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自动控制原理 第八章 1 第八章习题解析 8 1 系统如图 8 17 所示 试分别绘制下列三种情况的变量e的相轨迹图及 te曲线 1 1 J 1 1 K 2 2 K 初始条件3 0 e 0 0 e 1 0 e 5 2 0 e 2 1 J 1 1 K 5 0 2 K 初始条件3 0 e 0 0 e 3 0 e 0 0 e 3 1 J 1 1 K 0 2 K 初始条件1 0 e 1 0 e 1 0 e 2 0 e 解 本题实质是讨论 2 K取值和初始状态对系统轨线的影响 2 2 1 1 sK sG 0 1 2 eeK 1 03 e e 57735 0 变量e的相轨迹图见图 8 18 1 sin tAte cos tAt e 3sin A 0cos57735 0 A 57 1 3 A 57 1577 0sin 3 tte 57 1577 0cos 732 1 tt e 1sin A 5 2cos57735 0 A 915 2 444 4 A 915 2577 0sin 444 4 tte 915 2577 0cos 566 2 tte 2 05 1 e e 8165 0 变量e的相轨迹图见图 8 18 2 sin tAte cos tAt e 3sin A 0cos8165 0 A 57 1 3 A 57 18165 0sin 3 tte 57 18165 0cos 449 2 tt e 3sin A 0cos8165 0 A 712 4 3 A 712 48165 0sin 3 tte 712 48165 0cos 449 2 tt e 3 0 e e 1 变量e的相轨迹图见图 8 18 3 sin tAte cos tAt e 1sin A 1cos A 7854 0 414 1 A 7854 0sin tte 7854 0cos tt e 0sin A 2cos A 0 2 A ttesin2 ttecos2 各小题的 te曲线都是正弦曲线 仅在幅值A 角频率 和初相角 不同 图 8 17 习题 8 1 非线性系统方框图 r 0 e c K1 J s2 K2 s2 1 e e 2 0 1 2 e e 3 0 3 3 0 1 2 5 e e 1 2 3 图 8 18 习题 7 1 相轨迹图 1 73 自动控制原理 第八章 2 8 2 已知一阶非线性系统方程为 3 xxx 试确定系统有几个平衡状态 分析各平衡状态的稳定性 并绘出系统的相轨迹 解 系统处在平衡状态时 满足 3 0 xx 它们是 0 0 0 1 0 1 根据平衡点邻域的线性近似表达式讨论平衡状态的稳定性 0 0 xx 相轨迹斜率小于零 该平衡点是稳定的 0 1 xx2 相轨迹斜率大于零 该平衡点是不稳定的 0 1 xx3 相轨迹斜率大于零 该平衡点是不稳定的 系统方程就是相轨迹方程 见图 8 19 8 3 试确定下列方程的奇点及其类型 并概略绘制它们的相平面图 1 0 xxx 2 0sign xxx 3 0sin x x 4 0 x x 5 212 211 2xxx xxx 解 1 x xx dx xd 奇点 0 0 0 x时 系统为0 xxx 极点为 15 5 0 15 5 0 奇点 0 0 为实鞍点 0 x时 系统为0 xxx 极点为866 05 0j 奇点 0 0 为实稳定焦点 2 x xx dx xd sign 奇点 0 0 0 x 时 01 x x sin 1 tAtx cos tAt x 2 0 2 0 1 xxA 00 1 arctan xx 相轨迹是以 0 1 为圆心的上半圆弧簇 0 x 时 01 x x sin 1 tAtx cos tAt x 2 0 2 0 1 xxA 00 1 arctan xx 相轨迹是以 0 1 为圆心的下半圆弧簇 相轨迹终止于x轴的 1 1 区间上 1 0 5 0 1 0 577 0 385 x x 图 8 19 习题 8 2 相轨迹图 