高考数学一轮复习专题10.3直线与圆的综合运用练习（含解析）.docx

第3讲 直线与圆的综合运用【套路秘籍】-千里之行始于足下(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式来讨论位置关系：0相交；0相切；0相离.【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一 直线与圆的位置关系【例1】（1）4圆(x-1)2+(y+2)2=6与直线2x+y-5=0的位置关系是（ ）A相切 B相交但直线不过圆心 C相交过圆心 D相离（2）在ABC中，若asin Absin Bcsin C0，则圆C：x2y21与直线l：axbyc0的位置关系是_（3）若直线3x4ym0与圆x2y22x4y40始终有公共点，则实数m的取值范围是_【答案】（1）B （2）相切 （3）0,10【解析】（1）由题意知圆心(1,-2)到直线2x+y-5=0的距离d=21-2-522+12=55，解得k940实数k的取值范围是940,+考向二 直线与圆的弦长【例2】（1）直线xy20与圆x2y24相交于A，B两点，则弦AB的长为_（2）已知直线mx+y-3=0与圆O:x2+y2=3交于A,B两点（O为坐标原点），且AB=3，则m=。【答案】（1）2 （2）3【解析】（1）圆x2y24的圆心为点(0,0)，半径r2，圆心到直线xy20的距离d1，弦长AB22.（2）因为直线mx+y-3=0与圆O:x2+y2=3交于A,B两点，且AB=3所以圆的半径为r=3 ，AB2=32由点到直线距离公式，可得圆心到直线的距离为d=-3m2+12=3m2+1 由垂径定理可得d2+AB22=r2代入可得9m2+1+34=3解方程可得m=3【套路总结】直线与圆弦长解题思路-垂定定理（1）把圆化成圆的标准方程找出圆心和半径r（2）利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离（3）利用弦长公式【举一反三】1圆C：x2+y2-2x=0被直线y=3x截得的线段长为（ ）A2B3C1D2【答案】C【解析】圆C：x2+y2-2x=0的圆心为(1,0)，半径为1圆心到直线y=3x的距离为d=|3|3+1=32，弦长为21-(32)2=1，故选C。2.圆C：x2+y2-2x=0被直线y=x截得的线段长为（ ）A2B3C1D2【答案】D【解析】因为圆C：x2+y2-2x=0的圆心为(1,0)，半径r=1；所以圆心(1,0)到直线y=x的距离为d=1-02=22，因此，弦长=2r2-d2=21-12=2.故选D3直线(m+1)x-my+3m+2=0被圆C:x2+y2=16所截的弦长的最小值为（ ）A25B6C211D8【答案】C【解析】直线(m+1)x-my+3m+2=0过定点M(-2,1)，当直线与CM垂直时弦长最短，圆的半径为4，圆心到定点M(-2,1)的距离为5，所以弦长的最小值为2r2-d2=216-5=211，故选:C.考向三切线问题【例3】已知圆C：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程(1)与直线l1：xy40平行；(2)与直线l2：x2y40垂直；(3)过切点A(4，1)【答案】见解析【解析】(1)设切线方程为xyb0，则，b12，切线方程为xy120.(2)设切线方程为2xym0，则，m5，切线方程为2xy50.(3)kAC，过切点A(4，1)的切线斜率为3，过切点A(4，1)的切线方程为y13(x4)，即3xy110.【举一反三】1. 已知P是直线3x4y80上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是_【答案】2【解析】如图，由题意知，圆x2y22x2y10的圆心是C(1,1)，半径为1，由PAPB易知，四边形PACB的面积为(PAPB)PA，故PA最小时，四边形PACB的面积最小由于PA，故PC最小时PA最小，此时CP垂直于直线3x4y80，P为垂足，PC3，PA2，所以四边形PACB面积的最小值是2.2已知圆的方程为x2+y2=1，则在y轴上截距为2的圆的切线方程为（ ）Ay=x+2By=-x+2Cy=x+2或y=-x+2Dx=1或y=x+2【答案】C【解析】在y轴上截距为2且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y=kx+2，则2k2+1=1，所以k=1，故所求切线方程为y=x+2或y=-x+2.3已知圆：x2+(y-1)2=2，则过点（1，2）作该圆的切线方程为（ ）Ax+4y-4=0B2x+y-5=0Cx=2Dx+y-3=0【答案】D【解析】根据题意，设圆：x2+(y-1)2=2的圆心为M，且M（0，1），点N（1，2），有12+(2-1)2=2，则点N在圆上，则过点N的切线有且只有1条；则kMN=2-12-0=1，则过点（1，2）作该圆的切线的斜率k=-1，切线的方程为y-2=-（x-1），变形可得x+y-3=0，故选：D考向四 圆上的点到直线距离最值【例4】圆x2y24x4y100上的点到直线xy80的最大距离与最小距离的差是_【答案】5【解析】圆的方程可化为(x2)2(y2)2(3)2，圆心到直线的距离为23，故直线与圆相交，最小距离为0，最大距离为325.综上可得，圆x2y24x4y100上的点到直线xy80的最大距离与最小距离的差是505.【套路总结】圆上的点到直接距离最值的解题思路（1）把圆化成圆的标准方程找出圆心和半径r（2）利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离（3）判断位置关系【举一反三】1设A为圆x2+y2-4x-4y-10=0上一动点，则A到直线x+y-14=0的最大距离为_【答案】82.【解析】A为圆x2+y2-4x-4y-10=0上一动点,将圆化简得到x-22+y-22=18，圆心为（2，2），点到直线的距离最大时，就是圆心到直线的距离再加上半径即可，根据点到直线的距离公式得到2+2-142=52,r=32,距离的最大值为32+52=82.故答案为：82.【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1“”是“直线与圆相切”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为直线与圆相切，所以.所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选：A2直线xcos+ysin=1与圆(x-1)2+(y-1)2=9的位置关系是（ ）A相离B相切C相交D不能确定【答案】C【解析】圆心到直线的距离d=|cos+sin-1|cos2+sin2=|2sin(+)-1|，圆的半径为3，0d2+13，即直线与圆相交，故选：C.3若直线y=33x+2与圆C:x2+y2=4相交于A,B两点，则线段AB中点的坐标为A(-32,32)B(-32,-32)C(32,32)D(32,-32)【答案】A【解析】根据题意，设AB的中点为M，圆C：x2+y24的圆心为O，（0，0），直线l：y=33x+2与圆C：x2+y24相交于A，B两点，则直线OM与直线AB垂直，则直线OM的方程为y=-3x，M为直线AB与直线OM的交点，则有y=-3xy=3x3+2，解可得：x=-32y=32，则M的坐标为（-32，32）；故选：A4直线与双曲线交于，两点，以为直径的圆的方程为，则（ ）A-3B3CD【答案】A【解析】设，由根据圆的方程可知，为的中点根据双曲线中点差法的结论由点斜式可得直线AB的方程为将直线AB方程与双曲线方程联立解得或，所以由圆的直径可解得故选A.5已知直线l:x-3y=0与圆C:x2+(y-1)2=1相交于O,A两点，O为坐标原点，则COA的面积为（ ）A34B32C3D23【答案】A【解析】由题意直线l，圆C均过原点，通过图形观察可知 COA为等腰三角形，且CO=CA=r=1，OCA=120，所以SCOA=12COCAsinOCA=121232=34.故选A.6已知圆C:(x-3)2+(y-1)2=3及直线l:ax+y-2a-2=0，当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为_.【答案】x-y=0【解析】由l：l:ax+y-2a-2=0得a（x-2）+y-2=0不论a取何值，直线l恒过点P（2,2）12+12=20，a4.17.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2y22，直线xby20与圆C相交于A，B两点，且|，则b的取值范围是_【答案】【解析】设AB中点为M，则|，即2OM 2AM，即OMOA.又直线xby20与圆C相交于A，B两点，所以OM，而OM，所以，解得1b2，即b的取值范围是.18已知圆C的方程为x2y21，直线l的方程为xy2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45的直线交l于点A，则PA的最小值为_【答案】2【解析】方法一由题意可知，直线PA与坐标轴平行或重合，不妨设直线PA与y轴平行或重合，设P(cos ，sin )，则A(cos ，2cos )，PA|2cos sin |，PA的最小值为2.