清华微积分讲座辅导文档.doc

清华大学考研辅导强化班课程微积分清华大学数学系 刘坤林 主讲本节课程内容：1.1 函数与基本不等式函数关系，定义域与值域，反函数与复合函数四类初等性质（广义奇偶性）1.2 极限定义与性质序列与函数极限定义与等价描述极限性质：唯一性，有界性，保号性及推论，比较性质1.3 三个极限存在准则1.4 两个标准极限1.5 无穷小量比阶等价无穷小量，同阶无穷小量与高阶无穷小量。1.6 极限相关知识点导数概念，变限积分，级数，微分方程，广义积分等。1.7 连续函数基本概念，定义，连续性与极限的关系，连续性等价描述，连续性的判别闭区间上连续函数的性质，零点定理，最大最小值定理。本节课程内容：例15. 设与在有定义，在有间断点，在上连续，且，则（A）在上必有间断点;（B）在上必有间断点;（C）在上必有间断点;（D）在上必有间断点.例16.设，且至少存在一点，使，证明在上有正的最大值。例17.设，证明（1）存在； （2）收敛。例18.若，则（A）且； （B）且；（C）且； （D）且；例19.若存在, 则 B(A) 。(B) 之去心邻域, 使当时, 。(C) 之邻域, 使当时, 。(D) 。例20.设定义在, 且都在处连续,若 , 则 D(A) 且 ,(B) 且 (C) 且 ,(D) 且 例21.设当是比高阶的无穷小量, 则 A(A) , (B) (C) , (D) 本节课程内容：例15. 设与在有定义，在有间断点，在上连续，且，则（A）在上必有间断点;（B）在上必有间断点;（C）在上必有间断点;（D）在上必有间断点.例16.设，且至少存在一点，使，证明在上有正的最大值。例17.设，证明（1）存在； （2）收敛。例18.若，则（A）且； （B）且；（C）且； （D）且；例19.若存在, 则 B(A) 。(B) 之去心邻域, 使当时, 。(C) 之邻域, 使当时, 。(D) 。例20.设定义在, 且都在处连续,若 , 则 D(A) 且 ,(B) 且 (C) 且 ,(D) 且 例21.设当是比高阶的无穷小量, 则 A(A) , (B) (C) , (D) 第2讲 导数定义与性质 要点与习题清华大学数学科学系 刘坤林 主讲2.1 导数定义导数定义作为第3标准极限 应用技巧2.2 导数性质函数可导的充要条件，可微性概念，可导与连续的关系2.3 微分与导数计算，高阶导数2.4 导数的定号性与函数增减性，局部极值，凹凸性与拐点本节课程内容：例1. 设，则在点可导的充要条件为 B(A) 存在，(B) 存在(C) 存在，(D) 存在例2. 若存在，则k ， -k ，-2k ， -k .例3. 设可导,且满足条件,则曲线在处的切线斜率为 D(A) 2, (B) -1, (C) , (D) 2例4. 设在区间内有定义, 若当时,有,则必是的 C(A) 间断点； (B) 连续而不可导的点(C) 可导的点, 且；(D) 可导的点, 且例5. 设曲线 在点处的切线与x轴交点为，则 例6. 若二次曲线将两条曲线,连接成处处有切线的曲线，则该二次曲线为 例7.设在点某领域内可导, 且当,已知, , 则例8. 设可导, ,若使处可导, 则必有 A(A) 。 (B) 。(C) 。 (D) 。例9. 设, 其中是有界函数,则在处有 D(A) 极限不存在; (B) 极限存在, 但不连续(C) 连续, 但不可导; (D) 可导例10. 设 在点处可导, 则 D(A); (B);(C); (D).例11.设在某邻域内可导,且，求极限 ；例12.设是内的连续奇函数，且，则在处的导数为 A(A); (B); (C); (D)不存在.例13.设在某内 存在，已知，求.例14.函数的上凸区间为 (0,1)例15. 设函数 由 确定，则 ，例16.设，求.Key: +例17.求函数 的渐近线。Key:垂直；斜渐进线例18.设在的某领域内连续, 是的同阶无穷小量（），且为其极大值,则存在,当 时, 必有 C(A) . (B) .(C) .(D) .例19. 设当时，曲线与在内相切。又当取值范围为 时，上述二曲线在内恰有二个交点。例20. 设 满足, 讨论是否为的极值点.。例21.已知函数满足等式，且，则在处的二次Taylor多项式为.例22.设在某领域内连续, 且, , 则 A(A) 是的极大值.(B) 是的极小值,(C) 是的拐点.(D) 不是的极值点.也不是的拐点.例23.设对一切满足 ，若,其中，则 B(A) 是的极大值. (B) 是的极小值.(C) 是的拐点.(D) 不是的极值点, 也不是的拐点.