x x 图 8 20 习题 8 3 1 相平面图 x x 1 图 8 81 习题 8 3 2 相平面 图 自动控制原理 第八章 3 3 x x dx xd sin 奇点 0 k 在奇点 0 12 i邻域内系统为0 x x 极点为1 奇点 0 12 i是鞍点 在奇点 0 2 i邻域内系统为0 x x 极点为j 奇点 0 2 i是中心点 4 x x dx xd 奇点 0 0 0 x时 系统为0 x x 极点为1 奇点 0 0 为鞍点 0 x时 系统为0 x x 极点为j 奇点 0 0 为中心点 5 系统改写为 02 111 xxx 02 222 xxx x xx dx xd 2 奇点 0 0 系统的两个极点为21 奇点 0 0 是鞍点 8 4 已知非线性系统的微分方程 1 0 5 03 2 xxxxx 2 0 xxxx 3 0 2 xxx 试求系统的奇点 并概略绘制奇点附近的相轨迹 解 1 x xxxx dx xd 2 5 03 奇点 0 0 和 0 1 0 0 邻域 05 0 xxx 极点为968 025 0j 奇点 0 0 是不稳定焦点 相轨迹图为离心螺旋线簇 0 1 邻域 05 0 xxx 极点为281 1和781 0 奇点 0 1 是鞍点 相轨迹图类似图 8 24 2 x xxx dx xd 奇点 0 0 邻域 0 x x 极点为j 奇点 0 0 是中心点 相轨迹图为同心圆蔟 3 x xx dx xd 2 奇点 0 0 邻域 0 x x 极点为j 奇点 0 0 是中心点 相轨迹图为同心圆蔟 8 5 非线性系统如图 8 25 所示 x x 2 3 4 0 图 8 22 习题 8 3 3 相平面图 x x 图 8 23 习题 8 3 4 相平面图 x x 图 8 24 习题 8 3 5 相平面图 r 4 e c 2 1 s 0 2 k u 图 8 25 非线性系统结构图 自动控制原理 第八章 4 系统初始状态为零 输入信号 14 ttr 试写出开关线方程 确定奇点的位置和类型 绘制相平面图 并分析系统的运动特点 解 由题意知相轨迹的起点4 0 e 0 0 e 非线性节 22 0 0 22 ee e ee u 0 2 2 0 0 2 2 ee Cee ee 开关线 2 e 区的奇点 0 2 是实中心点 区无奇点 区的奇点 0 2 也是实中心点 起点在 区 4 A 2 1 区的运动方程 sin 1 tAte cos 1 tAt e 2 1 e 4641 3 1 e 区的运动方程 1 ete 2 2 e 4641 3 2 e 1547 14641 3 4 2 T秒 区的运动方程 sin 2 tAte cos 2 tAt e 0944 23 2 3 T 系统运动为周期振荡 4982 6 2 32 TTT秒 8 6 变增益控制系统的结构及其非线性元件 N G的特性如图 8 27 所示 初始状态为零 输入信号 1 tRtr 且 0 xR KTkK 4 1 试绘制系统的相平面图 分 析变增益放大器对系统性能的影响 解 由题意得到14 KT 14 kKT 0 0 0 xee xeke xee u KuccT 区和 区的运动方程 0 KeeeT T KTj s 2 14 1 2 1 2 1 相轨迹是向心螺旋线 区的运动方程 0 kKeeeT T kKT s 2 41 1 2 1 2 1 相轨迹是抛物线 三个区的奇点都是 0 0 区和 区的是虚稳定焦点 区的是实稳定节点 满足题中条件的k值减小 系统的振荡次数 8 7 系统如图 8 28 所示 讨论系统在单位阶跃输入时的运动状态 解 1 0 e 0 0 e ce 及yccc 55 0 ecx 4 e 0 2 2 图 8 26 习题 8 5 相平面图 u e 1 k x0 x0 0 K s T s 1 N G u e r c 图 8 27 变增益控制系统及非线性元件 图 8 28 非线性系统结构图 y x r e c 1 0 5s 1 1 s 5 2 2 自动控制原理 第八章 5 02 02 x x y 区 0 e 