高考数学大一轮复习 第五章 数列教师用书 文.doc

第五章数列第一节数列的概念与简单表示法1数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列an的第n项an通项公式数列an的第n项an与n之间的关系能用公式anf(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列an中，sna1a2an叫做数列的前n项和2数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和an1f(an)或a1，a2和an1f(an，an1)等表示数列的方法3an与sn的关系若数列an的前n项和为sn，则an4数列的分类小题体验1已知数列an的前4项为1,3,7,15，则数列an的一个通项公式为_答案：an2n1(nn*)2已知数列an中，a11，an1，则a5等于_答案：3(教材习题改编)已知函数f(x)，设anf(n)(nn*)，则an是_数列(填“递增”或“递减”)答案：递增1数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关2易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号3在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成ansnsn1的形式，但它只适用于n2的情形小题纠偏1已知sn是数列an的前n项和，且snn21，则数列an的通项公式是_答案：an2数列an的通项公式为ann29n，则该数列第_项最大答案：4或5题组练透1已知nn*，给出4个表达式：anan，an，an其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，的通项公式的是()abc d解析：选a检验知都是所给数列的通项公式2根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，；(2)(易错题)，；(3)a，b，a，b，a，b，(其中a，b为实数)；(4)9,99,999,9 999，解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以它的一个通项公式an2(n1)，nn*(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an(1)n，nn*(3)这是一个摆动数列，奇数项是a，偶数项是b，所以此数列的一个通项公式an(4)这个数列的前4项可以写成101,1001,1 0001，10 0001，所以它的一个通项公式an10n1，nn*谨记通法由数列的前几项求数列通项公式的策略(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项符号特征等(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整如“题组练透”第2(2)题典例引领已知下面数列an的前n项和sn，求an的通项公式(1)sn2n23n；(2)sn3nb解：(1)a1s1231，当n2时，ansnsn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合此等式，an4n5(2)a1s13b，当n2时，ansnsn1(3nb)(3n1b)23n1当b1时，a1适合此等式当b1时，a1不适合此等式当b1时，an23n1；当b1时，an由题悟法已知sn求an的 3个步骤(1)先利用a1s1求出a1；(2)用n1替换sn中的n得到一个新的关系，利用ansnsn1(n2)便可求出当n2时an的表达式；(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写即时应用已知数列an的前n项和为sn(1)若sn(1)n1n，求a5a6及an；(2)若sn3n2n1，求an解：(1)a5a6s6s4(6)(4)2，当n1时，a1s11；当n2时，ansnsn1(1)n1n(1)n(n1)(1)n1n(n1)(1)n1(2n1)，又a1也适合此式，所以an(1)n1(2n1)(2)因为当n1时，a1s16；当n2时，ansnsn1(3n2n1)3n12(n1)123n12，由于a1不适合此式，所以an锁定考向递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接常见的命题角度有：(1)形如an1anf(n)，求an；(2)形如an1anf(n)，求an；(3)形如an1aanb(a0且a1)，求an 题点全练角度一：形如an1anf(n)，求an1在数列an中，a11，anan1(n2)，求数列an的通项公式解：anan1(n2)，an1an2，an2an3，a2a1以上(n1)个式子相乘得ana1当n1时，a11，上式也成立an(nn*)角度二：形如an1anf(n)，求an2设数列an满足a11，且an1ann1(nn*)，求数列an的通项公式解：由题意有a2a12，a3a23，anan1n(n2)以上各式相加，得ana123n又a11，an(n2)当n1时也满足此式，an(nn*)角度三：形如an1aanb(a0且a1)，求an3已知数列an满足a11，an13an2，求数列an的通项公式解：an13an2，an113(an1)，3，数列an1为等比数列，公比q3，又a112，an123n1，an23n11(nn*)通法在握典型的递推数列及处理方法递推式方法示例an1anf(n)叠加法a11，an1an2nan1anf(n)叠乘法a11，2nan1aanb (a0,1，b0)化为等比数列a11，an12an1演练冲关根据下列条件，求数列an的通项公式(1)a11，an1an2n；(2)a1，anan1(n2)解：(1)由题意知an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1(2)因为anan1(n2)，所以当n2时，所以，以上n1个式子相乘得，即21，所以an当n1时，a1，也与已知a1相符，所以数列an的通项公式为an一抓基础，多练小题做到眼疾手快1数列1，的一个通项公式an()abc