三高考两模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.6 抛物线知能训练.doc

8.6抛物线组基础题组1.(2014安徽,3,5分)抛物线y=x2的准线方程是()a.y=-1b.y=-2c.x=-1d.x=-22.(2015浙江杭州六中期末)已知p是抛物线y2=4x上一动点,则点p到直线l:2x-y+3=0和y轴的距离之和的最小值是()a.b.c.2d.-16.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.7.(2015浙江名校(镇海中学)交流卷一,14)过抛物线y2=2x的焦点的直线与该抛物线交于a,b两点,且|ab|=4,则ab的中点的横坐标是.8.(2015浙江模拟训练冲刺卷一,11)已知点f为抛物线x2=4y的焦点,o为坐标原点,点m是抛物线准线上一动点,a在抛物线上,且|af|=2,则|oa|=;|ma|+|mo|的最小值是.9.(2015浙江新高考研究卷四(舟山中学),11)已知抛物线c:y2=2px(p0),抛物线c上横坐标为的点到焦点的距离为3.(1)p=;(2)点m在抛物线c上运动,点n在直线x-y+5=0上运动,则|mn|的最小值等于.10.(2016超级中学原创预测卷七,11,6分)已知正六边形abcdef的边长是2,抛物线y2=2px(p0)恰好经过该正六边形的四个顶点,过抛物线的焦点q的直线交抛物线于m,n两点.若焦点q是弦mn靠近点n的三等分点,则该抛物线的标准方程是,直线mn的斜率k等于.11.(2015浙江冲刺卷一,14,4分)已知直线x=my+2与抛物线y2=8x交于a,b两点,点c(-1,0),若acb=90,则m=.12.(2015浙江名校(绍兴一中)交流卷五,14)已知m(a,4)为抛物线y2=2px(p0)上一点,f为抛物线的焦点,n为y轴上的动点,当sinmnf的值最大时,mnf的面积为5,则p的值为.13.(2015浙江七校联考,18)已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于a(x1,y1),b(x2,y2)(x10)的焦点,点a(2,m)在抛物线e上,且|af|=3.(1)求抛物线e的方程;(2)已知点g(-1,0),延长af交抛物线e于点b,证明:以点f为圆心且与直线ga相切的圆,必与直线gb相切.15.(2013浙江,22,14分)已知抛物线c的顶点为o(0,0),焦点为f(0,1).(1)求抛物线c的方程;(2)过点f作直线交抛物线c于a,b两点.若直线ao,bo分别交直线l:y=x-2于m,n两点,求|mn|的最小值.16.(2015浙江模拟训练冲刺卷一,19)已知抛物线c1:x2=4y的焦点为f,过点f且斜率不为零的直线l与抛物线c1相交于不同的两点a,c,并与曲线c2:x2=-4(y-2)相交于不同的两点b,d,其中a,b两点在y轴右侧.(1)求a,b两点的横坐标之积;(2)记直线oa,ob,oc,od的斜率分别为k1,k2,k3,k4,是否存在常数,使得k1+k3=(k2+k4)?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.b组提升题组1.(2015陕西,3,5分)已知抛物线y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为()a.(-1,0)b.(1,0)c.(0,-1)d.(0,1)2.(2014课标,10,5分)已知抛物线c:y2=x的焦点为f,a(x0,y0)是c上一点,|af|=x0,则x0=()a.1b.2c.4d.83.(2015宁波高考模拟考试,5,5分)已知f是抛物线y2=4x的焦点,a,b是抛物线上的两点,|af|+|bf|=12,则线段ab的中点到y轴的距离为()a.4b.5c.6d.114.(2015河南焦作期中,11)已知点p在抛物线y2=4x上,点m在圆(x-3)2+(y-1)2=1上,点n的坐标为(1,0),则|pm|+|pn|的最小值为()a.5b.4c.3d.+15.(2014课标,10,5分)设f为抛物线c:y2=3x的焦点,过f且倾斜角为30的直线交c于a,b两点,则|ab|=()a.b.6c.12d.76.