0255 0 eee 4 0 3sin 11 teae t 3sin 3cos 3 111 tteae t 其中 4 0 4 0 3 arctan 1010 10 1 ee e 1 10 1 sin 4 0 e a 相轨迹方程 e ee de ed 4102 奇点 0 4 0 区 0 e 0255 0 eee 4 0 3sin 22 teae t 3sin 3cos 3 222 tteae t 其中 4 0 4 0 3 arctan 2020 20 2 ee e 2 20 2 sin 4 0 e a 相轨迹方程 e ee de ed 4102 奇点 0 4 0 相轨迹图是从初始状态1 0 e 0 0 e 开始绘制 无论初始状态如何 系统响应阶跃输入的相轨迹最终 进入极限环 极限环幅值为8325 0 周期为3 2 秒 8 8 系统如图 8 30 所示 讨论系统在单位速度输入时的运动状态 解 线性部分uc cre ce 1 ce 0 1 11 0 1 11 eee eee u edeede edeede 1 1 1 1 区 1010 2 5 0 etette 10 ette 得到 10 2 10 2 5 05 0eeee 这是顶点在e轴上位置不同 开口向右 形状相同的一簇抛物线 见图 8 31 中虚线所示轨迹 区 2020 2 5 0 etette 20 ette 得到 20 2 20 2 5 05 0eeee 这是顶点在e轴上位置不同 开口向左 形状相同的一簇抛物线 见图 8 31 中实线所示轨迹 记进出 区的速度变量依次为 s e1 e e1 易知 11se ee 相轨迹是发散的 系统不稳定 8 9 系统如图 8 32 所示 系统初始状态为零 1 ttr e e 0 1 0 83 0 83 0 8 9 图 8 29 习题 8 7 的极限环 图 8 31 习题 8 8 相轨迹图 e e 1 1 区 区 r e u c 1 s2 1 1 1 图 8 30 习题 8 8 系统结构图 自动控制原理 第八章 6 要求 1 绘制ee 平面的相轨迹图 2 系统是否稳定 若稳定 最大稳态误差是多少 3 绘出 te和 tc的时间响应大致波形 解 1 线性部分uccT 取25 0 M 1 T作图 1 0 1 0 0 1 0 eM e eM u 0 0 0 MeeT eeT MeeT 区 相轨迹 eT Me de ed 等倾线 T M e 1 渐近线 Me MeMete Tt 10 010 10 eMeTtMeMeTte Tt 区 1 de e d Tt eete 20 2020 20 eeTeeTte Tt 区 相轨迹 eT Me de ed 等倾线 T M e 1 渐近线 Me MeMete Tt 30 3030 30 eMeTtMeMeTte Tt 相轨迹图是采用等倾线法绘制的 2 由相平面分析得到 该系统响应阶跃输入相轨迹终止于e轴的 1 0 1 0 区间上 系统稳定最大误 差的绝对值等于 0 1 3 te和 tc的时间响应波形 可根据各区的运动方程逐段绘制 大致为欠阻尼二阶系统阶跃响应波形 过渡过程在有限时间内结束 稳态误差较大 例如 当25 0 M 1 T是时 运动过程如下 区 1 0 e 0 0 e 25 125 025 0 tete t 58985 4 1 T秒 区 1 0 1 e 24746 0 1 e 14746 024746 0 t ete 65136 1 2 T秒 区 1 0 2 e 04746 0 2 e 39476 025 029476 0 tete t 35833 0 3 T秒 区 1 0 3 e 04212 0 3 e 05788 004212 0 t ete 终止于 0 05788 0 过渡过程时间 6 6 321 TTTT秒 8 10 系统如图 8 34 所示 试分析下列各情况的运动状态 1 0 d T 2 5 0 d T 说明 d T的作用 3 2 d T 并考虑实际继电器具有滞环作用 解 1 ttr ce 1 ce ce uc