例24. 设对一切满足 ，且,其中，则 C(A) 是的极大值.(B) 是的极小值.(C) 是的拐点.(D) 不是的极值点, 也不是的拐点.例25若内的奇函数, 在内, 且,则在内有 B .(A)； (B);(C) ； (D).第3讲 用导数研究函数性态 要点与习题清华大学数学科学系 刘坤林 主讲 3.1 导数零点定理及应用技巧3.2 Fermat定理, Rolle定理, Lagrange中值定理, Cauchy中值定理。3.3 Taylor公式及应用3.4开区间与闭区间上的最大最小值问题 不等式证明技巧本节课程内容：1. 设方程 ，2. 讨论取何值时,使得（1）方程有一个实根；（2）方程有二个不同实根；（3）方程有三个不同实根。2.设在上有二阶导数，且又， 证明存在使 .3.设在某内 ，且, 则在 内(A)连续；(B)为增函数; (C)为正定函数；(D)能取到正值；4.设，证明不等式 5.设满足 ，且，证明当时存在常数，使得 ，并指明的取值范围。6.设在二阶可导，对一切有，证明在内曲线 上一点处的切线与该曲线除切点外无交点。7.设二阶可导，,试问与在内有几个无交点？ 证明你的结论。8设在（-1,1）内有二阶连续导数，,试证:（1）对(-1,1)内的任一存在唯一的，使. （2） .9(1)设 ,证明不等式 .(2)设 ,证明不等式.(求最大最小值)10 设可导函数 , 满足条件：.证明函数在中有不动点,即存在, 使得;证明对任意给定的初值，由迭代公式：，所确定的点列收敛于的不动点。11. 设，则 A(A) . (B) . (C) . (D) 12(1) 设，证明不等式 。(2)设，证明不等式。13设在上二阶可导，且证明存在，使得 .14. 设在上二阶可导，且其中为非负常数,，证明 .15. 设在上连续，且 若，证明 . 16. 设是周期为1 的周期函数，在内可导，且 令，证明存在，使得。 17. 设证明 （1） （2） 18. 证明：当 时成立不等式 19. 证明：当 时成立不等式 20. 设函数由确定,求在处的切线方程与法线方程. Key: 切线, 法线 21. 设 ，则. 22. 设在任意点满足，若， 则.23设函数 由 确定，则， 24. 已知函数在上二阶可导。 若线段与曲线交于点， 证明：存在，使得。 第4讲 原函数与不定积分清华大学数学科学系 刘坤林 主讲4.1 原函数关于原函数与可积性的特别说明4.2 不定积分计算技巧凑微分法，变数替换法，分部积分法，回归法与递推法，有理分式与三角有理分式的积分1. 求下列不定积分(1); (2)；(3)； (4)； (5)；(6)； (7)； (8);2. 求下列不定积分(1）； (2) ；(3); (4）；(5）；(6）；(7)； (8）； 或 (9) ; (10) ; (11) ; (12), 或3.（1）设，计算（2）设一个的原函数为，求4. 设在上可导，其反函数为，若，求。Key: 5. 设, 求的表达式，并说明是否的原函数。Key: ,不是的原函数。事实上没有原函数。6. 设，则的一个原函数为 B （A） （B）（C） （D）7. 设在上可积，则下列命题中不正确的是 D （A）函数在上连续；（B）的任意两个原函数之差必为常数；（C）的任意两个原函数之和必为的原函数；（D）若为的一个原函数，为连续函数，则必为的原函数。8. 已知,则 9. 设为的一个原函数，常数，则= A （A）。（B）。（C）。（D） 10. 设为已知单调可导函数，为的反函数， 则 C （A）。 （B）。 （C）。 （D）。 11设在上连续，记,试证（1）若为偶函数，则也是偶函数；（2）若单调不增，则单调不减。本节课程内容：1. B （A）;（B） ;（C） ;（D） 设， 则 B （A）;（B）;（C）1; （D）1 3. 设，且，则 A （A）2;（B）3;（C）4;（D）1 . 4. 设， 当时，是的 C （A）高阶无穷小。（B）低阶无穷小。（C）同阶但不等价的无穷小。（D）等价无穷小. 5. 已知连续曲线关于点对称,则= D ; (B) ; (C) ;(D) 6. 求 （=） 7. 设连续，已知，且,求. Key:. 8. 已知上的连续曲线关于直线对称, 证明 . 9. 设，则与的关系为 A （A）。（B）。（C）。（D）不确定 . 10. D （A）;（B）0; （C）;（D） 11. 设，则极限 D （A） ;（B）;（C）0;（D）. 12. 设正定函数， 则在内根的个数为 B （A）0;（B）1; （C）2;（D）3. 