数值最大，则有kn*，k，kn*，k7.满足条件的n的值为7.4在数列an中，an0，且前n项和sn满足4sn(an1)2(nn*)，则数列an的通项公式为_解析：当n1时，4s1(a11)2，解得a11；当n2时，由4sn(an1)2a2an1，得4sn1a2an11，两式相减得4sn4sn1aa2an2an14an，整理得(anan1)(anan12)0，因为an0，所以anan120，即anan12，又a11，故数列an是首项为1，公差为2的等差数列，所以an12(n1)2n1.答案：an2n15.已知数列an的通项公式为an(1)n2n1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为_a1a2a3a4a5a6解析：由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列an的第12393348项，而a48(1)4896197，故该数阵中的第10行第3个数为97.答案：976已知数列an的通项公式是ann2kn4.(1)若k5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)对于nn*，都有an1an，求实数k的取值范围解：(1)由n25n40，解得1nan，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式ann2kn4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到nn*，所以3.所以实数k的取值范围为(3，)7已知二次函数f(x)x2axa(a0，xr)，有且只有一个零点，数列an的前n项和snf(n)(nn*)(1)求数列an的通项公式；(2)设cn1(nn*)，定义所有满足cmcm10得a4，所以f(x)x24x4.所以snn24n4.当n1时，a1s11441；当n2时，ansnsn12n5.所以an(2)由题意得cn由cn1可知，当n5时，恒有cn0.又c13，c25，c33，c4，c5，c6，即c1c20，c2c30，c4c50，所以数列cn的变号数为3.c级重难题目自主选做1已知数列an的通项公式为an(n2)n(nn*)，则数列an的最大项是()aa6或a7 ba7或a8ca8或a9 da7解析：选b因为an1an(n3)n1(n2)nn，当n0，即an1an；当n7时，an1an0，即an1an；当n7时，an1an0，即an1an，则a1a2a9a10，所以此数列的最大项是第7项或第8项，即a7或a8.故选b.2(2018成都诊断)在数列an中，a11，anan1(n2，nn*)，则an_.解析：由题意知，所以ana11.答案：(二)重点高中适用作业a级保分题目巧做快做1已知数列1,2，则2在这个数列中的项数是()a16b24c26 d28解析：选c因为a11，a22，a3，a4，a5，所以an.令an2，解得n26.2.(2018郑州模拟)已知数列an满足a11，an2an6，则a11的值为()a31 b32c61 d62解析：选a数列an满足a11，an2an6，a3617，a56713，a761319，a961925，a1162531.3数列an的前n项和sn2n23n(nn*)，若pq5，则apaq()a10 b15c5 d20解析：选d当n2时，ansnsn12n23n2(n1)23(n1)4n5，当n1时，a1s11，符合上式，所以an4n5，所以apaq4(pq)20.4(2018湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考)已知数列an满足：m，nn*，都有anamanm，且a1，那么a5()a. b.c. d.解析：选a数列an满足：m，nn*，都有anamanm，且a1，a2a1a1，a3a1a2，a5a3a2.5若数列an满足：a119，an1an3(nn*)，则数列an的前n项和最大时，n的值为()a6 b7c8 d9解析：选ba119，an1an3，数列an是以19为首项，3为公差的等差数列，an19(n1)(3)223n.设an的前k项和最大，则有kn*，k，kn*，k7.满足条件的n的值为7.6.(2018河北唐山一模)设数列an的前n项和为sn，且sn，若a432，则a1_.解析：sn，a432，s4s332，a1.答案：7已知数列an为，则数列an的一个通项公式是_解析：各项的分母分别为21,22,23,24，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为，故原数列可变为，故其通项公式为an(1)n，nn*.答案：an(1)n，nn*8在一个数列中，如果nn*，都有anan1an2k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积已知数列an是等积数列，且a11，a22，公积为8，则a1a2a3a12_.解析：依题意得数列an是周期为3的数列，且a11，a22，a34，因此a1a2a3a124(a1a2a3)4(124)28.答案：289.