三高考两模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第七章 立体几何 7.4 直线、平面平行的判定与性质知能训练.doc

7.4直线、平面平行的判定与性质组基础题组1.(2015稽阳联考,4,5分)空间两条不重合的直线a,b在同一平面上的射影分别为两条不重合的直线m,n,则“ab”是“mn”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件2.(2016超级中学原创预测卷四,3,5分)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是()a.若mn,m,n,则b.若m,n,则mnc.若mn,m,n,则d.若m,n,则mn3.(2015金华十校一联,5,5分)对于平面和共面的两条不同的直线m,n,下列命题是真命题的是()a.若m,n与所成的角相等,则mnb.若m,n,则mnc.若m,mn,则nd.若m,n,则mn4.(2016东阳中学期中文,4,5分)设,是三个不重合的平面,m,n是不重合的直线,则下列命题正确的是()a.若,则b.若,m,则mc.若m,n,则mnd.若m,n,则m与n异面5.(2015北京,4,5分)设,是两个不同的平面,m是直线且m.“m”是“”的()a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件6.(2015浙江名校(镇海中学)交流卷一,4)已知m,l是直线,是平面,给出下列命题:若l,m,则lm;若ml,l,则m;若m,l,且ml,则;若l,则l垂直于内的任意一条直线.其中正确命题的个数是()a.1b.2c.3d.47.(2015山东潍坊模拟,4)有下列命题:若直线l平行于平面内的无数条直线,则直线l;若直线a在平面外,则a;若直线ab,b,则a;若直线ab,b,则a平行于平面内的无数条直线.其中真命题的个数是()a.1b.2c.3d.48.已知m,n为两条不同的直线,为三个不同的平面,则下列命题中正确的是()a.若mn,m,则nb.若mn,m,n,则c.若,则d.若mn,m,n,则9.设a,b,c是三条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列命题:若,则;若a,b异面,a,b,a,b,则;若=a,=b,=c,且ab,则c;若a,b为异面直线,a,b,ca,cb,则c.其中正确命题的个数是()a.0b.1c.2d.310.(2015福建,17,13分)如图,在几何体abcde中,四边形abcd是矩形,ab平面bec,beec,ab=be=ec=2,g,f分别是线段be,dc的中点.(1)求证:gf平面ade;(2)求平面aef与平面bec所成锐二面角的余弦值.11.(2015四川,18,12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母f,g,h标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面beg与平面ach的位置关系,并证明你的结论;(3)证明:直线df平面beg.12.(2013山东,18,12分)如图所示,在三棱锥p-abq中,pb平面abq,ba=bp=bq,d,c,e,f分别是aq,bq,ap,bp的中点,aq=2bd,pd与eq交于点g,pc与fq交于点h,连结gh.(1)求证:abgh;(2)求二面角d-gh-e的余弦值.13.(2015山东,18,12分)如图,三棱台def-abc中,ab=2de,g,h分别为ac,bc的中点.(1)求证:bd平面fgh;(2)若cfbc,abbc,求证:平面bcd平面egh.14.(2015浙江名校(镇海中学)交流卷一,17)三棱柱abc-a1b1c1中,aa1平面a1b1c1,ac=ab=1,bac=90.e,f分别为ac,cc1的中点,a1f与平面abc所成的角为45.(1)设h为b1c1上的点,且c1h=c1b1,求证:fh平面ea1b1;(2)求二面角b1-ef-a1的平面角的正切值.b组提升题组1.(2015浙江金丽衢一联,4,5分)设m,n为空间两条不同的直线,为空间两个不同的平面,给出下列命题:若m,m,则;若m,m,则;若m,mn,则n;若m,则m.其中的正确命题序号是()a.b.c.d.2.