13.设，且单调减少，对任意记 ， ，则与的关系为 A （A）。（B）。（C）。（D）不确定. 14. 设 ，且非负单调减少， 证明：. 15. 设，且对满足的一切有， 则在上必有 B (2001-ex2) （A）恒为零 ; （B）恒为常数; （C）恒为线性函数; （D）恒为平均值为零的周期函数. 16. 设，且, ， 则由已知函数表出的 C （A）。（B）。（C）。 （D） 17. 设在上可导，其反函数为， 若，求. 18. 设， 求.( =3 ) 19. 设在区间内恒有 , 记，则必有 B (A)； (B)； (C)；(D) 不确定； 20. 设 ， 则 A (A)必为正的常数.(B）必为负的常数.(C)恒为零.（D）不为常数。 21.设为连续奇函数，且，则 0 . 22.设为连续奇函数，且 ,则 . 23. 设，求.（答案：） 24. (A) 。(B) 。(C) 。(D) 。 25确定常数的值，使（）。 第6讲 定积分综合问题及应用 要点与习题清华大学数学科学系 刘坤林 主讲6.1定积分区间变换及其应用 综合问题与技巧 6.2 定积分应用问题 几何应用 物理应用 6.3 由定积分决定的函数性态研究， 变限积分与含参数积分综合问题 6.4 积分不等式与处理技巧 本节课程内容：1. 证明 =. 2. 设上连续，3. 且满足 , 证明存在,使得. 4. 证明连续周期函数的原函数必为线性函数与周期函数之和. 5. (1) 设为正整数，6. 计算. (2) 计算. (3) 设为正整数，计算广义积分. (4) 设为正整数，求积分. (5) 计算 . (6) 计算. 本节课程内容：7. 证明 . 8. , 且, 求,并讨论的连续性. 7设在上可导,记 为界定的面积， 为界定的面积， 证明对任意常数存在唯一的使得 。 本节课程内容：8设为上的连续非负单调增函数,为 的形心.证明. 9. 设在上非负,为 围成区域之形心, 试证 . 10. 设为上的非负可积函数,且满足, 又设当时, .,记 (1) 求 ; (2) 若 , 求 ; (3) 若在上可积,在处连续, 求 . 11. 设上连续，, 且 , ， 试证明: (1)在内有零点； (2)若内可导，则在内亦有零点。 12. 设上连续，在内可导，且满足 ,证明至少存在一点， 使得.(例10.1.8) 13. 设函数在上可导, , 且满足 (1) 求导数 (2) 证明时成立不等式: . 14. 设满足,求的极值及渐近线, 并作的图形.(2000基础摸) 15. 已知是上的连续偶函数，证明： 。 16. 设是上非负连续且单调减的函数。 ， 证明有极限。 17. 设在上连续非负，且为单调增函数,，区域绕轴旋转一周生成的体积记为，试证二阶可导，并求。18. 上给定，对任意的，记是由所围成的面积，记是由所围成的面积，问取何值时，总面积取得最大最小值，说明理由。19. 在曲线上点 处引该曲线的法线.由该法线,轴及该曲线的部分围成区域为D,求D绕轴旋转一周生成的体积.20设曲线由及确定.则该曲线当 时 的法线方程为。 21. 设在区间上有一阶连续导数,记, 试证 。 22. 设连续，, （1）当为正整数时, 且时,证明. （2）求. 九 一阶与高阶可降阶常微分方程(一) 一个概念：微分方程的 “解”方程及其分类解：方程的阶、线性非线性解：一般解、特解、定解条件、初值问题(二) 三类方程: 按类求解；现察侍定函数或常数方法。一阶方程:高阶可降阶方程:高阶线性方程:线性方程解的结构理论常系数线性方程的规察侍定法欧拉方程: 差分方程简介(三)几类应用问题几何问题: 切线、法线，曲率，弧长和面积物理力学问题: 根据力学和物理定律,其他方面简单问题。微分方程及解的概念判断函数 , , , 为任意常数，是否是方程: (a) ; (b) 之解？是否通解？求积分. ()方程, 是周期为的周期函数,讨论：此解是否一定是周期函数？若是请证明,;若不一定是请举反例, 并找出一定为周期解的条件；试讨论这种方程解的特点。若函数满足条件: , 欲使，其中是常数，试.本节课程内容：23. 设在区间()上有二阶连续导数, (1)写出带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式; (1) 证明至少存在一点 使得. 24. 设均为区间上的连续函数, ,并且满足, 试证明在上成立不等式. 25. 设在某邻域内的连续函数, 且当时是的高阶无穷小量, 则当时是的 D （A）底阶无穷小量；（B）高阶无穷小量； （C）同阶但不等价的无穷小量； （D）等价无穷小量。