已知数列an的前n项和snn2kn，kn*，且sn的最大值为8.试确定常数k，并求数列an的通项公式解：因为snn2kn(nk)2k2，其中k是常数，且kn*，所以当nk时，sn取最大值k2，故k28，k216，因此k4，从而snn24n.当n1时，a1s14；当n2时，ansnsn1(n1)24(n1)n.当n1时，1a1，所以ann.10已知数列an的通项公式是ann2kn4.(1)若k5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)对于nn*，都有an1an，求实数k的取值范围解：(1)由n25n40，解得1nan，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式ann2kn4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到nn*，所以3.所以实数k的取值范围为(3，)b级拔高题目稳做准做1.(2018云南检测)设数列an的通项公式为ann2bn，若数列an是单调递增数列，则实数b的取值范围为()a(，1 b(，2c(，3) d.解析：选c因为数列an是单调递增数列，所以an1an2n1b0(nn*)，所以b2n1(nn*)，所以b(2n1)min3，即bf(6)，故f(n)的最小值为.3.(2018成都质检)在数列an中，a11，anan1(n2，nn*)，则an_.解析：由题意知，所以ana11.答案：4.已知数列an的通项公式为an(1)n2n1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为_a1a2a3a4a5a6解析：由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列an的第12393348项，而a48(1)4896197，故该数阵中的第10行第3个数为97.答案：975已知二次函数f(x)x2axa(a0，xr)，有且只有一个零点，数列an的前n项和snf(n)(nn*)(1)求数列an的通项公式；(2)设cn1(nn*)，定义所有满足cmcm10得a4，所以f(x)x24x4.所以snn24n4.当n1时，a1s11441；当n2时，ansnsn12n5.所以an(2)由题意得cn由cn1可知，当n5时，恒有cn0.又c13，c25，c33，c4，c5，c6，即c1c20，c2c30，c4c50，所以数列cn的变号数为3.6.已知an是公差为d的等差数列，它的前n项和为sn，s42s24，在数列bn中，bn.(1)求公差d的值；(2)若a1，求数列bn中的最大项和最小项的值；(3)若对任意的nn*，都有bnb8成立，求a1的取值范围解：(1)s42s24，4a1d2(2a1d)4，解得d1.(2)a1，数列an的通项公式为an(n1)1n，bn11.函数f(x)1在和上分别是单调减函数，b3b2b11，当n4时，1bnb4，数列bn中的最大项是b43，最小项是b31.(3)由bn1，得bn1.又函数f(x)1在(，1a1)和(1a1，)上分别是单调减函数，且x1a1时，y1a1时，y1.对任意的nn*，都有bnb8，71a18，7a10，a7a44，sn为数列an的前n项和，则s19_.解析：设等差数列an的公差为d，由a7a44，得a16d(a13d)4，即a19d8，所以a108，因此s1919a10198152.答案：152考什么怎么考等差数列的基本运算是高考中的常考内容，多出现在选择题、填空题和解答题的第(1)问中，属于基础题.1若等差数列an的前5项和s525，且a23，则a7()a12b13c14 d15解析：选b设等差数列an的公差为d，由s5，得25，解得a47，所以732d，解得d2，所以a7a43d73213.2(2017全国卷)记sn为等差数列an的前n项和若a4a524，s648，则an的公差为()a1 b2c4 d8解析：选c设等差数列an的公差为d，则由得即解得d4.3(2018福州质检)设等差数列an的公差d0，且a2d，若ak是a6与ak6的等比中项，则k()a5 b6c9 d11解析：选c因为ak是a6与ak6的等比中项，所以aa6ak6.又等差数列an的公差d0，且a2d，所以a2(k2)d2(a24d)a2(k4)d，所以(k3)23(k3)，解得k9，或k0(舍去)，故选c.4设sn为等差数列an的前n项和，若a128，s99，则s16_.解析：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由已知，得解得s16163(1)72.答案：72怎样快解准解1等差数列运算中方程思想的应用(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题易错提醒在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷2等差数列前n项和公式的应用方法根据不同的已知条件选用两个求和公式，若已知首项和公差，则使用公式snna1d；若已知通项公式，则使用公式sn，同时注意与性质“a1ana2an1a3an2”的结合使用等差数列的判定与证明是高考中常见题型，其基本方法是等差数列的定义，即证明an1an是一个与n无关的常数，既有选择题、填空题也有解答题，但以解答题为主，难度不大.