d解析：选b由已知得，数列可写成，故通项为2已知数列an的前n项和为snn22n2，则数列an的通项公式为()aan2n3 ban2n3can dan解析：选c当n1时，a1s11，当n2时，ansnsn12n3，由于n1时a1的值不适合n2的解析式，故通项公式为选项c3若a1，an4an11(n2)，当an100时，n的最小值为()a3 b4c5 d6解析：选c由a1，an4an11(n2)得，a24a11413，a34a2143113，a44a31413153，a54a4145312131004(2016肇庆三模)已知数列an满足a11，anan1n(n2)，则数列an的通项公式an_解析：由anan1n得a2a12，a3a23，a4a34，anan1n，上面(n1)个式子相加得an123nn(n1)又n1时也满足此式，所以ann(n1)答案：n(n1)5(2017南昌模拟)数列an的前n项和为sn，若snsn12n1(n2)，且s23，则a1a3的值为_解析：snsn12n1(n2)，令n2，得s2s13，由s23得a1s10，令n3，得s3s25，所以s32，则a3s3s21，所以a1a30(1)1答案：1二保高考，全练题型做到高考达标1数列0,1,0，1,0,1,0，1，的一个通项公式是an等于()a bcosccos dcos解析：选d令n1,2,3，逐一验证四个选项，易得d正确2(2017福建福州八中质检)已知数列an满足a11，an1a2an1(nn*)，则a2 017()a1 b0c2 017 d2 017解析：选aa11，a2(a11)20，a3(a21)21，a4(a31)20，可知数列an是以2为周期的数列，a2 017a113设数列an的前n项和为sn，且sn2(an1)，则an()a2n b2n1c2n d2n1解析：选c当n1时，a1s12(a11)，可得a12，当n2时，ansnsn12an2an1，an2an1，数列an为等比数列，公比为2，首项为2，所以an2n4设曲线f(x)xn1(nn*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1x2x3x4x2 017()a bc d解析：选d由f(x)xn1得f(x)(n1)xn，切线方程为y1(n1)(x1)，令y0得xn，故x1x2x3x4x2 0175(2017衡水中学检测)若数列an满足：a119，an1an3(nn*)，则数列an的前n项和数值最大时，n的值为()a6 b7c8 d9解析：选ba119，an1an3，数列an是以19为首项，3为公差的等差数列，an19(n1)(3)223n设an的前k项和数值最大，则有kn*，k，kn*，k7满足条件的n的值为76在数列1,0，中，008是它的第_项解析：令008，得2n225n500，即(2n5)(n10)0解得n10或n(舍去)答案：107已知数列an满足a11，ana1(n1)，则a2 017_，|anan1|_(n1)解析：由a11，ana1(n1)，得a2a11210，a3a10211，a4a1(1)210，a5a10211，由此可猜想当n1，n为奇数时an1，n为偶数时an0，a2 0171，|anan1|1答案：118在一个数列中，如果nn*，都有anan1an2k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积已知数列an是等积数列，且a11，a22，公积为8，则a1a2a3a12_解析：依题意得数列an是周期为3的数列，且a11，a22，a34，因此a1a2a3a124(a1a2a3)4(124)28答案：289已知sn为正项数列an的前n项和，且满足snaan(nn*)(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列an的通项公式解：(1)由snaan(nn*)，可得a1aa1，解得a11；s2a1a2aa2，解得a22；同理，a33，a44(2)snaan，当n2时，sn1aan1，得(anan11)(anan1)0由于anan10，所以anan11，又由(1)知a11，故数列an是首项为1，公差为1的等差数列，故ann10已知数列an的通项公式是ann2kn4(1)若k5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)对于nn*，都有an1an，求实数k的取值范围解：(1)由n25n40，解得1nan，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式ann2kn4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到nn*，所以3所以实数k的取值范围为(3，)三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知数列an的通项公式为an(1)n2n1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为_a1a2a3a4a5a6解析：由题意可得该数阵中的第10行、第3个数为数列an的第12393348项，而a48(1)4896197，故该数阵第10行、第3个数为97答案：972(2017甘肃诊断性考试)已知数列an满足a1，an110an1(1)证明数列是等比数列，并求数列an的通项公式；(2)数列bn满足bnlg，tn为数列的前n项和，求证：tn证明：(1)由an110an1，得an110an10，即10所以数列是等比数列，其中首项为a1100，公比为10，所以an10010n110n1，即an10n1(2)由(1)知bnlglg 10n1n1，即所以tn0，d0时，满足的项数m使得sn取得最大值为sm；当a10时，满足的项数m使得sn取得最小值为sm即时应用1设sn是等差数列an的前n项和，若，则()a1 b1c2 