函数的单调性与导数

1 一般地 对于给定区间D上的函数f x 若对于属于区间D的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 有 问题 函数单调性的定义怎样描述的 1 若f x1 f x2 那么f x 在这个区间上是增函数 2 若f x1 f x2 那么f x 在这个区间上是减函数 2 作差f x1 f x2 作商 2 用定义证明函数的单调性的一般步骤 1 任取x1 x2 D 且x1 x2 4 定号 判断差f x1 f x2 的正负 与0比较 3 变形 因式分解 配方 通分 提取公因式 5 结论 思考 那么如何求出下列函数的单调性呢 1 f x 2x3 6x2 7 2 f x ex x 1 3 f x sinx x 发现问题 用单调性定义讨论函数单调性虽然可行 但十分麻烦 尤其是在不知道函数图象时 例如 2x3 6x2 7 是否有更为简捷的方法呢 1 3 1函数的单调性与导数 高二数学选修2 2第一章导数及其应用 2 观察函数y x2 4x 3的图象 总结 该函数在区间 2 上单减 切线斜率小于0 即其导数为负 而当x 2时其切线斜率为0 即导数为0 函数在该点单调性发生改变 在区间 2 上单增 切线斜率大于0 即其导数为正 x y O x y O x y O y x y x2 观察下面一些函数的图象 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系 结论 在某个区间 a b 内 如果 那么函数在这个区间内单调递增 如果 那么函数在这个区间内单调递减 如果在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常数函数 结论 一般地 设函数y f x 在某个区间内可导 则函数在该区间 注意 如果在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常数函数 如果f x 0 则f x 为增函数 则f x 为减函数 如果f x 0 函数单调性与导数正负的关系 例1 求函数f x 2x3 6x2 7的单调区间 f x 的单增区间为 0 和 2 f x 的单减区间 0 2 说明 当x 0或2时 f x 0 即函数在该点单调性发生改变 题型一 求函数的单调性 单调区间 变式1 求函数的单调区间 解 变式2 求函数的单调递减区间 注意 考虑定义域 小结 根据导数确定函数的单调性步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求出函数的导数 3 解不等式f x 0 得函数单增区间 解不等式f x 0 得函数单减区间 练习 求下列函数的单调区间 增区间为 0 减区间为 0 注意 考虑定义域 题型一 求函数的单调性 单调区间 增区间为 减区间为 增区间为 1 1 减区间为 1 1 增区间为 减区间为 题型二 应用导数信息确定函数大致图象 已知导函数的下列信息 试画出函数图象的大致形状 分析 题型二 应用导数信息确定函数大致图象 已知导函数的下列信息 试画出函数图象的大致形状 分析 解 的大致形状如右图 题型二 应用导数信息确定函数大致图象 A B C D C 04浙江理工类 高 考 试 尝 设是函数的导函数 的图象如右图所示 则的图象最有可能的是 高 考 试 04年全国理 B 尝 例3如图 水以常速 即单位时间内注入水的体积相同 注入下面四种底面积相同的容器中 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象 A B C D h t O h t O h t O h t O 一般地 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大 那么函数在这个范围内变化得快 这时 函数的图象就比较 陡峭 向上或向下 反之 函数的图象就 平缓 一些 如图 函数在或内的图象 陡峭 在或内的图象 平缓 通过函数图像 不仅可以看出函数的增或减 还可以看出其变化的快慢 结合图像 从导数的角度解释变化快慢的情况 练习 函数的图象如图所示 试画出导函数图象的大致形状 O a b c x y 一般地 设函数y f x 在某个区间内可导 则函数在该区间 如果f x 0 则f x 为增函数 则f x 为减函数 如果f x 0 小结 1 函数单调性与导数正负的关系 2 根据导数确定函数的单调性步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求出函数的导数 3 解不等式f x 0 得函数单增区间 解不等式f x 0 得函数单减区间 题型三 根据函数的单调性求参数的取值范围 思考 题型三 根据函数的单调性求参数的取值范围 函数在 0 1 上单调递增 注 在某个区间上 f x 在这个区间上单调递增 递减 但由f x 在这个区间上单调递增 递减 而仅仅得到是不够的 还有可能导数等于0也能使f x 在这个区间上单调 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证 本题用到一个重要的转化 函数单调性与导数的关系 1 如果在区间 a b 内f x 0 f x 0 那么函数f x 在 a b 内为增函数 减函数 2 如果函数f x 在 a b 内为增函数 减函数 那么f x 0 f x 0 在区间 a b 内恒成立 练习1 已知函数f x ax 3x x 1在R上是减函数 求a的取值范围 解 f x ax 3x x 1在R上是减函数 f x 3ax2 6x 1 0在R上恒成立 a 0且 36 12a 0 a 3 例3 方程根的问题求证 方程只有一个根 练习 4 求证 函数在内是减函数 解 由 解得 所以函数的递减区间是 即函数在内是减函数