已知点p为抛物线y2=2px(p0)上一点,f为抛物线的焦点,直线l过点p且与x轴平行,若同时与直线l、直线pf、x轴相切且位于直线pf左侧的圆与x轴相切于点q,则()a.q点位于原点的左侧b.q点与原点重合c.q点位于原点的右侧d.以上均有可能7.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于a,b两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点m,且m为线段ab的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()a.(1,3)b.(1,4)c.(2,3)d.(2,4)8.(2015稽阳联考,13,6分)过抛物线c:y2=4x的焦点f作直线l交抛物线c于a,b,若|af|=3|bf|,则l的斜率是.9.(2015浙江六校联考,13,4分)已知f为抛物线c:y2=2px(p0)的焦点,过f作斜率为1的直线交抛物线c于a、b两点,设|fa|fb|,则=.10.(2015杭州二中高三仿真考,13,4分)已知点a在抛物线c:y2=2px(p0)的准线上,点m,n在抛物线c上,且位于x轴的两侧,o是坐标原点,若=3,则点a到动直线mn的最大距离为.11.(2015嘉兴教学测试二,14,4分)抛物线y2=4x的焦点为f,过点(0,3)的直线与抛物线交于a,b两点,线段ab的垂直平分线交x轴于点d,若|af|+|bf|=6,则点d的横坐标为.12.(2016超级中学原创预测卷五,14,6分)已知抛物线y2=4x的焦点为f,则点f的坐标为,若a,b是抛物线上横坐标不相等的两点,且线段ab的垂直平分线与x轴的交点为m(4,0),则|ab|的最大值为.13.(2015稽阳联考文,19,15分)点p是在平面坐标系中不在x轴上的一个动点,满足:过点p可作抛物线x2=y的两条切线,切点分别为a,b.(1)设点a(x1,y1),求证:切线pa的方程为y=2x1x-;(2)若直线ab交y轴于r,opab于点q,求证:r是定点并求的最小值.14.(2015浙江五校二联文,19,15分)已知抛物线y2=2x上有四点a(x1,y1)、b(x2,y2)、c(x3,y3)、d(x4,y4),点m(3,0),直线ab、cd都过点m,且都不垂直于x轴,直线pq过点m且垂直于x轴,交ac于点p,交bd于点q.(1)求y1y2的值;(2)求证:mp=mq.15.(2015浙江冲刺卷一,22)已知点m(0,-1),抛物线e:x2=4y,过点n(-4,1)的直线l交抛物线e于a,b两点,点a在第一象限.(1)若直线ma与抛物线相切,求直线ma的方程;(2)若直线ma交抛物线e于另一点c,问直线bc是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.16.(2014浙江,22,14分)已知abp的三个顶点都在抛物线c:x2=4y上,f为抛物线c的焦点,点m为ab的中点,=3.(1)若|=3,求点m的坐标;(2)求abp面积的最大值.组基础题组1.a由y=x2得x2=4y,焦点在y轴正半轴上,且2p=4,即p=2,因此准线方程为y=-=-1.故选a.2.d由题意知,抛物线的焦点为f(1,0),设点p到直线l的距离为d,由抛物线的定义可知,点p到y轴的距离为|pf|-1,所以点p到直线l的距离与到y轴的距离之和为d+|pf|-1,易知d+|pf|的最小值为点f到直线l的距离,故d+|pf|的最小值为=,所以d+|pf|-1的最小值为-1.3.d易知直线ab的方程为y=,与y2=3x联立并消去x得4y2-12y-9=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则y1+y2=3,y1y2=-.soab=|of|y1-y2|=.故选d.4.c点a是抛物线的准线与x轴的交点,过p作抛物线准线的垂线,记垂足为b,则由抛物线的定义可得=sinpab,当pab最小时,的值最小,此时,直线pa与抛物线相切,可求得直线pa的斜率k=1,所以pab=45,的最小值为,故选c.5.b依题意不妨设a(x1,),b(x2,-),=2x1x2-=2=2或=-1(舍去).