(2016余姚中学期中文,4,5分)已知a,b是空间中两条不同直线,是空间中两个不同平面,下列命题中正确的是()a.若直线ab,b,则ab.若平面,a,则ac.若平面,a,b,则abd.若a,b,ab,则3.(2016浙江五校一联,5,5分)设a、b是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则下面四个命题中错误的是()a.若ab,a,b,则bb.若ab,a,b,则c.若a,则a或ad.若a,则a4.(2015嘉兴一模,7,5分)对于空间中的一条直线m和两个平面,下列命题中的真命题是()a.若m,m,则b.若m,m,则c.若m,m,则d.若m,m,则5.,是两个不重合的平面,a,b是两条不同的直线,在下列条件中,可判定的是()a.,都平行于直线a,bb.内有三个不共线的点到的距离相等c.a,b是内两条直线,且a,bd.a,b是两条异面直线且a,b,a,b6.给出下列命题,其中正确的两个命题是()直线上有两点到平面的距离相等,则此直线与平面平行;夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面;直线m平面,直线nm,则n;a,b是异面直线,则存在唯一的平面,使它与a,b都平行且与a,b距离相等.a.b.c.d.7.(2015安徽,19,13分)如图所示,在多面体a1b1d1dcba中,四边形aa1b1b,add1a1,abcd均为正方形,e为b1d1的中点,过a1,d,e的平面交cd1于f.(1)证明:efb1c;(2)求二面角e-a1d-b1的余弦值.8.(2015浙江衢州模拟,18,15分)如图,在三棱柱abc-a1b1c1中,侧棱aa1底面abc,abbc,d为ac的中点,aa1=ab=2.(1)求证:ab1平面bc1d;(2)若bc=3,求三棱锥d-bc1c的体积.9.(2015浙江温州调研,19,15分)如图所示,在棱长为2的正方体abcd-a1b1c1d1中,e、f分别为dd1、db的中点.(1)求证:ef平面abc1d1;(2)求证:cfb1e;(3)求三棱锥c-b1fe的体积.10.(2014山东,17,12分)如图,在四棱柱abcd-a1b1c1d1中,底面abcd是等腰梯形,dab=60,ab=2cd=2,m是线段ab的中点.(1)求证:c1m平面a1add1;(2)若cd1垂直于平面abcd且cd1=,求平面c1d1m和平面abcd所成的角(锐角)的余弦值.11.(2014四川,18,12分)在如图所示的多面体中,四边形abb1a1和acc1a1都为矩形.(1)若acbc,证明:直线bc平面acc1a1;(2)设d,e分别是线段bc,cc1的中点,在线段ab上是否存在一点m,使直线de平面a1mc?请证明你的结论.12.(2015浙江镇海中学测试卷五,19,15分)在四棱锥p-abcd中,pa平面abcd,abcd是菱形,abc=60,pa=ac=2,点e在pd上,且peed=,二面角e-ac-d的大小为30.(1)求的值;(2)在棱pc上是否存在一点f,使bf平面aec?证明你的结论.13.(2013湖北,19,12分)如图,ab是圆o的直径,点c是圆o上异于a,b的点,直线pc平面abc,e,f分别是pa,pc的中点.(1)记平面bef与平面abc的交线为l,试判断直线l与平面pac的位置关系,并加以证明;(2)设(1)中的直线l与圆o的另一个交点为d,且点q满足=.记直线pq与平面abc所成的角为,异面直线pq与ef所成的角为,二面角e-l-c的大小为,求证:sin=sinsin.组基础题组1.a可利用正方体举反例排除.2.b对于选项a,与平行或相交;对于选项b,由m,得m,又n,所以mn;对于选项c,与平行或相交;对于选项d,m,n可能平行、相交、异面.故选b.3.d对于a选项,m,n还可能相交;对于b选项,m,n还可能相交;对于c选项,还有可能n;对于d选项,由线面平行的性质可知其正确,故选d.4.ca中,可以相交,如墙角.b中m可以在内,也可以与平行或相交.d中m,n也可以平行或相交.5.b由两平面平行的判定定理可知,当其中一个平面内的两条相交直线均平行于另一平面时,两平面平行,所以“m”不能推出“”;若两平面平行,则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面,所以“”可以推出“m”.因此“m”是“”的必要而不充分条件.