三高考（）高考数学试题分项版解析 专题22 立体几何中的角 理.doc

专题22 立体几何中的角1.【2017课标ii，理10】已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（）a b c d【答案】c【解析】试题分析：如图所示，补成四棱柱 ,则所求角为因此，故选c。【考点】异面直线所成的角；余弦定理；补形的应用2.【2017浙江，9】如图，已知正四面体dabc（所有棱长均相等的三棱锥），p，q，r分别为ab，bc，ca上的点，ap=pb，分别记二面角dprq，dpqr，dqrp的平面角为，则abcd【答案】b【解析】试题分析：设o为三角形abc中心，则o到pq距离最小，o到pr距离最大，o到rq距离居中，而高相等，因此，所以选b【考点】空间角（二面角）3.【2014新课标，理11】直三棱柱abc-a1b1c1中，bca=90，m，n分别是a1b1，a1c1的中点，bc=ca=cc1，则bm与an所成的角的余弦值为（） a. b. c. d.【答案】c【解析】以c为原点，直线ca为x轴，直线cb为y轴，直线为轴，则设ca=cb=1，则，a（1，0，0），故，所以，故选c.【考点定位】异面直线所成的角.【名师点睛】本题考查了空间几何体棱柱的性质，异面直线所成角，空间直角坐标，空间向量的数量积，本题属于中档题，要求学生根据根据已知建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的知识求异面直线所成角的余弦值，注意由已知准确写出所需点的坐标.4.【2014四川，理8】如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（）a b c d【答案】b【解析】试题分析：设正方体的棱长为，则，所以，.又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选b.5.【2016高考新课标1卷】平面过正方体abcd-a1b1c1d1的顶点a,/平面cb1d1,平面abcd=m,平面ab b1a1=n,则m、n所成角的正弦值为(a) (b) (c) (d)【答案】a【解析】考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.6.【2015高考浙江，理8】如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（ ）a. b. c. d.【答案】b.【解析】试题分析：设，设，则由题意，在空间图形中，设，在中，在空间图形中，过作，过作，垂足分别为，过作，连结，则就是二面角的平面角，在中，同理，故，显然面，故，在中，在中，（当时取等号），而在上为递减函数，故选b.【考点定位】立体几何中的动态问题7.【2015高考四川，理14】如图，四边形abcd和adpq均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点m在线段pq上，e、f分别为ab、bc的中点。设异面直线em与af所成的角为，则的最大值为.【答案】【解析】建立坐标系如图所示.设，则.设，则，由于异面直线所成角的范围为，所以.，令，则，当时取等号.所以，当时，取得最大值.【考点定位】1、空间两直线所成的角；2、不等式.8.【2017课标3，理16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形abc的直角边ac所在直线与a，b都垂直，斜边ab以直线ac为旋转轴旋转，有下列结论：当直线ab与a成60角时，ab与b成30角；当直线ab与a成60角时，ab与b成60角；直线ab与a所成角的最小值为45；直线ab与a所成角的最小值为60.其中正确的是_.（填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】试题分析：由题意，是以ac为轴,bc为底面半径的圆锥的母线，由，又ac圆锥底面，在底面内可以过点b，作，交底面圆于点d，如图所示，连结de，则debd，连结ad，等腰abd中， ,当直线ab与a成60角时，故，又在中，过点b作bfde，交圆c于点f，连结af，由圆的对称性可知 ,为等边三角形，即ab与b成60角，正确，错误.由最小角定理可知正确；很明显，可以满足平面abc直线a，直线与所成的最大角为90，错误.正确的说法为.【考点】异面直线所成的角取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.(2)求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.9.