当x1=x2时,有x1=x2=2,则sabo+safo=2+=;当x1x2时,直线ab的方程为y-=(x-x1),则直线ab与x轴的交点坐标为(2,0).于是sabo+safo=2(+)+=+2=3当且仅当=时取“=”,而3.故选b.6.答案2解析抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-(p0),故直线x=-过双曲线x2-y2=1的左焦点(-,0),从而-=-,得p=2.7.答案解析由已知得ab为抛物线的焦点弦,则|ab|=xa+xb+1=4,xa+xb=3,故ab的中点的横坐标是.8.答案;解析易知f(0,1).设a(x,y),由|af|=2,得y+1=2,y=1,代入x2=4y得x=2,所以a(2,1),则|oa|=.设b(0,-2),因点m在抛物线准线上,则|mo|=|mb|,从而|ma|+|mo|的最小值就是|ma|+|mb|的最小值.因a,b为定点,则|ma|+|mb|的最小值即为|ab|=,故|ma|+|mo|的最小值是.9.答案(1)1(2)解析(1)依题意得+=3,解得p=1.(2)设m(x,y),则y2=2x.则|mn|的最小值等于点m到直线x-y+5=0的距离d的最小值.而d=,则当y=1时,dmin=,故|mn|的最小值等于.10.答案y2=x;2解析如图所示,根据对称性,可设正六边形abcdef的顶点a,b,c,f在抛物线y2=2px(p0)上,a(x1,1),f(x2,2),则即x2=4x1,又|af|=2,即(x1-x2)2=(x1-4x1)2=3,所以=,x1=,则p=,则抛物线的方程是y2=x,则q,设直线mn的方程为x=my+.将直线mn的方程与抛物线的方程联立,消去x得y2-my-=0.设m(x3,y3),n(x4,y4),所以y3+y4=m,y3y4=-,因为焦点q是弦mn靠近点n的三等分点,所以=2,所以y3=-2y4,联立消去y3,y4,得m=,所以直线mn的斜率k=2.11.答案解析设a(x1,y1),b(x2,y2),联立得消去x得y2-8my-16=0,则有y1+y2=8m,y1y2=-16.由acb=90,知=0,即有(x1+1)(x2+1)+y1y2=0,则有(my1+3)(my2+3)+y1y2=0,即(m2+1)y1y2+3m(y1+y2)+9=0,则-16(m2+1)+24m2+9=0,解得m=.12.答案2或8解析设n(0,n),当sinmnf的值最大时,有mnf=,从而有=0,得ap+n2-4n=0.又2ap=16,所以n2-4n+4=0,所以n=2,所以n的坐标为(0,2)时,sinmnf的值最大.过m作mmy轴,垂足为m,则梯形ofmm的面积为10,10=4,又ap=8,得p=2或8.13.解析(1)直线ab的方程是y=2,由消去y得4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=.由抛物线定义得|ab|=x1+x2+p=9,所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.(2)由p=4,4x2-5px+p2=0可得x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,从而a(1,-2),b(4,4).设=(x3,y3)=(1,-2)+(4,4)=(4+1,4-2),由=8x3,得2(2-1)2=8(4+1),即(2-1)2=4+1,解得=0或=2.14.解析(1)由抛物线的定义得|af|=2+.因为|af|=3,即2+=3,解得p=2,所以抛物线e的方程为y2=4x.(2)证法一:因为点a(2,m)在抛物线e:y2=4x上,所以m=2,由抛物线的对称性,不妨设a(2,2).由a(2,2),f(1,0)可得直线af的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而b.又g(-1,0),所以kga=,kgb=-,所以kga+kgb=0,从而agf=bgf,这表明点f到直线ga,gb的距离相等,故以f为圆心且与直线ga相切的圆必与直线gb相切.