高考数学第一轮总复习 3.6 简单的三角恒等变换课件（含高考真题和模拟题）新人教A版.ppt

第六节简单的三角恒等变换 知识梳理 1 半角公式 2sin2 2cos2 2 2 辅助角公式asinx bcosx sin x 其中sin cos 考点自测 1 思考 给出下列命题 当 是第一象限角时 对任意角 都成立 半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的 公式中 的取值与a b的值无关 函数y sinx cosx的最大值为2 其中正确的是 a b c d 解析 选c 错误 在第一象限时 在第一或第三象限 当在第一象限时 当在第三象限时 错误 此式子必须使tan有意义且1 cos 0 即 k 且 2k 即 2k 1 k z 正确 由半角公式推导过程可知正确 错误 由可知 的取值与a b的值有关 错误 故其最大值为 2 已知 2 则cos等于 解析 选b 因为 2 所以所以 3 化简等于 a sin b cos c sin d cos 解析 选c 4 如果 且sin 那么 解析 选d 因为所以cos 而 5 2014 岳阳模拟 函数y cos4x sin4x的最小正周期为 解析 答案 6 2014 孝感模拟 若则 解析 答案 2014 考点1利用三角恒等变换化简求值 典例1 1 已知450 540 则的值是 2 2014 荆州模拟 化简 sin2 sin2 cos2 cos2 cos2 cos2 解题视点 1 利用倍角公式化简 2 从角 名 形 次数统一等几个方面入手进行化简 规范解答 1 选a 原式 因为450 540 所以225 270 所以原式 sin 故选a 2 方法一 从 角 入手 复角 单角 原式 sin2 sin2 cos2 cos2 2cos2 1 2cos2 1 sin2 sin2 cos2 cos2 4cos2 cos2 2cos2 2cos2 1 sin2 sin2 cos2 cos2 cos2 cos2 sin2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 1 方法二 从 名 入手 异名化同名 原式 sin2 sin2 1 sin2 cos2 cos2 cos2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 cos2 cos2 sin2 cos2 cos2 cos2 cos2 cos2 sin2 cos2 方法三 从 幂 入手 利用降幂公式先降次 原式 方法四 从 形 入手 利用配方法 先对二次项配方 原式 sin sin cos cos 2 2sin sin cos cos cos2 cos2 cos2 sin2 sin2 cos2 cos2 cos2 cos 2 2 cos2 2cos2 1 答案 规律方法 1 三角函数式的化简遵循的三个原则 1 一看 角 这是最重要的一环 通过看角之间的差别与联系 把角进行合理的拆分 从而正确使用公式 2 二看 函数名称 看函数名称之间的差异 从而确定使用的公式 常见的有 切化弦 3 三看 结构特征 分析结构特征 可以帮助我们找到变形的方向 常见的有 遇到分式要通分 等 2 三角函数式化简的方法弦切互化 异名化同名 异角化同角 降幂或升幂 提醒 在三角函数式的化简中 次降角升 和 次升角降 是基本的规律 根号中含有三角函数式时 一般需要升次 三角函数式化简的要求 1 能求出值的应求出值 2 尽量使函数种数最少 3 尽量使项数最少 4 尽量使分母不含三角函数 5 尽量使被开方数不含三角函数 变式训练 化简 解析 原式因为0 所以 所以所以原式 cos 答案 cos 加固训练 1 化简 解析 原式 答案 2 化简 解析 原式 答案 考点2三角恒等变换在实际问题中的应用 典例2 2014 邵阳模拟 如图 现要在一块半径为1m 圆心角为的扇形报纸aob上剪出一个平行四边形mnpq 使点p在弧ab上 点q在oa上 点m n在ob上 设 bop 平行四边形mnpq的面积为s 1 求s关于 的函数关系式 2 求s的最大值及相应的 角 解题视点 虽然p点变化但op不变 通过构造与角 所在的直角三角形 将平行四边形的底和高用角 表示 从而求出s关于 的函数关系式 进而求解相关问题 规范解答 1 分别过p q作pd ob于d qe ob于e 则四边形qedp为矩形 由扇形半径为1m 得pd sin od cos 在rt oeq中 oe qe pd mn qp de od oe cos sin s mn pd sin sin cos sin2 2 s sin2 1 cos2 sin2 cos2 sin 2 因为 所以当 时 smax m2 互动探究 在本例中若点m与o重合 图形变为如图 记平行四边形onpq的面积为s 求s的最大值 解析 如图 过p作pd ob于d 则由扇形半径为1m 得pd sin od cos 在rt pnd中 因为 pnd aob 所以on od nd cos sin s on pd cos sin sin sin cos sin2 sin2 1 cos2 sin2 cos2 sin 2 因为 0 所以2 sin 2 1 当 时 smax m2 易错警示 关注变量的范围本例在求解时容易忽略 的范围而直接求最值 导致错解 在解决实际问题时 要关注变量的范围 否则容易出错 规律方法 三角函数应用题的处理方法 1 引进角为参数 利用三角函数的有关公式进行推理 解决最优化问题 2 解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样 先建模 再讨论变量的性质 