d解析：选a12设等差数列an的前n项和为sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，sn324(n6)，则数列an的项数为_解：由题意知a1a2a636，anan1an2an5180，得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，a1an36，又sn324，18n324，n18答案：183设sn是等差数列an的前n项和，s1016，s100s9024，则s100_解析：依题意，s10，s20s10，s30s20，s100s90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d又s1016，s100s9024，因此s100s902416(101)d169d，解得d，因此s10010s10d1016200答案：200一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2017桂林调研)等差数列an中，a4a810，a106，则公差d()abc2 d解析：选a由a4a82a610，得a65，所以4da10a61，解得d，故选a2等差数列an的前n项之和为sn，若a56，则s9为()a45 b54c63 d27解析：选b法一：s99a59654故选b法二：由a56，得a14d6，s99a1d9(a14d)9654，故选b3(2017陕西质量监测)已知数列an满足a115，且3an13an2若akak10，则正整数k()a21 b22c23 d24解析：选c3an13an2an1anan是等差数列，则annak1ak0，0，k0，a4a70成立的最大的自然数n是()a9 b10c11 d12解析：选a由题可得an的公差d2，a19，所以an2n11，则an是递减数列，且a50a6，a5a60，于是s990，s10100，s11110，故选a5设数列an的前n项和为sn，若为常数，则称数列an为“吉祥数列”已知等差数列bn的首项为1，公差不为0，若数列bn为“吉祥数列”，则数列bn的通项公式为()abnn1 bbn2n1cbnn1 dbn2n1解析：选b设等差数列bn的公差为d(d0)，k，因为b11，则nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0因为对任意的正整数n上式均成立，所以(4k1)d0，(2k1)(2d)0，解得d2，k所以数列bn的通项公式为bn2n16在等差数列an中，公差d，前100项的和s10045，则a1a3a5a99_解析：因为s100(a1a100)45，所以a1a100，a1a99a1a100d，则a1a3a5a99(a1a99)10答案：107在等差数列an中，a17，公差为d，前 n项和为sn ，当且仅当n8 时sn 取得最大值，则d 的取值范围为_解析：由题意，当且仅当n8时sn有最大值，可得即解得1d0(1)求证：当n5时，an成等差数列；(2)求an的前n项和sn解：(1)证明：由4sna2an3,4sn1a2an13，得4an1aa2an12an，即(an1an)(an1an2)0当n5时，an0，所以an1an2，所以当n5时，an成等差数列(2)由4a1a2a13，得a13或a11，又a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，所以由(1)得an1an0(n5)，q1，而a50，所以a10，从而a13，所以an所以sn三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2016安庆二模)已知数列an是各项均不为零的等差数列，sn为其前n项和，且an(nn*)若不等式对任意nn*恒成立，则实数的最大值为_解析：anana(2n1)anan2n1，nn*就是2n15，f(n)2n15在n1时单调递增，其最小值为f(1)9，所以9，故实数的最大值为9答案：92已知数列an满足，an1an4n3(nn*)(1)若数列an是等差数列，求a1的值；(2)当a12时，求数列an的前n项和sn解：(1)法一：数列an是等差数列，ana1(n1)d，an1a1nd由an1an4n3，得(a1nd)a1(n1)d4n3，2dn(2a1d)4n3，即2d4,2a1d3，解得d2，a1法二：在等差数列an中，由an1an4n3，得an2an14(n1)34n1，2dan2an(an2an1)(an1an)4n1(4n3)4，d2又a1a22a1d2a124131，a1(2)由题意，当n为奇数时，sna1a2a3ana1(a2a3)(a4a5)(an1an)2424(n1)3当n为偶数时，sna1a2a3an(a1a2)(a3a4)(an1an)19(4n7)第三节等比数列及其前n项和1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(2)等比中项：如果a，g，b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项即：g是a与b的等比中项a，g，b成等比数列g2ab2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1(2)前n项和公式：sn3等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mn*)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kn*)，则amanapaqa；(3)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，a，anbn，(0)仍然是等比数列；(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk小题体验1(教材习题改编)将公比为q的等比数列a1，a2，a3，a4，依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，此数列是()a公比为q的等比数列b公比为q2的等比数列c公比为q3的等比数列d不一定是等比数列答案：b2等比数列an中，a312，a418，则a6_解析：法一：由a312，a418，得解得a1，q，a6a1q55法二：由等比数列性质知，aa2a4，a28，又aa2a6，a6答案：3(教材习题改编)在等比数列an中，已知a11，a464，则公比q_，s4_答案：4511特别注意q1时，snna1这一特殊情况2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a103在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误4sn，s2nsn，s3ns2n未必成等比数列(例如：当公比q1且n为偶数时，sn，s2nsn，s3ns2n不成等比数列；当q1或q1且n为奇数时，sn，s2nsn，s3ns2n成等比数列)，但等式(s2nsn)2sn(s3ns2n)总成立小题纠偏1在等比数列an中，a32，a78，则a5等于()a5b5c4 