武汉理工线性代数课件第三章.doc

第三章第三章 线性方程组 本章包含两个内容：向量和线性方程组.研究线性方程组的解是线性代数的最主要的任务，用矩阵方法来讨论线性方程组的解的情形和求解线性方程组，用向量表示线性方程组的解和表达解之间的关系.3.1线性方程组1 线性方程组定义3.1 由m个方程n个未知量组成的线性方程组的一般形式：矩阵形式是：其中矩阵，b =, x =分别称为系数矩阵，常数项矩阵和未知量矩阵，称为增广矩阵，满足线性方程组的有序数组称为线性方程组的解，线性方程组的全部解组成解集，求解的过程称为解线性方程组.对方程进行适当变化而解不变，叫做同解变换.显然，下列三种变换是同解变换：(1) 交换两个方程的位置；(2) 用一个非零数同乘某个方程的两边；(3) 把一个方程乘以某个数加到另一个方程上.2 线性方程组的消元解法线性方程组的消元解法就是利用上述的三种同解变换，逐步消去未知量化为一元一次方程，得到这个方程中的未知量的解，再逐步回代得出其它未知量的解。也就是两个过程：消元和回代。观察下面的例子，体会同解变换和消元法： （1）先把第1个方程的（-1），（-2）倍分别加到第2，3个方程上去，消去： （2）把第3个方程两边同乘（-1/3）并且和第2个方程换位置： （3）再把第2个方程的2倍加到第3个方程上去，消去： （4）在中学时，我们一般从第3个方程得到回代到第2个方程得到，再把和回代到第1个方程中，得到。现在我们把第3个方程乘（1/3），再将其（-1）倍加到第1，2个方程上去， （5）然后把第2个方程的（-1）倍加到第1个方程上去，得到 （6）以上的解法中，方程组（1）变化到（4）的过程是消元，后面2个步骤是回代。无论是消元还是回代，都只是未知量的系数和常数项参与了运算，未知量本身并未改变；而且对方程组所作的三种同解变换对应矩阵的三种行初等变换。因此解线性方程组相当于增广矩阵的行初等变换。通过对消元法解线性方程组的观察和分析（可以写出每个过程对应的矩阵），我们必须建立以下的观念： 线性方程组和增广矩阵一一对应，矩阵的每一行相当于一个方程； 在变换的过程中，所有的矩阵都是等价的，每一个矩阵都对应一个线性方程组，这些方程组都是同解方程组（也可以叫做等价方程组）！ 消元：通过初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵； 回代：通过初等行变换把阶梯形矩阵化为行最简形矩阵； 解线性方程组只能用初等行变换，不可以用列变换！ 对增广矩阵作行初等变换，可以化为矩阵：观察到方程组无解；方程组有解。并且，即；进一步地分析，当时，方程组有唯一解；当时，方程组含有个自由未知量，可以任意取值，方程组的解有无穷多个。因此我们得到下面的定理。 定理3.1 非齐次线性方程组有解的充分必要条件是，并且时有唯一解，时有无穷多解。定理3.2 齐次线性方程组0有非零解的充分必要条件是 ，0仅有零解的充分必要条件是.推论1 当时，齐次线性方程组0有非零解.这是因为当时，齐次线性方程组0的系数矩阵的秩一定小于n.推论2 当时，齐次线性方程组0有非零解的充要条件是；仅有零解的充要条件是。要清楚以上定理中的n是未知量的个数，m是方程的个数。但是判断解的情形总是根据矩阵的秩而不是方程的个数或未知量的个数。3 线性方程组的消元解法步骤解非齐次线性方程组的步骤：(1) 写出对应的增广矩阵；(2) 对增广矩阵作初等行变换，化为阶梯形矩阵.观察?若不相等，得出无解的结论，若相等就进行下一步；(3) 继续初等行变换把矩阵化为行最简形，时可直接写出它的唯一解，时，进行下一步；(4) 根据行最简形写出等价方程组，令其中的个自由未知量（非首元所在列）为任意常数：，并把其它未知量（首元所在列）用表示.增广矩阵对应原始方程组，阶梯形矩阵用于判断线性方程组有没有解和有多少解，行最简形矩阵用于求解.原始方程组rr行最简形矩阵求出方程组的解阶梯形矩阵判断有无解有解解齐次线性方程组0的步骤：(1) 写出0对应的系数矩阵；(2) 对系数矩阵作初等行变换，化为阶梯形矩阵.