典题领悟(2018贵州适应性考试)已知数列an满足a11，且nan1(n1)an2n22n.(1)求a2，a3；(2)证明数列是等差数列，并求an的通项公式思维路径(1)要求数列的项，可根据已知首项和递推关系式，令n1,2可解得(2)证明是等差数列，其关键应推出为常数，对所给条件进行必要的变形即可解：(1)由已知，得a22a14，则a22a14，又a11，所以a26.由2a33a212，得2a3123a2，所以a315.(2)证明：由已知nan1(n1)an2n22n，得2，即2，所以数列是首项1，公差d2的等差数列则12(n1)2n1，所以an2n2n.解题师说等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于任意自然数n(n2)，anan1(n2，nn*)为同一常数an是等差数列解答题中证明问题等差中项法2an1anan2(n3，nn*)成立an是等差数列通项公式法anpnq(p，q为常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法验证snan2bn(a，b是常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列注意用定义证明等差数列时，容易漏掉对起始项的检验，从而产生错解比如，对于满足anan11(n3)的数列an而言并不能判定其为等差数列，因为不能确定起始项a2a1是否等于1.冲关演练1(2018陕西质检)已知数列an的前n项和snan2bn(a，br)且a23，a611，则s7等于()a13b49c35 d63解析：选b由snan2bn(a，br)可知数列an是等差数列，所以s749.2已知数列an中，a12，an2(n2，nn*)，设bn(nn*)求证：数列bn是等差数列证明：an2(n2)，an12.bn1bn1，bn是首项为b11，公差为1的等差数列等差数列的性质在高考中也是常考内容.灵活应用由定义推导出的重要性质，在解题过程中可以达到避繁就简的目的.常以选择题、填空题的形式出现.,公差不为零的等差数列，其前n项和的最值在高考中时常出现，题型既有选择题、填空题也有解答题，难度不大.典题领悟1在等差数列an中，a129，s10s20，则数列an的前n项和sn的最大值为()as15bs16cs15或s16 ds17解析：选aa129，s10s20，10a1d20a1d，解得d2，sn29n(2)n230n(n15)2225.当n15时，sn取得最大值2(2018石家庄一模)已知函数f(x)的图象关于直线x1对称，且f(x)在(1，)上单调，若数列an是公差不为0的等差数列，且f(a50)f(a51)，则数列an的前100项的和为 ()a200 b100c50 d0学审题由函数的对称性及单调性知f(x)在(，1)上也单调；结合函数的性质知a50a512.解析：选b因为函数f(x)的图象关于直线x1对称，又函数f(x)在(1，)上单调，所以f(x)在(，1)上也单调，且数列an是公差不为0的等差数列又f(a50)f(a51)，所以a50a512，所以s10050(a50a51)100.解题师说1应用等差数列的性质解题的2个注意点(1)如果an为等差数列，mnpq，则amanapaq(m，n，p，qn*)因此，若出现amn，am，amn等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am(amnamn)转化为求amn，amn或amnamn的值(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如anam(nm)d，d，s2n1(2n1)an，sn(n，mn*)等2求等差数列前n项和sn最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式snan2bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解(2)邻项变号法：当a10，d0时，满足的项数m使得sn取得最大值为sm；当a10时，满足的项数m使得sn取得最小值为sm.3理清等差数列的前n项和与函数的关系等差数列的前n项和公式为snna1d可变形为snn2n，令a，ba1，则snan2bn.当a0，即d0时，sn是关于n的二次函数，(n，sn)在二次函数yax2bx的图象上，即为抛物线yax2bx上一群孤立的点利用此性质可解决前n项和sn的最值问题冲关演练1(2018岳阳模拟)在等差数列an中，如果a1a240，a3a460，那么a7a8()a95 b100c135 d80解析：选b由等差数列的性质可知，a1a2，a3a4，a5a6，a7a8构成新的等差数列，于是a7a8(a1a2)(41)(a3a4)(a1a2)40320100.2设等差数列an的前n项和为sn，且a10，a3a100，a6a70的最大自然数n的值为()a6 b7c12 d13解析：选c因为a1