(综例10.2.16) 26设在上可导，且满足， 证明存在一点使得。 本节课程内容：例题1（1）讨论取何值时, 广义积分 收敛,key: 收敛（2）又取何值时, 广义积分 收敛. 收敛,key: 收敛提示：用极限比较法，时与比较。时用定义，（1）；（2）发散。2. 计算广义积分3.4. 就参数的取值讨论下列广义积分的收敛性(1) . (2) .5. 计算广义积分(1) (2) (3) (4) 本节课程内容：例题1（1）讨论取何值时, 广义积分 收敛,key: 收敛（2）又取何值时, 广义积分 收敛. 收敛,key: 收敛提示：用极限比较法，时与比较。时用定义，（1）；（2）发散。2. 计算广义积分3.4. 就参数的取值讨论下列广义积分的收敛性(1) . (2) .5. 计算广义积分(1) (2) (3) (4) 本节课程内容：11设，收敛，则收敛性结论是（A）绝对收敛;（B）条件收敛;（C）发散;（D）不定12. (91) 己知级数，则级数等于( C )(A）3; （B）7; （C）8; （D）9。13. 设，（1） 求； （2）证明，（2） ，（3） 级数收敛。14. 设且单调减，若级数发散，试问是否收敛？证明结论。15. 设，,求.16. 设为上的连续周期函数，周期为1，且，在上连续可导，令，证明级数收敛。17. 设，其中，若，则使级数收敛的取值范围是（A）;（B）;（C）;（D）第8讲 函数项级数 级数综合问题与技巧8.1 函数项级数基本问题8.2 幂级数与泰勒级数8.3 级数的展开与求和函数展开与求和函数(A) 幂级数收敛及解析性的特点；(B) 幂级数的间接展开方法与依据:八个基本初等函数在原点的台劳级数：, ;, ;, 。, ;, ,特别是有常用公式(5-1) , , (5-2) , , (5-3) , , 8. 4傅里叶级数的展开及发敛定理。函数富氏展开的几种提法：若是周期为的周期函数，则有系数公式, , 若先给出在区间上的表达式，要求: “将在区间上展成富氏级数”. 其意思是有一周期为的周期函数，它在区间上是，其他地方按周期延拓。因此，其富氏系数可用公式计算：, , 。给出在区间上的表达式，要求: “将展成正(余)弦级数”或“作奇(偶)延拓”； 其意思是有一周期为的奇(偶)函数，它在区间上是，其富氏系数公式计算：正弦级数: , ； , 。余弦级数: , ； , 。三角级数逐点收敛定理：若周期为的可积期函数，其条件满足以下之一者:在周期区间上逐段可微；在周期区间上逐段单调；则有: = 1. 若在处发散，而在点收敛，则的取值范围是（A）;（B）;（C）;（D）2(88) 若级数，在处收敛，则此级数在处 ( B )(A)条件收敛； （B）绝对收敛； (C）发散； （D）敛散性不能确定。3若 收敛半径为，级数 的收敛半径为，则必有(A) ；(B) ；(C) ；(D) 不能确定.4. (1) 级数 的和为 （ 3 ）(2) 的和为 （ 0 ）5求在处的幂级数展开式,指明收敛域.6设,试将展成的幂级数,并求级数的和.(综例13.7.5)7. 求的收敛域。8. 求的和。9. 设函数，(1) 求 及的值；(2) 试证当 取正整数时亦为正整数.10 (93) 设,的付里叶级数为, 则其中的系数 的值为 ().11(89) 设,而, ,其中, 则等于等于( B ).(A）; （B）; （C）; （D）。12(99) 设, ,其中, 则等于等于( C ).(A）; （B）; （C）; （D）。13. 设满足，n为正整数，且，求函数项级数的和。14将展为的，指明收敛域。Key: .15将在处展开。Key: ，.本节课程内容：(续)九 一阶与高阶可降阶常微分方程一阶微分方程及其解法判断下列一阶方程的类型:, ( 可分离型 ), ( 可分离型, 明显积分因子 ), (零齐方程)(可分离型, 一阶线性, 明显积分因子)(零齐方程, 一阶线性, 明显积分因子)(对x是一阶线性, 明显积分因子)( 零齐方程, 明显积分因子)(零齐方程, 伯努利方程, 全微分方程), (型)本节课程内容：(续)九 一阶与高阶可降阶常微分方程解方程：. ()(93) 函数过 ，且其切线斜率 为，则( =)(91) 连续函数满足则是(B)(A) ; (B) ; (C) ; (D) .(92)的通解是 ( ).