【2015高考浙江，理13】如图，三棱锥中，点分别是的中点，则异面直线，所成的角的余弦值是【答案】.【解析】试题分析：如下图，连结，取中点，连结，则可知即为异面直线，所成角（或其补角）易得，即异面直线，所成角的余弦值为.【考点定位】异面直线的夹角.10.【2014上海,理6】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】.【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意，即，母线与底面夹角为，则为，.【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数.【名师点睛】圆锥的母线与底面所成的角为圆锥轴截面的底角，圆锥的侧面积为通过直角三角形可求得之间关系.11.【2017课标ii，理19】如图，四棱锥p-abcd中，侧面pad为等比三角形且垂直于底面abcd，e是pd的中点。（1）证明：直线平面pab；（2）点m在棱pc 上，且直线bm与底面abcd所成角为，求二面角的余弦值。【答案】(1)证明略；(2)。【解析】试题解析：（1）取的中点，连结，。因为是的中点，所以,由得，又,所以。四边形为平行四边形，。又平面，平面，故平面。（2）由已知得,以a为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则，,，设则，。由，解得(舍去)，。所以，从而。设是平面abm的法向量，则即所以可取。于是，因此二面角的余弦值为。12.【2017北京，理16】如图，在四棱锥p-abcd中，底面abcd为正方形，平面pad平面abcd，点m在线段pb上，pd/平面mac，pa=pd=，ab=4（i）求证：m为pb的中点；（ii）求二面角b-pd-a的大小；（iii）求直线mc与平面bdp所成角的正弦值【答案】（）详见解析：（）；（）【解析】试题分析：（）设交点为，连接，因为线面平行，平面,根据性质定理，可知线线平行，即，为的中点，所以为的中点；（）因为平面平面，所以取的中点为原点建立如图空间直角坐标系，根据向量法先求两平面的法向量，和，再根据公式，求二面角的大小，（）根据（）的结论，直接求.试题解析：解：（i）设交点为，连接.因为平面，平面平面，所以.因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.（ii）取的中点，连接，.因为，所以.又因为平面平面，且平面，所以平面.因为平面，所以.因为是正方形，所以.如图建立空间直角坐标系，则，.（iii）由题意知，.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.【考点】1.线线，线面的位置关系；2.向量法.13.【2017天津，理17】如图，在三棱锥p-abc中，pa底面abc，.点d，e，n分别为棱pa，pc，bc的中点，m是线段ad的中点，pa=ac=4，ab=2.（）求证：mn平面bde；（）求二面角c-em-n的正弦值；（）已知点h在棱pa上，且直线nh与直线be所成角的余弦值为，求线段ah的长.【答案】（1）证明见解析（2）（3）或试题解析：如图，以a为原点，分别以，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得a（0，0，0），b（2，0，0），c（0，4，0），p（0，0，4），d（0，0，2），e（0，2，2），m（0，0，1），n（1，2，0）.（）易知为平面cem的一个法向量.设为平面emn的法向量，则，因为，所以.不妨设，可得.因此有，于是.所以，二面角cemn的正弦值为.（）依题意，设ah=h（），则h（0，0，h），进而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.所以，线段ah的长为或.【考点】直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角14.【2017浙江，19】（本题满分15分）如图，已知四棱锥pabcd，pad是以ad为斜边的等腰直角三角形，cdad，pc=ad=2dc=2cb，e为pd的中点（）证明：平面pab；（）求直线ce与平面pbc所成角的正弦值【答案】（）见解析；（）【解析】试题分析：（）取pa中点f，构造平行四边形bcef，可求证；（）由题取取bc，ad的中点为m，n，可得ad平面pbn，即bc平面pbn，过点q作pb的垂线，垂足为h，连结mh可知mh是mq在平面pbc上的射影，所以qmh是直线ce与平面pbc所成的角依此可在rtmqh中，求qmh的正弦值试题解析：（）如图，设pa中点为f，连结ef，fb因为e，f分别为pd，pa中点，所以且，又因为，所以且，即四边形bcef为平行四边形，所以，因此平面pab所以ad平面pbn，由bc/ad得bc平面pbn，那么平面pbc平面pbn过点q作pb的垂线，垂足为h，连结mhmh是mq在平面pbc上的射影，所以qmh是直线ce与平面pbc所成的角设cd=1在pcd中，由pc=2，cd=1，pd=得ce=，在pbn中，由pn=bn=1，pb=得qh=，在rtmqh中，qh=，mq=，所以sinqmh=，所以直线ce与平面pbc所成角的正弦值是【考点】证明线面平行，求线面角15.