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探索绝对值的最值问题 商丘市第十三中学 李瑞玲 知识准备 1 a 表示的意义是什么 2 a 是什么数 最小是多少 3 你知道 x 2 表示的意义吗 它的最小值是多少 a 的意义 在数轴上表示数a的点到原点的距离 a 是非负数 即 a 0 最小值是0 x 3 的意义 在数轴上表示数x的点到表示3的点的距离 最小值是0 探究一 问题 当x 时 x 2 3有最小值 最小值是多少 解 x 2 0 x 2 3 3 当x 2时 x 2 0 当x 2时 x 2 3 3 因此 当x 2时 x 2 3有最小值 最小值是 3 探究二 当x 时 x 1 x 2 有最小值 最小值是多少 思维点拨 1 x 1 表示的意义是什么 2 x 2 表示的意义是什么 3 x 1 x 2 表示的意义又是什么 问题解决 解 设A 1 B 2 M x 则AM x 1 BM x 2 x 1 x 2 如图 易知当点M在AB上时 有最小值 因此 当 时 x 1 x 2 有最小值 最小值是 AB 1 注 也可用分类讨论的方法求 x 1 x 2 的最小值 探究三 问题 当x 时 x 1 x 2 x 3 有最小值 最小值是多少 1 那么怎样求 x 1 x 2 x 3 的最小值呢 能否分为两组呢 怎么分组呢 可分为 x 1 x 3 和 x 2 两组 有探究一和探究二可知 当1 x 3时 x 1 x 3 有最小值为2 当x 2时 x 2 有最小值是0 因此 当x 2时 x 1 x 2 x 3 有最小值 最小值是2 2 X为多少时 可以满足两组同时取最小值呢 X 2 分组标准 存在x取值同时满足各组 有最小值 探究四 问题 当x 时 x 1 x 2 x 3 x 4 有最小值 最小值是多少 同样 我们可以分为 x 1 x 4 和 x 2 x 3 两组 当1 x 4时 x 1 x 4 有最小值为3 当2 x 3时 x 2 x 3 有最小值为1 二者同时取最小值的条件是2 x 3 因此 当2 x 3时 x 1 x 2 x 3 x 4 有最小值 最小值是4 探索五 问题 当x 时 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 有最小值 最小值是多少 同样 我们可以分为 x 1 x 5 x 2 x 4 和 x 3 三组 当1 x 5时 x 1 x 5 有最小值为4 当2 x 4时 x 2 x 4 有最小值为2 当x 3时 x 3 有最小值为0 三者同时取最小值的条件是x 3 因此 当x 3时 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 有最小值 最小值是6 探索六 问题 当x 时 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 有最小值 最小值是多少 同样 我们可以分为 x 1 x 6 x 2 x 5 和 x 3 x 4 三组 当1 x 6时 x 1 x 6 有最小值为5 当2 x 5时 x 2 x 5 有最小值为3 三者同时取最小值的条件是3 x 4 因此 当3 x 4时 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 有最小值 最小值是8 当3 x 4时 x 3 x 4 有最小值为1 由上述几个探究你发现了什么规律 每个探索的规律一样吗 探索与发现 规律 问题 当x 时 x a1 x a2 x a3 x an 1 x an 有最小值 已知a1 a2 a3 a4 an 1 an 猜想 当x 时 原式有最小值 当n为奇数时 当n为偶数时 当时 原式有最小值 拓展延伸一 问题 当x 时 x 1 x 2 x 3 x 2012 有最小值 最小值是多少 当1006 x 1007时 原式有最小值 1007 1006 1008 1005 1009 1004 2012 1 它的最小值 1 3 5 7 2011 10062 拓展延伸二 问题 当x 时 x 1 x 2 x 3 x 2012 x 2013 有最小值 最小值是多少