(93)求满足之特解. ( )(88)求 的通解. ( 零齐; 伯努利; 全微分 )若，求一般解. ()若, 求一般解. ( 伯努利)若 求一般解 . ( 对线性,)若, 求一般解. (简单积分因子 )若, 求一般解. (积分因子、零齐、对x线性 )若, 求一般解. (佰努利、积分因子、置换: )综合题：(99)今有 其中，试求上的连续函数解。( )(96)设为连续函数求初值问题 的解. 其中，；若(常数)，证明当, 有 .(01)函数列, 满足初值问题：求： ()初值问题 且, 其中为连续函数, 证明：上述初值问题之解, 有 。若方程中, 为常数，是周期为连续周期函数,试证：存在唯一的周期为的特解。( )二阶可降阶方程 及其解法; ( 令, 其解为：( ); ( )(021,2) ,求( 或 ). ( 令 ), (), 求一般解。.*end*本节课程内容：(续)九 一阶与高阶可降阶常微分方程解方程：. ()(93) 函数过 ，且其切线斜率 为，则( =)(91) 连续函数满足则是(B)(A) ; (B) ; (C) ; (D) .(92)的通解是 ( ).(93)求满足之特解. ( )(88)求 的通解. ( 零齐; 伯努利; 全微分 )若，求一般解. ()若, 求一般解. ( 伯努利)若 求一般解 . ( 对线性,)若, 求一般解. (简单积分因子 )若, 求一般解. (积分因子、零齐、对x线性 )若, 求一般解. (佰努利、积分因子、置换: )综合题：(99)今有 其中，试求上的连续函数解。( )(96)设为连续函数求初值问题 的解. 其中，；若(常数)，证明当, 有 .(01)函数列, 满足初值问题：求： ()初值问题 且, 其中为连续函数, 证明：上述初值问题之解, 有 。若方程中, 为常数，是周期为连续周期函数,试证：存在唯一的周期为的特解。( )二阶可降阶方程 及其解法; ( 令, 其解为：( ); ( )(021,2) ,求( 或 ). ( 令 ), (), 求一般解。.*end*十 高阶线性方程一般理论及常系数线性方程(三) 高阶线性微分方程及其解法阶线性齐次方程方程：阶线性非齐次方程方程：阶线性常系数齐次方程方程：阶线性常系数非齐次方程方程：线性微分方程解的结构理论常系数线性齐次、非齐次方程求解1. (89)和是连续函数, 且线性无关的三个函数都是二阶线性非齐次方程之解，和是任意常数，则其通解是: (D)(A) ; (B) ;(C) ; (D) 2. (01)设, (为任意常数) ,为某二阶常系数齐次微分方程的通解，则该方程为 ( )补充：求方程的一般解。()*end*3. (00)具有特解的三阶线性常系数齐次方程是：( B ); (B)(C) ; (D)4. (93) 有一特解,求及通解。(, , )5. (89)方程的一个特解应具有形式( 为常数)是 (B)(A); (B); (C); (D).7. (00)求的特解。 ()(96)求之通解. ()(90)求之通解. ( )(92)求之通解, ()(87)求之通解 ()(87)求之通解, ()(92)求之通解, ( )(88)求之通解 ()(88)函数满足方程，, 在点处之切线与曲线 在该点切线重合，求 . ( )(91)求之通解 ()(90)求之通解 ()(99)求之通解 ()(87)求之通解. ()十 高阶线性方程一般理论及常系数线性方程清华大学数学科学系 谭泽光 主讲综合题6. (89)利用代换 将方程 化简，再求一般解。 ().21 (89)设, 求。 ()23 (00)在可导, 满足：,求函数 (2) 证明：.26 (01)若, ; 求 , ()25 (97)设二阶连续可导，且满足方程： 求. ()27. (022) 设满足：，则当时，求= (C).(A)不存在； (B)等于1; (C)等于2; (D)等于322. (84)设级数. 求收敛域; 证明满足方程; 求和函数.(1), ; (2); (3).23. (021) (1) 验证级数满足方程;(2) 利用上述结果求级数的和函数.( )24.(00)在半空间, 对任何光滑有向曲面, 有其中在一阶连续可导, 且求。 ()20. (94) ,且知 是全微分方程，求，并求方程通解。 ()*end*本节课程内容：(续)十一、欧拉方程、线性差分方程及微分方程的应用(四) 欧拉方程: 对一般齐次方程：令 得;单根：,重根：;复根：,1. Eurler 方程：求解 ()(五)线性微分方程组一般的二阶方程为：, 利用消元法：化成二阶方程:2, 求方程组之通解。 () (六). 线性差分方程求解问题。一阶线性差分方程: 。二阶线性差分方程: 。