故选b.6.b由m知,存在n,使得mn,又l,则ln,从而lm,故正确;对于,有可能m,故错;满足中条件时,平面,可能垂直,也可能相交不垂直,还可能平行,故错;显然正确,故选b.7.a命题直线l可以在平面内,不正确;命题直线a与平面可以是相交关系,不正确;命题直线a可以在平面内,不正确;命题正确.8.d对于a,若mn,m,则n或n,故a错误;对于b,两平面还可以相交;对于c,与可以相交,故c错;对于d,因为mn,m,所以n,又因为n,所以,故d正确,因此选d.9.d对于,与可能平行,也可能相交,故错误;对于,假设与相交,设交线为l,因为a,a,故al,同理,bl,故ab,与a,b异面矛盾,故,正确;对于,因为=a,=b,=c,且ab,所以a,从而ac,则bc,又b,c,所以c,正确;对于,作直线l,使得al,b与l相交,则l,因为a,所以l,又b,得与直线b,l确定的平面平行,因为ca,所以cl,又cb,故c与直线b,l确定的平面垂直,所以c,正确.10.解析(1)证明:如图,取ae的中点h,连结hg,hd,又g是be的中点,所以ghab,且gh=ab.又f是cd的中点,所以df=cd.由四边形abcd是矩形得,abcd,ab=cd,所以ghdf,且gh=df,从而四边形hgfd是平行四边形,所以gfdh.又dh平面ade,gf平面ade,所以gf平面ade.(2)如图,在平面bec内,过b点作bqec.因为bece,所以bqbe.又因为ab平面bec,所以abbe,abbq.以b为原点,分别以,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则a(0,0,2),b(0,0,0),e(2,0,0),f(2,2,1).因为ab平面bec,所以=(0,0,2)为平面bec的一个法向量.设n=(x,y,z)为平面aef的法向量.=(2,0,-2),=(2,2,-1),由得取z=2,得n=(2,-1,2).从而cos=,所以平面aef与平面bec所成锐二面角的余弦值为.11.解析(1)点f,g,h的位置如图所示.(2)平面beg平面ach.证明如下:因为abcd-efgh为正方体,所以bcfg,bc=fg,又fgeh,fg=eh,所以bceh,bc=eh,于是bche为平行四边形.所以bech.又ch平面ach,be平面ach,所以be平面ach.同理,bg平面ach.又bebg=b,所以平面beg平面ach.(3)证明:连结fh.因为abcd-efgh为正方体,所以dh平面efgh,因为eg平面efgh,所以dheg.又egfh,dhfh=h,所以eg平面bfhd.又df平面bfhd,所以dfeg.同理,dfbg.又egbg=g,所以df平面beg.12.解析(1)证明:因为d,c,e,f分别是aq,bq,ap,bp的中点,所以efab,dcab.所以efdc.又ef平面pcd,dc平面pcd,所以ef平面pcd.又ef平面efq,平面efq平面pcd=gh,所以efgh.又efab,所以abgh.(2)解法一:在abq中,aq=2bd,ad=dq,所以abq=90,即abbq.因为pb平面abq,所以abpb.又bpbq=b,所以ab平面pbq.由(1)知abgh,所以gh平面pbq.又fh平面pbq,所以ghfh.同理可得ghhc,所以fhc为二面角d-gh-e的平面角.设ba=bq=bp=2,连结fc,在rtfbc中,由勾股定理得fc=,在rtpbc中,由勾股定理得pc=.又h为pbq的重心,所以hc=pc=.同理,fh=.在fhc中,由余弦定理得cosfhc=-.即二面角d-gh-e的余弦值为-.解法二:在abq中,aq=2bd,ad=dq,所以abq=90.又pb平面abq,所以ba,bq,bp两两垂直.以b为坐标原点,分别以ba,bq,bp所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设ba=bq=bp=2,则e(1,0,1),f(0,0,1),q(0,2,0),d(1,1,0),c(0,1,0),p(0,0,2).所以=(-1,2,-1),=(0,2,-1),=(-1,-1,2),=(0,-1,2).设平面efq的法向量为m=(x1,y1,z1),由m=0,m=0,得取y1=1,得m=(0,1,2).设平面pdc的法向量为n=(x2,y2,z2),由n=0,n=0,得取z2=1,得n=(0,2,1),所以cos=.