d4解析：选caa3a72816，a54，又a5a3q20，a542设数列an是等比数列，前n项和为sn，若s33a3，则公比q_答案：或1典例引领1(2017武汉调研)若等比数列an的各项均为正数，a12a23，a4a2a6，则a4()abc d解析：选c由题意，得解得所以a4a1q332(2015全国卷)在数列an中，a12，an12an，sn为an的前n项和若sn126，则n_解析：a12，an12an，数列an是首项为2，公比为2的等比数列又sn126，126，n6答案：6由题悟法解决等比数列有关问题的2种常用思想方程的思想等比数列中有五个量a1，n，q，an，sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解分类讨论的思想等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和snna1；当q1时，an的前n项和sn即时应用1等比数列an的前n项和为sn，已知s3a210a1，a59，则a1()a bc d解析：选c设等比数列an的公比为q，s3a210a1，a59，解得2(2017洛阳统考)设等比数列an的前n项和为sn，若a18a40，则()a bc d解析：选c在等比数列an中，因为a18a40，所以q，所以3(2015安徽高考)已知数列是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列的前n项和等于_解析：设等比数列的公比为q，则有解得或又为递增数列，sn2n1答案：2n1典例引领(2016全国丙卷)已知数列an的前n项和sn1an，其中0(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若s5，求解：(1)证明：由题意得a1s11a1，故1，a1，故a10由sn1an，sn11an1得an1an1an，即an1(1)an由a10，0得an0，所以因此an是首项为，公比为的等比数列，于是ann1(2)由(1)得sn1n由s5得15，即5解得1由题悟法等比数列的4种常用判定方法定义法若q(q为非零常数，nn*)或q(q为非零常数且n2，nn*)，则an是等比数列中项公式法若数列an中，an0且aanan2(nn*)，则数列an是等比数列通项公式法若数列通项公式可写成ancqn1(c，q均是不为0的常数，nn*)，则an是等比数列前n项和公式法若数列an的前n项和snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列提醒(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可即时应用设数列的前n项和为sn，nn*已知a11，a2，a3，且当n2时，4sn25sn8sn1sn1(1)求a4的值；(2)证明：为等比数列解：(1)当n2时，4s45s28s3s1，即4581，解得a4(2)证明：由4sn25sn8sn1sn1(n2)，得4sn24sn1snsn14sn14sn(n2)，即4an2an4an1(n2)4a3a14164a2，4an2an4an1，数列是以a2a11为首项，为公比的等比数列典例引领1(2017湖南师大附中月考)已知各项不为0的等差数列an满足a6aa80，数列bn是等比数列，且b7a7，则b2b8b11()a1b2c4 d8解析：选d由等差数列的性质，得a6a82a7由a6aa80，可得a72，所以b7a72由等比数列的性质得b2b8b11b2b7b12b2382若等比数列an的前n项和为sn，且5，则_解析：设数列an的公比为q，由已知得15，即1q25，所以q24，11q411617答案：17由题悟法等比数列的性质可以分为3类通项公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口等比中项的变形前n项和公式的变形即时应用1等比数列an的各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10()a5b9clog345d10解析：选d由等比数列的性质知a5a6a4a7，又a5a6a4a718，所以a5a69，则原式log3(a1a2a10)log3(a5a6)5102(2017长春调研)在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n_解析：设数列an的公比为q，由a1a2a34aq3与a4a5a612aq12，可得q93，an1anan1aq3n3324，因此q3n68134q36，所以3n636，即n14答案：14一抓基础，多练小题做到眼疾手快1对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()aa1，a3，a9成等比数列ba2，a3，a6成等比数列ca2，a4，a8成等比数列 da3，a6，a9成等比数列解析：选d由等比数列的性质得，a3a9a0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选d2在正项等比数列an中，a11，前n项和为sn，且a3，a2，a4成等差数列，则s7的值为()a125b126c127d128解析：选c设an的公比为q，则2a2a4a3，又a11，2qq3q2，解得