解法1：一阶线性差分方程的递推求解：.解法2：二阶线性齐次差分方程的特征根法求解：令形式解 ,代入方程得特征方程: , 根:(1) 为实根, 对应有解： 和 ;(2) 为重根, 对应有解： 和 ，或者(3) , ,对应有解： 和.(4) 关于解的结构理论与线性微分方程类似，由此得一般解: 例 题3. (98) 求差分方程的一般解。 ()4. 斐波拉契数( )5. 银行实行贷款购房业务，贷元，月利，个月本利还清，在这个月内按复利计息，每月连本带息还元。(1) 求的关系；(2) 记个月的平均利息，求.( ) (七) 微分方程应用问题两类问题：几何方面的应用, 物理、力学方面的应用;两种方法：一是规律“翻译”; 二是微量平衡分析;做题的三步曲： 列方程 解方程 解的分析.在几何方面的应几何量的分析表示：切线MT：方程;次切距,切线长,法线MN：方程;次法距, 法线长;孤微分与弧长: ; 曲率: (99) 函数二阶可导，且, 过曲线上任一点作该曲线的切线及轴的垂线, 上述两直线与轴所围成的三角形面积记为，区间上以为曲边的曲边梯形面积记为，并设恒为1，求此曲线的方程。()(95)设曲线在第一象限，其上任一点之切线与轴总相交，记交点为，己知，又过点，求此曲线之方程。()(91)在上半平面上求上凹曲线，其上任一点处的曲率等于此曲线在该点法线段长的倒数，又曲线在点处与x轴平行。 ()(98)为上凸连续曲线，其上任一点处的曲率等于, 且在点点处的切线方程为, 求此曲线的方程及其极值。由条件确定其解(98)在连续，若曲线、直线、与轴所围的平面图形, 绕轴旋转一周而成的旋转体积为 ，且,求 所满足微分方程及条件, 并求其解。()(01)平面曲线上任一点, 到原点的距离恒等于该点处切线在轴上的截距, 且过点.求曲线的方程; ( )求在第一象限部分的一条切线使其与及两坐标轴所围面积最小。()(96)过平面曲线, 上任一点切线在轴上的截距等于 , 求曲线的方程. ()(022) 求微分方程的一个解，使得由曲线与直线以及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周的旋转体体积最小。(93)物体A从点(0,1)沿y轴正向以常速v运动，物体B从(-1,0)与A同时出发, 速度为 2v，指向A，求的B运动微分方程及初始条件 ()(00)从船上向海中下沉某种仪器，需确定下沉深度y (从海平面算起) 与下沉速度v之间的函数关系。设仪器在重力作用下，由静止从海平面垂直下沉，在下沉中阻力与速度成正比，比例系数，同时受到浮力，设仪器质量为，体积为，海水比重为，试建立方程并求解. (y)光线穿过薄水层时，被吸收之数量与入射量以及水层厚度成正比。若穿过2米厚的水层时，最初的光线被吸收掉，试问到达水深12米处时, 光线还剩多少？()(00)某湖泊水量为，每年入湖含污物A的污水，入湖污水量，入湖不含A的水量为, 流出量。己知1999年底湖中有污物，超过国家标准。为治污从2000年初开始，限定入湖污水含A浓度不超过，问多少年后湖中含污物的量降至。( , )13. 作一个柱台座，柱台座断面面积函数为 , , 台柱高为, 其上受力为，使每个断面上的压强都一样(等强度柱台座), 求。 (, )一容器总高为, 在高度为处的断面面积为，在底部有一面积为的小孔，若水流出速度是水深的函数, ,若在容器装满水后, 将底部小孔打开，问多久水将流尽？ ( )将质量为的物体, 以初速垂直向上射出，设空气阻力与运动速度的平方成正比, 比例系数。求物体到达的高度，到这最高处的时间，落到原地时的速度及下落时间？(上升的最高度;上升到顶点的时间: 落地时间: ; 其中 ).*end*本节课程内容：(续)十二 向量代数与空间解析几何题 目：(88)已知都是单位向量,且有, 求()(95)已知 ，则 (4)证明余弦定理和正弦定理。1),2)证明 5. (87)设, 则三直线 交于一点的充要条件是：(D)三向量线性相关; (B) 三向量线性无关;(C) rank()=rank(); (D)相关, 而无关.6, 若, 求使得; ()使得; ()在由所构成的平面上的投影向量;()使得三向量共面。()7, 求两条空间直线间的距离。 ()8, 求点到平面的距离. ()9, 证明：不共线的三向量, 构成封闭三角形的充要条件是：若三个非零向量, 满足条件：, 试求它们之间的夹角及各自的模。 ( )11 在什么条件下，关于的向量方程有解？有多少解？解的一般形式是什么？ ()*end*本节课程内容：(续)十二 向量代数与空间解析几何空间解析几何平面与直线的方程:平面： 法向量 , 方程: , 即直线: 方向 , 方向数 ;方程: , 或 ,即, 或 平面，直线间的关系: 以来判断其垂直、平行、相交的情况。二次曲面:椭球面 单叶、双叶双曲面 椭圆、双曲抛物面 ()特殊曲面: 柱面, 锥面, 旋转面柱面: 方程中缺变量: 如, ;锥面: 方程中变量次数相同, 如, 旋转面, 如，上曲线 绕轴旋转而成之曲面方程 为: 空间区域的不等式表示椭球体: ; 半平面: *end*本节课程内容：(续)十二 向量代数与空间解析几何题 目：13. (90)过点M(1,2,-1)，与直线垂直的平面方程是( ).14. (91)己知 和 , 求过平行的平面方程。()15. (87)与, , 两直线平行且过原点的平面方程 ( )16. 今有直线：, 求：与关于原点对称的直线方程；()与关于平面对称的直线方程；()与关于平面对称的直线方程；()17. 平分由两平面: 和，所成两面角的平面方程是什么？(, )(87)过点，垂直于直线L1: ，平行于平面 的直线是 ( )19. 求过的直线方程，满足下列条件：和平面平行; 2)与直线相交.()找直线、平面问关系的问题(93)与之间夹角是( )(92)曲线的所有切线中，与平面平行的有几条？(两条)(89)己知曲面上P点之切平面平行，求P点. P(1, 1, 2).(98)矩阵满秩，则两直线：和. (A)交于一点； (B) 重合；(C) 平行不重合；(D) 异面。24. (94)己知与，线段绕轴旋转一周所成的旋转面S，求S及平面所围立体的体积。()(98)求直线, 在平面 上投影直线L0的方程，并用 L0 绕轴旋转一周所成的曲面S的方 ()26. 己知二次型 的秩2,求特征值；( );指出表示什么曲面？(椭圆抛物面 )*end*本节课程内容：(续)十三 多元微分学及其应用(1) 多元函数定义与符号：函数符号的三式： 显式; 隐式： 和 参数式: 多元极限：多路迳连续：初等函数连续性，闭域上连续函数的三性质: 有界性，取最大最小性，中值性(2) 导数与微分导数：偏导数，方向导数与梯度,一元化方法复合函数求导法则: 函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数; 几多中间变量有几多项；几层复合有几层积。关键在函数关系分析。微分：定义为线性主部，可微，可导，连续的关系； 微分的几何意义：切平面存在可微的充分条件：一阶偏导连续(3) 多元微分学的应用求空间曲面的法线、切平面；求空间曲线的切线与法平面； 多元台劳公式研究函数性态多元极值问题：无条件、条件极值问题；闭域上最值问题*end*本节课程内容：(续)十三 多元微分学及其应用多元微分方法*end*题 目1. (94)在的两个偏导存在是函数在连续的 (D)(A) 充分条件; (B) 必要条件; (C)充要条件; (D) 既非充分又非必要。2. (021)考虑二元函数的下列性质:(1) 在连续; (2) 在两偏导数连续;(3) 在可微; (4) 在两偏导数存在。则有：(A)(A) (2)?(3) ? (1); (B) (3)?(2) ? (1);(C) (3)?(4) ? (1); (D) (3)?(1) ? (4);3. (92)设, 其中, 求:()注意： 的函数结构都一样。4. (93)，5. 求,. ( =)6. (88)设, 求： (0)7. (98)设, , 求：, ( )8. (00)设函数 , 求. ( )9. (99)己知, , 求.( )10. 设, 又, ,求 , ( 注意符号的运用 )( =; =)11. 设, 求表示式： ( 注意循环对称性 ) ()12. (98)设变量可把方程简化成求？(3)13. 若满足关系: , ( * ), 则称 f 为k次齐次函数 。 证明：f 为k次齐次函数 含有隐函数的导数问题14. (87)设z是方程所确定的函数, 求.()15. (91)方程所确定的函数在点M( 1, 0, -1 )处的全微分. ( )16. (98)设 求dz 和( , = )17. 设函数有连续偏导数，18. 且由方程所确定，19. 求du. ( )20. 函数由方程确定，21. 求 ( , , )22. (99)设函数, 由方程 确定, , 求. ( )23. (92)函数在点M(1, 2, -2)处的梯度值。(24. (93) 数量场 则 ( )25. (01) ，26. 