方法二由题意可知圆心(0,0)到直线xy2的距离d，圆C上一点到直线xy2的距离的最小值为1.由题意可得PAmin(1)2.19. 已知直线l：kxy2k0，圆C：x2y22x2y20.(1)求证：无论k取何值，直线l与圆C都有两个交点；(2)若k1，求直线l被圆C截得的弦长；(3)是否存在实数k，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由【答案】见解析【解析】(1)证明直线l的方程可化为k(x2)y0，所以直线l过定点(2,0)由于2202222020，故点(2,0)在圆C内，所以直线l与圆C恒有两个交点(2)解当k1时，直线l的方程为xy20，圆C：x2y22x2y20的圆心C(1,1)，半径r2.圆心C到直线l的距离d，所以直线l被圆C截得的弦长为222.(3)解存在设A(x1，y1)，B(x2，y2)由kxy2k0与x2y22x2y20消元得(k21)x2(4k22k2)x4k24k20，x1,2，所以x1x2，x1x2.因为以线段AB为直径的圆过原点，所以x1x2y1y20，所以(k21)x1x22k2(x1x2)4k20，所以(k21)2k24k20，所以k1.20已知圆C：x2y22x4y10，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；(2)求满足条件PMPO的点P的轨迹方程【答案】见解析【解析】把圆C的方程化为标准方程为(x1)2(y2)24，圆心为C(1,2)，半径r2.(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x1，C到l的距离d2r，满足条件当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y3k(x1)，即kxy3k0，则2，解得k.l的方程为y3(x1)，即3x4y150.综上，满足条件的切线l的方程为x1或3x4y150.(2)设P(x，y)，则PM2PC2MC2(x1)2(y2)24，PO2x2y2，PMPO，(x1)2(y2)24x2y2，整理，得2x4y10，点P的轨迹方程为2x4y10.21已知直线l：4x3y100，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方(1)求圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】见解析【解析】(1)设圆心C(a,0)，则2，解得a0或a5(舍)所以圆C的方程为x2y24.(2)当直线ABx轴时，x轴平分ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k21)x22k2xk240，x1,2，所以x1x2，x1x2.若x轴平分ANB，则kANkBN，即0，则0，即2x1x2(t1)(x1x2)2t0，亦即2t0，解得t4，所以当点N坐标为(4,0)时，能使得ANMBNM总成立22已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4，直线l1过定点 A(1,0)（1）若l1与圆C相切，求l1的方程； （2）若l1的倾斜角为4，l1与圆C相交于P,Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；（3）若l1与圆C相交于P,Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时l1的直线方程【答案】（1）x=1或3x-4y-3=0；（2）y=x-1或y=7x-7【解析】(1)若直线l1的斜率不存在,则直线x=1,圆的圆心坐标(3,4),半径为2,符合题意若直线l1斜率存在,设直线l1为y=k(x-1),即kx-y-k=0.由题意知,圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2,即: |3k-4-k|k2+1=2,解之得k=34.所求直线方程是: x=1,或3x-4y-3=0. (2)直线l1方程为y=x-1，PQCM,CM方程为y-4=-(x-3),即x+y-7=0.y=x-1x+y-7=0,x=4y=3，M点坐标(4,3)(3)直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,设直线方程为kx-y-k=0,则圆心到直线l1的距离d=|2k-4|1+k2.