ue 1 01 01 e e u 2020 2 20 1010 2 10 5 0 1 5 0 1 etetteettee etetteettee 0 0 1 0 1 0 2 0 25 e e 区 区 图 8 33 习题 8 9 相轨迹图 图 8 34 习题 8 10 系统结构图 r e u c 1 s2 sTd 1 1 1 r e u c 1 1 Tss 5 M 0 5 图 8 32 习题 8 9 系统结构图 自动控制原理 第八章 7 区 10 2 10 2 5 05 0eeee 区 20 2 20 2 5 05 0eeee 相轨迹均为抛物线 系统存在持续振荡 振幅A和周期T为 5 0 2 1010 eeA 或 5 0 2 2020 eeA 10 2 10 24eeT 或 20 2 20 24eeT 2 05 01 05 01 ee ee u 运动方程 相轨迹簇与0 d T相同 只是开关线为05 0 ee 3 021 021 ee ee u 运动方程 相轨迹簇与0 d T相同 只是开关线为02 ee 结论 只要0 d T 就能消除稳态误差 理想开关线由两区过原点的抛物线组成见相平面图 采 用理想开关线时系统无振荡 且过渡过程时间最短 采用直线形开关线 可能会有振荡 但相轨迹末段沿开关 线趋于原点 若考虑实际继电器的滞环作用 参见图 8 36 所示的相轨迹图 图中的极限环 是从起点 0 h开始 沿 抛物线到达下方的开关线 再沿开关线到达 0 h 点 接着沿抛物线 到达上方的开关线 最后沿开关线返 回到 0 h点 其振幅由滞环宽度确定 4 0 2 21 0 2 21 eheehee eheehee u 20 2 20 2 2020 2 20 10 2 10 2 1010 2 10 5 05 05 0 1 5 05 05 0 1 eeeeetetteettee eeeeetetteettee 8 11 系统如图 8 37 所示 且2 0 e 0 0 e 8 K 要求 1 0 t K时 绘制系统的相轨迹 2 5 0 t K时 绘制系统的相轨迹 并说明测速反馈的作用 h 图 8 35 习题 8 10 无滞环相平面分析 2 开关线 e e 1 开关线 3 开关线 理想开关线 图 8 36 习题 8 10 含滞环相平面分析 4 开关线 h e e 图 8 37 习题 8 11 系统结构图 r 0 e u c 1 s 0 5s 1 0 5 K Kts 自动控制原理 第八章 8 解 ce ce ce ucc 5 0 022 uee 1 0 t K 5 04 5 0 8 5 04 e ee e u 区5 0 e 082 ee 4 4 2 10 t eee 1010 2 10 25 04 4 5 0eeteee t 相轨迹方程 e e de ed 82 等倾线 2 8 e 渐近线 4 e 无奇点 区5 0 e 0162 eee 有实稳定焦点 0 0 15sin tAee t 其中 15 2 2020 2 20 eeeA arcsin 20 Ae 区5 0 e 082 ee 4 4 2 30 t eee 3030 2 30 25 04 4 5 0eeteee t 相轨迹方程 e e de ed 82 等倾线 2 8 e 渐近线 4 e 无奇点 分析 区和 区的相轨迹必然进入 区 且 区具有实稳定焦点 0 0 相轨迹终止于原点 2 5 0 t K 5 05 04 5 0 5 0 5 0 8 5 05 04 ee eeee ee u 01610 eee 有实稳定节点 0 0 tt BeAee 82 tt BeAee 82 82 其中 6 8 2020 eeA 6 2 2020 eeB 在 区两条渐近线为ee 2 和ee 8 区和 区的运动轨迹与情况 1 完全一样 只是开关线的斜率不同 当0 t K时 增加了在 区运动的阻尼系数 避免了系统阶跃输入响应的超调和减小过渡过程时间 8 12 设三个非线性系统的非线性环节一样 其线性部分分别为 1 11 0 1 1 ss sG 2 