则=*end*多元微分学的几何应用27. (88)求椭球面 S 在某点M之切28. 平面，29. 使之过直线 LM。( , 和 )30. (93)由曲线, 绕y轴转一周而31. 成的曲面在点处的指32. 向外侧的单位法向是什么？()33. 若给定方程，34. 且，35. 证明由此确定的曲面S上任一点的切36. 平面都平行于直线： L: 37. 证明曲面S: (为常数)，上任一点处的法线必与直线 L: 相交。*end*多元极值问题明确撊鍪裁磾: 什么函数，( 目标函数 )?在什么条件下，( 约束条件 )?求什么极值？ ( 极大,极小)?写成: 39. (99)设生产某种产品缜投入两种要素 x1 和 x2 为其投入量，40. Q为产出量，41. 若生产函数为 ，42. 其中为正常数，43. 且，44. 设两种要素价格分别是p1 和p2 ，45. 试问产出量为12时，46. 两要素投入多少，47. 可使费用最小？( )48. (00)设企业在两个分割的市场上出售同49. 一产品，50. 其需求函数分别是，51. 其中和是市场售价万52. 元吨，53. 为销售量吨，54. 该企业生产该产品的总成本函数是若企业按价格差别策略，试确定两个市场上该产品的售量与价格，使利润最大；若实行无差别策略，试确定其两个市场上该产品的售量与统一价格, 使利润最大.( , (1) ;(2) )55. (021)设有一小山，56. 取其底面为坐标57. 面，58. 底部区域为, 小山高度函数为。(1) 设为区域上的一点，问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若此方向导数的最大值为，试写出的表达式。(2) 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡最大的点作攀登起点，即，要在的边界线上找出使(1)中的达到最大的点，试确定攀登点的位置。( (1); (2), )59. 园内接n边多边形中，60. 什么面积最大？( 等n边形 )61. 求函数在第一卦象内球面: 上的极大值; 并利其结果证明不62. 等式： 63. 在三角形内找一点，64. 使到三边距离的平方和最小。(设为三边之边长, 为所设点到三边之垂线长，为三角形之面积.(, )65. 底面三角形一定，66. 体积一定的三棱锥，67. 何时表面积最小。( 设为底面三角形三边之边长, 为顶点在底面之投影点到三边之垂线长，为底面三角形之面积, 三棱锥体积为, 为三棱锥之高.,)68. 证明光线投射在光滑曲面的反射定理。*end*十四 重积分及其应用(I) 二重积分定义与符号：积分和式的极限,设 =性质：被积函数有界性；可积性；对区域的可加 性；运算的单调性；估值与中值定理等。*end*计 算：(1) 在直角坐标系下的计算=(2) 在极坐标系下的计算=方法、技巧：坐标系的选择；积分次序的确定；域和函数的对称性的利用；对区域可加性的利用；几何、物理意义的利用.*end*本节课程内容：(续)十四 重积分及其应用1.将二重积分, , 化成累次积分。2.(92)计算()3.(88)计算.()4.(90)计算, ()5.计算, . ()6.计算, . ()7.(87)等于：(B); (B) ; (D) 8.(87)求由曲线所围成图形 的面积。()9.计算, . ()10.计算, .( 解：)11.(88)计算, .()12. (91) 计算. (A).(A) ;(B) (C) ;(D) 013.(021) ，其中：。14.(024) 己知：, , 且 , 求(。)15. 计算,. ()16, (00)计算, 围成.()17. (01)交换累次积分的积分次序。 ( = )18. (95)设, 且，求 ()19. (01)计算二重积分：,其中是由三直线: 及 围成的平面 区域。()20. (99) 计算,围成. ()21.计算. ()22. 交换累次积分的积分次序。23. 计算.()24. 计算,. ()25.(023,4) 求极限：.(原式= ).26. 设, , , 证明： .27. 若, 且是正的单调减函数，证明：28.证明：*end*本节课程内容：(续)十四 重积分及其应用II) 三重积分定义与符号：积分和式的极限,设 ,=性质：被积函数有界性；可积性；对区域的可加性；运算的单调性；估值与中值定理等。计算：(1) 在直角坐标系下的计算=(2) 在柱坐标系下的计算:, ,= (3) 在球坐标系下的计算, =方法、技巧：坐标系(直角、柱、