【2017江苏，22】如图, 在平行六面体abcd-a1b1c1d1中，aa1平面abcd,且ab=ad=2,aa1=,.（1）求异面直线a1b与ac1所成角的余弦值；（2）求二面角b-a1d-a的正弦值.(第22题)【答案】（1）（2）【解析】解：在平面abcd内，过点a作aead，交bc于点e.因为aa1平面abcd，所以aa1ae，aa1ad.如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系a-xyz.因为ab=ad=2，aa1=，.则.(1) ，则.因此异面直线a1b与ac1所成角的余弦值为.(2)平面a1da的一个法向量为.设为平面ba1d的一个法向量，又，则即不妨取x=3，则，所以为平面ba1d的一个法向量，从而,设二面角b-a1d-a的大小为，则.因为，所以.因此二面角b-a1d-a的正弦值为.量；第四，破“应用公式关”.16.【2015高考天津，理17】（本小题满分13分）如图，在四棱柱中，侧棱,且点m和n分别为的中点.(i)求证：平面；(ii)求二面角的正弦值；(iii)设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长【答案】(i)见解析； (ii)； (iii).【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，又因为分别为和的中点，得.(i)证明：依题意，可得为平面的一个法向量，由此可得，又因为直线平面，所以平面(ii) ，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，设为平面的一个法向量，则，又，得，不妨设，可得因此有，于是，所以二面角的正弦值为.(iii)依题意，可设，其中，则，从而，又为平面的一个法向量，由已知得，整理得，又因为，解得，所以线段的长为.17.【2016高考新课标1卷】（本小题满分为12分）如图,在以a,b,c,d,e,f为顶点的五面体中,面abef为正方形,af=2fd,且二面角d-af-e与二面角c-be-f都是（i）证明：平面abef平面efdc；（ii）求二面角e-bc-a的余弦值【答案】（i）见解析（ii）【解析】试题解析：（i）由已知可得,所以平面又平面,故平面平面（ii）过作,垂足为,由（i）知平面以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系由（i）知为二面角的平面角,故,则,可得,由已知,所以平面又平面平面,故,由,可得平面,所以为二面角的平面角,从而可得所以,设是平面的法向量,则,即,所以可取设是平面的法向量,则,同理可取则故二面角的余弦值为考点：垂直问题的证明及空间向量的应用18. 【2014天津，理17】如图，在四棱锥中，底面，点为棱的中点 （）证明：；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值【答案】（）详见试题分析；（）直线与平面所成角的正弦值为；（）【解析】试题分析：（）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明。也可以利用综合法：要证，由于是异面直线，可将问题转化为证明线面垂直。由于点为棱的中点，可以先取中点，连结，从而可证得。由线面垂直的判定定理易证平面，从而，最后证得；（）向量法：先求平面的法向量，然后利用公式求直线与平面所成角的正弦值综合法：在（i）的基础上，可（）向量，故 （）向量，设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量于是有，直线与平面所成角的正弦值为（）向量，由点在棱上，设，故，由，得，因此，解得，即设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量取平面的法向量，则易知，二面角是锐角，其余弦值为（方法二）（）如图，取中点，连结，由于分别为的中点，故，且，又由已知，可得且，故四边形为平行四边形，（）如图，在中，过点作交于点底面，故底面，从而又，得平面，因此在底面内，可得，从而在平面内，作交于点，于是由于，故，四点共面由，得平面，故，为二面角的平面角在中，由余弦定理可得，二面角的斜率值为