1 2 2 ss sG 3 11 0 1 15 1 2 sss s sG 用描述函数法分析时 哪个系统分析的准确度高 该题误导错误概念 解 用描述函数法分析非线性系统时 影响分析准确度的主要因素是 描述函数能否准确描述非线性环节 例如 非线性环节是饱和特性或变增益特性时 分析三个非线性系统的稳定性和自振荡问题 结果都是精确的 可用分区线性分析结果作为标准 设系统的非线性特性为滞环继电特性及线性部分为 sG 0 0 eheheM eheheM u 1 Tss K sG 相平面法 分区线性 分析 极限环满足 r rr eKM eKM KMT eTh 2 22 ln 2 式中 r e2 是极限环进入 区入口点 2r e h 的值 在 区的运动方程为 KMeKMete Tt r 2 e e 0 5 0 5 2 图 8 38 习题 8 11 1 相轨迹 e e 0 5 0 5 2 图 8 39 习题 8 11 2 相轨迹 自动控制原理 第八章 9 tKMTeKMeTKMehte Tt rr 22 计算极限环的振幅和周期 因只能数值解 取1 M 1 0 h 幅值为 KM eKM KMTeThe r r 2 2max ln 周期为 r r eKM eKM TT 2 2 0 ln2 描述函数法分析 同样取1 M 1 0 h 计算自振荡的频率和振幅 2 22 2 44 A Mh jhA A M AN jT K jG 2 01 0 4 2 2 2 x x x A AK T 2 4 01 x x AK 因题中 1 和 2 的 sG仅参数K T的数值不同 下表给出比较结果 序号 K T 幅度 0 T秒 0 T max e 1 1 0 1 9612 0 2 r e 1288 0 max e 7846 0 81 1 24 01 8659 7 x 1272 0 x A 7988 0 2 1 1 6118 0 2 r e 1925 2 x 2344 0 max e 8472 2 65 0 82 02 2410 0 x A 8657 2 3 1 10 3047 0 2 r e 4873 0 max e 5887 12 51 0 92 03 4966 0 x 5064 0 x A 6524 12 4 10 0 1 1183 6 2 r e 2345 0 max e 2847 0 67 0 77 02 925 21 x 2410 0 x A 2866 0 5 10 1 0500 3 2 r e 4880 0 max e 2601 1 44 0 77 03 9654 4 x 5064 0 x A 2656 1 6 10 10 4363 1 2 r e 0423 1 max e 7852 5 49 0 14 04 0807 1 x 0854 1 x A 8136 5 对照分区线性分析结果 描述函数法在计算极限环的振荡频率上有较高的计算精度 在计算振幅上存 在误差 即使在非线性特性指定为滞环继电特性条件下 也不能找出分析精度与线性部分参数K和T之 间的普遍关系 8 13 试推导下列非线性特性的描述函数 1 变增益特性 2 死区继电特性 3 3 xy 解 1 arcsin sin0 2 1 AsAxsxk sAsxxk y sA y是奇函数 只计算 1 B 2 2 2 0 2 11 sinsin 4 dkdkAB 2 2 2 1 1 2 arcsin 2 1 4 1 2 arcsin 2 14 A s A s A s k A s A s A s kA 自动控制原理 第八章 10 221 2 1arcsin 2 A s A s A s A kk Ak 221 2 1arcsin 2 A s A s A skk kAN 2 arcsin sin00 AsAxsM sAsx y sA y是奇函数 只计算 1 B 2 2 2 1 1 4 cos 4 sin 4 A sMM d M B 2 1 4 A s A M AN 3 y是奇函数 只计算 1 B 2 3 2 0 3 2 0 333 1 3 8 