易知二面角d-gh-e为钝角,所以二面角d-gh-e的余弦值为-.13.证明(1)证法一:连结dg,cd,设cdgf=m,连结mh.在三棱台def-abc中,ab=2de,g为ac的中点,可得dfgc,df=gc,所以四边形dfcg为平行四边形.则m为cd的中点,又h为bc的中点,所以hmbd,又hm平面fgh,bd平面fgh,所以bd平面fgh.证法二:在三棱台def-abc中,由bc=2ef,h为bc的中点,可得bhef,bh=ef,所以四边形hbef为平行四边形,可得behf.在abc中,g为ac的中点,h为bc的中点,所以ghab.又ghhf=h,beab=b,所以平面fgh平面abed.因为bd平面abed,所以bd平面fgh.(2)连结he,eg.因为g,h分别为ac,bc的中点,所以ghab.由abbc,得ghbc.又h为bc的中点,bc=2ef,所以ef=hc,又efhc,因此四边形efch是平行四边形.所以cfhe,又cfbc,所以hebc.又he,gh平面egh,hegh=h,所以bc平面egh.又bc平面bcd,所以平面bcd平面egh.14.解析(1)证明:在a1b1c1中,过h作a1b1的平行线,交a1c1于m,连结fm.则c1mc1a1=14,取c1a1的中点n,连结cn,则m是c1n的中点,从而mfcn,易知cnea1,mfa1e,hmfm=m,ea1a1b1=a1,平面fhm平面ea1b1,fh平面ea1b1.(6分)(2)a1f与平面abc所成的角为45,即fa1c1=45.a1c1=1,fc1a1c1,fc1=1.又f为cc1的中点,cc1=2.建立如图所示的空间直角坐标系.则b1(1,0,0),f(0,1,1),e,=(1,-1,-1),=.设平面efb1的法向量为n1=(x,y,z),则即取z=1,可得n1=(3,2,1).(10分)易知平面efa1的一个法向量为n2=(1,0,0),(12分)cos=,由图知二面角b1-ef-a1的平面角为锐角,二面角b1-ef-a1的平面角的正切值为.(15分)b组提升题组1.b若m,m,则,平行或相交,错误;若m,过直线m作一平面与相交,则m平行于交线,又m,则交线垂直于,由面面垂直的判定定理可知正确;若m,mn,则n或n,错误;由面面平行的性质可知正确,故选b.2.da中a可以在内.b中a可以在内.c中a,b也可以异面.3.dd中a可以在内,也可以与平行或相交.4.c若m,m,则平面,可能平行,也可能相交,所以a,b是假命题;显然“若m,m,则成立”,所以c为真命题,d为假命题.故选c.5.da错,若ab,则不能判定;b错,若a,b,c三点不在的同一侧,则不能判定;c错,若ab,则不能判定;d正确,故选d.6.d错误,如果这两点在该平面的异侧,则直线与平面相交.正确,如图,平面平面,a,c,d,b且e,f分别为ab,cd的中点,过c作cgab交平面于g,连结bg,gd.设h是cg的中点,连结he, hf,则ehbg,hfgd,eh平面,hf平面.平面ehf平面平面.ef,ef.错误,直线n可能在平面内.正确,如图,设ab是异面直线a,b的公垂线段,e为ab的中点,过e作aa,bb,则a,b确定的平面即为与a,b都平行且与a,b距离相等的平面,并且它是唯一的,故选d.7.解析(1)证明:由正方形的性质可知a1b1abdc,且a1b1=ab=dc,所以四边形a1b1cd为平行四边形,从而b1ca1d,又a1d面a1de,b1c面a1de,于是b1c面a1de.又b1c面b1cd1,面a1de面b1cd1=ef,所以efb1c.(2)因为四边形aa1b1b,add1a1,abcd均为正方形,所以aa1ab,aa1ad,abad且aa1=ab=ad,以a为原点,分别以,为x轴,y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系,可得a(0,0,0),b(1,0,0),d(0,1,0),a1(0,0,1),b1(1,0,1),d1(0,1,1),而e点为b1d1的中点,所以e点的坐标为(0.5,0.5,1).设面a1de的法向量为n1=(r1,s1,t1),而=(0.5,0.5,0),=(0,1,-1),由n1,n1得取t1=1,则r1=-1,s1=1,所以n1=(-1,1,1).设面a1b1cd的法向量为n2=(r2,s2,t2),而=(1,0,0),=(0,1,-1),同理可得n2=(0,1,1).