最后作出结论并回答问题 变式训练 2014 吉安模拟 已知直线l1 l2 a是l1 l2之间的一定点 并且a点到l1 l2的距离分别为h1 h2 b是直线l2上一动点 作ac ab 且使ac与直线l1交于点c 则 abc面积的最小值为 解析 如图 设 abd 则 cae 所以s abc ab ac 0 当2 即 时 s abc的最小值为h1h2 答案 h1h2 加固训练 1 2014 台州模拟 如图 已知四边形abcd中ab cd ad ab bp ac bp pc cd ab 则经过某种翻折后以下线段可能会相互重合的是 a ab与adb ab与bcc bd与bcd ad与ap 解析 选d 设ab a cab 则ap acos pc bp asin ac a cos sin ad acsin a cos sin sin cd accos a cos sin cos 因为cd ab 故cos2 sin cos 1 即sin 2 即 故0 a选项 假设ab ad 则有sin2 sin cos 1 即 无解 b选项 假设ab bc 则有sin 1 则sin 无解 c选项 假设bd bc 则有sin即1 2sin3 cos sin2 无解 d选项 假设ad ap 则有sin2 sin cos cos 令f sin2 sin cos cos 则f 0 1 0 故必存在 0使得 f 0 0 故ad与ap可能重合 d选项正确 2 2014 三亚模拟 如图所示 已知opq是半径为1 圆心角为的扇形 abcd是扇形的内接矩形 b c两点在圆弧上 oe是 poq的平分线 连接oc 记 coe 问 角 为何值时矩形abcd面积最大 并求最大面积 解析 设oe交ad于m 交bc于n 显然矩形abcd关于oe对称 而m n均为ad bc的中点 在rt onc中 cn sin on cos 所以mn on om cos sin 即ab cos sin 所以bc 2cn 2sin 故s矩形 ab bc cos sin 2sin 2sin cos 2sin2 sin2 1 cos2 sin2 cos2 2sin 2 因为0 所以0 2 2 故当2 即 时 s矩形取得最大值 此时s矩形 2 考点3三角恒等变换在研究图象性质中的应用 考情 利用三角恒等变换将三角函数化简后研究图象及性质是高考的热点 在高考中以解答题的形式出现 考查三角函数的值域 最值 单调性 周期 奇偶性 对称性等问题 高频考点通关 典例3 1 2013 湖北高考 将函数y cosx sinx x r 的图象向左平移m m 0 个单位长度后 所得到的图象关于y轴对称 则m的最小值是 2 2014 吉首模拟 函数的最小正周期等于 解题视点 1 将函数化为y asin x 的形式再求解 2 降幂将角统一后再化为y asin x 的形式 利用周期公式求解 规范解答 1 选b 由已知当m 时 平移后函数为y 2sin x 2cosx 其图象关于y轴对称 且此时m最小 2 选a y 所以t 通关锦囊 关注题型 通关题组 1 2011 新课标全国卷 设函数f x 则 a y f x 在 0 内单调递增 其图象关于直线x 对称b y f x 在 0 内单调递增 其图象关于直线x 对称c y f x 在 0 内单调递减 其图象关于直线x 对称d y f x 在 0 内单调递减 其图象关于直线x 对称 解析 选d 因为f x 所以f x 在 0 内单调递减 且图象关于x 对称 2 2014 株洲模拟 已知函数f x 则f x a 周期为 且图象关于点 0 对称b 最大值为2 且图象关于点 0 对称c 周期为2 且图象关于点 0 对称d 最大值为2 且图象关于x 对称 解析 选b f x 因为x r 所以所以 1 sin x 1 则f x 的最大值为2 因为 1 所以周期t 2 当x k k z 时 f x 图象关于某一点对称 所以当k 0时 求出x 即f x 图象关于 0 中心对称 故选b 3 2013 新课标全国卷 设当x 时 函数f x sinx 2cosx取得最大值 则cos 解析 f x sinx 2cosx sin x 其中tan 2 当x 2k 时 函数f x 取得最大值 即 2k 所以cos cos sin 又因为tan 2 在第四象限 所以sin 即cos 答案 加固训练 1 2014 泰安模拟 已知函数f x sinx cosx x r 若f x 1 则x的取值范围为 解析 选b 根据题意 得f x 2sin x f x 1 所以2sin x 1 即sin x 由图象可知满足解得 2k x 2k k z 2 2014 南宁模拟 设a sin14 cos14 b sin16 cos16 c 则a b c按从小到大的顺序排列为 解析 a sin14 cos14 sin59 b sin16 cos16 sin61 c sin60 因为59 60 61 所以sin59 sin60 sin61 所以a c b 答案 a c b 3 2011 上海高考 函数的最大值为 解析 故函数的最大值是答案 4 2012 北京高考 已知函数 1 求f x 的定义域及最小正周期 2 求f x 的单调递减区间 解析 1 由sinx 0 得x k k z 所以定义域为 x x k k z 所以最小正周期t 2 令所以单调递减区间为 规范解答4 三角变换在研究三角函数中的应用 典例 12分 2013 陕西高考 已知向量a cosx b sinx cos2x x r 设函数f x a b 1 求f x 的最小正周期 2 求f x 在上的最大值和最小值 审题 分析信息 形成思路 解题 规范步骤 水到渠成 1 f x a b cosx sinx cos2x 2分 4分最小正周期t