又三角形CPQ面积S=12d24-d2=d4-d2=4d2-d4=-d2-22+4当d=2时, S取得最大值2，d=|2k-4|1+k2=2，k=1，或k=7.直线方程为y=x-1,或y=7x-7.23已知C：x2+y2+Dx+Ey-12=0关于直线x+2y-4=0对称，且圆心在y轴上.（1）求C的标准方程；（2）已经动点M在直线y=10上，过点M引C的两条切线MA、MB，切点分别为A,B.记四边形MACB的面积为S，求S的最小值；证明直线AB恒过定点.【答案】（1）x2+y-22=16（2）Smin=163 证明见解析【解析】（1）由题意知，圆心C-D2,-E2在直线x+2y-4=0上，即-D2-E-4=0，又因为圆心C在y轴上，所以-D2=0，由以上两式得：D=0，E=-4，所以x2+y2-4y-12=0.故C的标准方程为x2+y-22=16.（2）如图，C的圆心为0,2，半径r=4，因为MA、MB是C的两条切线，所以CAMA，CBMB，故MA=MB=MC2-r2=MC2-16又因为S=2SACM=4MA=4MC2-16，根据平面几何知识，要使S最小，只要MC最小即可.易知，当点M坐标为0,10时，MCmin=8.此时Smin=464-16=163.设点M的坐标为a,10，因为MAC=MBC=90，所以M、A、C、B四点共圆.其圆心为线段MC的中点Ca2,6，MC=a2+64，设MACB所在的圆为C，所以C的方程为：x-a22+y-62=16+a24，化简得：x2+y2-ax-12y+20=0，因为AB是C和C的公共弦，所以x2+y2-4y-12=0x2+y2-ax-12y+20=0，两式相减得ax+8y-32=0，故AB方程为：ax+8y-32=0，当x=0时，y=4，所以直线AB恒过定点0,4.24已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0.（1）若过点(1,1)的直线l被圆C截得的弦长为23，求直线l的方程； （2）已知点P（x，y)为圆上的点，求z=(x-2)2+(y+2)2的取值范围【答案】（1）y=1或4x+3y-7=0.（2）3Z7【解析】（1）圆C的方程可化为（x+1）2+y-22=4且23=24-d2d=1.；易知斜率不存在时不满足题意，设直线l:kx-y-k+1=02k+1k2+1=1k=0或k=-43 则直线的方程为y=1或4x+3y-7=0.（2）设Q(2，-2)，则PQ=x-22+（y+2)2Zmax=QC+2=7;Zmin=QC-2=33Z725如图，圆M:(x-2)2+y2=1，点P(-1,t)为直线l:x=-1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A、B（1）若t=1，求切线所在直线方程；（2）求AB的最小值；（3）若两条切线PA,PB与y轴分别交于S、T两点，求ST的最小值【答案】（1）y=1，3x+4y-1=0；（2）ABmin=423（3）22【解析】（1）由题意，切线斜率存在，可设切线方程为y-1=k(x+1)，即kx-y+k+1=0，则圆心M到切线的距离d=3k+1k2+1=1，解得k=0或-34，故所求切线方程为y=1，3x+4y-1=0；（2）连接PM,AB交于点N，设MPA=MAN=，则AB=2AMcos=2cos，在RtMAP中， sin=AMPM=1PM，PM3，(sin)max=13，(cos)min=223，ABmin=423；（3）设切线方程为y-t=k(x+1)，即kx-y+k+t=0，PA,PB的斜率为k1,k2，故圆心M到切线的距离d=3k-tk2+1=1，得8k2-6kt+t2-1=0，k1+k2=34t， k1k2=t2-18，在切线方程中令x=0可得y=k+t，故ST=(k1+t)-(k2+t)=k1-k2=(k1+k2)2-4k1k2=t2+84，STmin=22，此时t=0，故ST的最小值为2226已知圆C:x2+y2-2x-4y-12=0和点A3,0，直线l过点A与圆交于P,Q两点(1)若以PQ为直径的圆的面积最大，求直线l的方程；(2)若以PQ为直径的圆过原点，求直线l的方程【答案】（1）x+y-3=0；（2）y=x-3【解析】（1）圆C:x2+y2-2x-4y-12=0可化为圆C:(x-1)2+(y-2)2=17，则圆心为1,2以PQ为直径的圆的面积最大 直线l过圆心1,2直线l过A3,0直线l的方程为x+y-3=0（2）设直线l的斜率不存在时，