cos 3 1 cos 4 sin 4 AAdAB 2 3 8 AAN 8 14 将图 8 40 所示非线性系统简化成典型结构图形式 写出线性部分的传递函数 解 111 sHsGsGsG 1 111 1 sGsGsHsG 8 15 根据已知的非线性特性描述函数求取图 8 42 所示非线性特性的描述函数 解 a 该非线性特性是死区特性 1 AN和死区继电特性 2 AN的并联组合 1arcsin 2 2 2 1 A a A a A ak AN 2 2 1 4 A a A ka AN 21 ANANAN 1arcsin 2 2 2 A a A a A ak AN b 该非线性特性是两个死区宽度不同的死区继电特性 1 AN和 2 AN的并联组合 a b 图 8 40 习题 8 14 系统结构图 r 0 e u c N A G1 s H1 s r 0 c u e G1 s N A H1 s a b 图 8 41 习题 8 14 典型结构图 c r 0 e u e N A G1 s 1 H1 s G1 s e u c H1 s G1 s 1 G1 s N A y x a a k y x a b M 2M x z y s x y k x y M h a b c 图 8 42 习题 8 15 非线性特性 自动控制原理 第八章 11 2 1 1 4 A a A M AN 2 2 1 8 A b A M AN 12 1 4 22 A b A a A M AN c 该串联非线性等效为死区宽度为khs 的死区继电特性 2 1 4 kA hsk A M AN 8 16 某单位负反馈系统 其前向通路有非线性元件AeAN j 4 线性部分的传递函数为 15 0 15 ss sG 试用描述函数法确定系统是否存在自振荡 若有 参数是多少 解 负倒描述函数 4 34 1 jj AeAe AN 是一条直线A 0 4 3 1 N 计算线性部分的频率特性 jG与上述直线的交点 4 3 5 0arctan 2 jG srad x 2 3033 5 2 jGAx 有交点 当振幅小于 x A时 处于 jG曲线包围中 不稳定 振幅要增大 振幅大于 x A时 振幅要减小 在交点处有自振荡 tte2sin3033 5 8 17 已知非线性系统如图 8 43 所示 非线性环节的描述函数为 2 6 A A AN 0 A 试用描述函数法确定 1 求使系统稳定且无持续振荡的K值范围 2 判断周期运动稳定性 计算其参数 解 负倒描述函数 6 4 1 1 AAN 对应关系 3 1 0 1 N 1 1 N 负倒描述函数曲线是负实轴上的线段 3 1 1 计算线性部分频率特性与负实轴的交点 180arctan290 jG srad x 1 2 KjG x 1 3 1 x jG 3 2 K时 该系统稳定且无持续震荡 当23 2 K时 系统存在自 振荡 2 K时 系统不稳定 2 稳定周期运动时 1 x jGAN 2 46 KKKA tKAtesin 8 18 已知非线性系统如图 8 44 所示 试用描述函数法分析周期运动的稳定性 并计算输出信号 的振幅和频率 解 非线性环节的描述函数和 jG分别为 r 0 e u c 2 s s 1 0 0 2 1 5 图 8 44 习题 8 18 非线性系统结构图 r 0 e u c N A K s s 1 2 图 8 43 习题 8 17 非线性系统结构图 自动控制原理 第八章 12 22 16 00016 0 1 4 A j AA AN 5 05 0 1 2 j jG 根据 1 ANjG 对应实部相等 虚部相等 求出交点 2 16 0 5 0 A 22 2 2 04 0 4 5 0 A A 解得1629 0 x A srad x 838 3 因负倒描述函数的幅度随A增大而增大 线性部分是最小相位系统 交点处为自振荡 tte838 3sin1629 0 8 19 试用描述函数法说明图 8 45 所示系统必然存在自振荡 并确定c的振幅和频率 画出c x 和y的稳态波形 解 A AN 4 4