证法二:设以点f为圆心且与直线ga相切的圆的半径为r.因为点a(2,m)在抛物线e:y2=4x上,所以m=2,由抛物线的对称性,不妨设a(2,2).由a(2,2),f(1,0)可得直线af的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而b.又g(-1,0),故直线ga的方程为2x-3y+2=0,从而r=.又直线gb的方程为2x+3y+2=0,所以点f到直线gb的距离d=r.这表明以点f为圆心且与直线ga相切的圆必与直线gb相切.15.解析(1)由题意可设抛物线c的方程为x2=2py(p0),则=1,所以抛物线c的方程为x2=4y.(2)设a(x1,y1),b(x2,y2),直线ab的方程为y=kx+1.由消去y,整理得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.从而|x1-x2|=4.由解得点m的横坐标xm=.同理,点n的横坐标xn=.所以|mn|=|xm-xn|=8=.令4k-3=t,t0,则k=.当t0时,|mn|=22.当t0,x20.又易知f(0,1),则由a,b,f三点共线得=,即x2=x1,得(x1+x2)x1x2=4(x1+x2),x10,x20,x1+x20,x1x2=4,故a,b两点的横坐标之积为4.(2)存在.显然直线l的斜率存在,且不为零,故可设直线l的方程为y=kx+1(k0).由得x2-4kx-4=0.设c(x3,y3),则有x1+x3=4k,且x1x3=-4.则k1+k3=+=+=+=k.由得x2+4kx-4=0.设d(x4,y4),则有x2+x4=-4k,且x2x4=-4.则k2+k4=+=+=+-=+k=+k=3k,k0,k1+k3=(k2+k4).故存在常数=,使得k1+k3=(k2+k4).b组提升题组1.b抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-,由题设知-=-1,即=1,所以焦点坐标为(1,0).故选b.2.a由y2=x得2p=1,即p=,因此焦点f,准线方程为l:x=-,设a点到准线的距离为d,由抛物线的定义可知d=|af|,从而x0+=x0,解得x0=1,故选a.3.b记a,b在抛物线准线x=-1的投影分别为a,b,故|aa|+|bb|=|af|+|bf|=12,由中位线定理可得所求距离d=-1=5,故选b.4.c因为抛物线y2=4x的焦点为n(1,0),所以|pm|+|pn|的最小值等于点m到抛物线的准线x=-1的距离的最小值.而点m在圆(x-3)2+(y-1)2=1上,则点m到准线x=-1的距离的最小值等于圆心(3,1)到准线的距离减去半径1,即(|pm|+|pn|)min=4-1=3,故选c.5.c焦点f的坐标为,直线ab的斜率为,所以直线ab的方程为y=,即y=x-,代入y2=3x,得x2-x+=0,设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=,所以|ab|=x1+x2+=+=12,故选c.6.b如图,设直线l,x轴分别与抛物线的准线交于c,d两点,由抛物线的定义知|pc|=|pf|,由圆的切线性质知|pa|=|pb|,于是|ac|=|bf|.又|ac|=|do|,|bf|=|fq|,所以|do|=|fq|,而|do|=|fo|,得o,q两点重合.故选b.7.d显然0r0、k4(y00),即r2.另一方面,由ab的中点为m,知b(6-x1,2y0-y1),(2y0-y1)2=4(6-x1),又=4x1,-2y0y1+2-12=0.=4-4(2-12)0,即12.r2=(3-5)2+=4+16,rxb,解得xa=p,xb=p,所以=3+2.10.答案解析由题意知抛物线的准线方程为x=-=-,解得p=1,所以抛物线的方程为y2=2x.设直线mn的方程为x=ty+m,m(x1,y1),n(x2,y2),直线mn与x轴的交点为d(m,0),联立直线mn与抛物线的方程,得y2-2ty-2m=0,所以y1y2=-2m.因为=3,所以x1x2+y1y2=3,即(y1y2)2+y1y2-3=0.因为m,n位于x轴的两侧,所以y1y2=-6,所以m=3,则直线mn恒过点d(3,0).当直线