所以结合图形知二面角e-a1d-b1的余弦值为=.8.解析(1)证明:连结b1c,设b1c与bc1相交于点o,连结od.四边形bcc1b1是平行四边形,点o为b1c的中点.d为ac的中点,od为ab1c的中位线,odab1.od平面bc1d,ab1平面bc1d,ab1平面bc1d.(2)abc-a1b1c1为三棱柱,cc1aa1,又aa1平面abc,侧棱cc1平面abc,故cc1为三棱锥c1-bcd的高.sbcd=sabc=bcab=.又cc1=a1a=2,=cc1sbcd=2=1.9.解析(1)证明:连结bd1,在dd1b中,e、f分别为d1d、db的中点,ef为中位线,efd1b.而d1b平面abc1d1,ef平面abc1d1,ef平面abc1d1.(2)证明:连结b1d1.在等腰直角三角形bcd中,f为bd的中点,cfbd.在正方体abcd-a1b1c1d1中,dd1平面abcd,cf平面abcd,dd1cf.又dd1bd=d,dd1,bd平面bdd1b1,cf平面bdd1b1,而b1e平面bdd1b1,cfb1e.(3)由(2)可知,cf平面bdd1b1,cf平面efb1,故cf为三棱锥c-b1fe的高.易知cf=bf=.ef=bd1=,b1f=,b1e=3,ef2+b1f2=b1e2,故efb1=90,=efb1f=.=cf=1.10.解析(1)证明:因为四边形abcd是等腰梯形,所以abdc,又m是ab的中点,且ab=2cd,因此cdma且cd=ma.连结ad1,在四棱柱abcd-a1b1c1d1中,因为cdc1d1,cd=c1d1,所以c1d1ma,c1d1=ma,所以四边形amc1d1为平行四边形.因此c1md1a,又c1m平面a1add1,d1a平面a1add1,所以c1m平面a1add1.(2)解法一:连结ac,mc,由 (1)知cdam且cd=am,所以四边形amcd为平行四边形.可得bc=ad=mc,因为abc=dab=60,所以mbc为正三角形,因此bc=ab=1,ca=,因此cacb.以c为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系c-xyz.所以a(,0,0),b(0,1,0),d1(0,0,),因此m,所以=,=.设平面c1d1m的法向量为n=(x,y,z),由得可得平面c1d1m的一个法向量为n=(1,1).又=(0,0,)为平面abcd的一个法向量,因此cos=.所以平面c1d1m和平面abcd所成的角(锐角)的余弦值为.解法二:由(1)知平面d1c1m平面abcd=ab,过c向ab引垂线交ab于n,连结d1n.由cd1平面abcd,可得d1nab,因此d1nc为二面角c1-ab-c的平面角.在rtbnc中,bc=1,nbc=60,可得cn=.所以nd1=.在rtd1cn中,cosd1nc=.所以平面c1d1m和平面abcd所成的角(锐角)的余弦值为.11.解析(1)证明:因为四边形abb1a1和acc1a1都是矩形,所以aa1ab,aa1ac.因为ab,ac为平面abc内两条相交直线,所以aa1平面abc.因为直线bc平面abc,所以aa1bc.又acbc,aa1,ac为平面acc1a1内两条相交直线,所以bc平面acc1a1.(2)线段ab上存在一点m(线段ab的中点),使直线de平面a1mc.证明如下:取线段ab的中点m,连结a1m,mc, a1c,ac1,设o为a1c,ac1的交点.由已知可知o为ac1的中点.连结md,oe,则md,oe分别为abc,acc1的中位线,所以mdac,oeac,因此mdoe.连结om,从而四边形mdeo为平行四边形,则demo.因为直线de平面a1mc,mo平面a1mc,所以直线de平面a1mc,即线段ab上存在一点m(线段ab的中点),使直线de平面a1mc.12.解析取bc的中点g,连结ag,则gad=90,因为pa平面abcd,则pad=pag=90.以a为原点,ag所在直线为x轴,ad所在直线为y轴,ap所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则a(0,0,0),p(0,0,2),b(,-1,0),c(,1,0),g(,0,0),d(0,2,0).(1)设e(a,b,c),由=,得e.则=,=(,1,0).设平面aec的法向量为n=(x,y,z),则取x=1,得n=(1,-,),平面acd的一个法向