观察?若，得出仅有零解的结论，若进行下一步；(3) 继续初等行变换把矩阵化为行最简形，写出等价方程组，令其中的个自由未知量（非首元所在列）为任意常数：，并把其它未知量（首元所在列）用表示.无论非齐次还是齐次线性方程，判断解的情形只需化为阶梯形矩阵，而求解必须化为行最简形矩阵.例3.1 解下面的线性方程组解 对线性方程组的增广矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵： 得到，表明秩不相等，所以方程组无解.例3.2 解线性方程组解 对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵： 发现，说明有唯一解，因此继续初等行变换，化为行最简形矩阵： 得到解：例3. 3 k为何值时，下面的齐次线性方程组有非零解？求最小k值时方程组的通解.解 对方程组的系数矩阵作初等行变换，化为阶梯形矩阵.为了计算的方便，令， 令，得或，即时，齐次线性方程组有非零解.当时， ,等价方程组：令自由未知量，为任意常数，得到全部解：如果方程组的系数或常数项中含有未知参数，在对矩阵作初等行变换时，要注意运算的可行性.在本例中，如果不先换行，而作变换：使(2,1)元化为零，是不可以的，因为不能确定是否.如果是倍乘变换，倍乘数也不能为零.对含参数的矩阵作初等行变换，有时计算比较难，如果方程的个数和未知量的个数相同时，可以用行列式是否为零来判断解的情形和确定未知参数的值（克莱姆法则），再用矩阵的初等行变换（消元法）求出解.本例可以采用这种克莱姆法则和消元法结合的方式：令 （记）得或，即；当时， 得到方程组的解：3.2 向量及其运算1 向量的定义定义3.2 个有序的数组成的数组称为维向量 ，n称为向量的维数，这个数称为该向量的个分量，第个数是第个分量，每个分量都是实数的向量称为实向量，分量中有复数的向量称为复向量.本课程仅讨论实向量.向量可以写成一列或写成一行，分别称为列向量或行向量，记作：或 一个行向量的转置是一个列向量，一个列向量的转置是一个行向量.一个列（行）向量可以看成一个列（行）矩阵.对于向量，我们有以下的说明：() 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；() 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；() 当没有明确指明是行向量还是列向量时，都当作列向量.定义3.3 每个分量都是零的向量称为零向量，记作0；将向量的每个分量变成相反数得到的向量称为的负向量，记作.有不同维数的零向量.定义3.4 若干个维数相同的向量组成的集合称为向量组.线性方程组的一个解是一个向量，称为解向量，解的集合称为解向量组.向量组：称为初始单位向量组，有不同维数的初始单位向量组.2 向量的线性运算定义3.5 当且仅当两个向量的维数相同且对应的分量相等时称这两个向量相等，记作：.即：若有，那么下面我们定义向量的加法和数乘运算，暂时不作向量的乘法运算.(1) 加法 设有两个n维向量：与，称向量为与和，记作：，即：(2) 数乘设有n维向量和数k，称向量为数与向量的乘积，记作，即: 根据负向量和数乘运算的定义，我们得到向量的减法：行向量的线性运算类似上述列向量的运算.定义3.6 向量的加法和数乘运算统称为线性运算.既然向量可以看成列矩阵或行矩阵，那么向量的线性运算与矩阵的加法和数乘运算完全相同，也就具有相同的算律，这里不再重复.3 向量与矩阵、方程组的关系一个矩阵的每一行元素可以构成一个向量，得到m个n维的行向量，称为矩阵的行向量组.每一列元素可以构成一个向量，得到n个m维的列向量，称为矩阵的列向量组.用分块矩阵的观点看，矩阵以列向量为子块：，也可以以行向量为子块.如果矩阵是n阶方阵，那么它的行列式可以写成.线性方程组它的每个未知量的系数组成一个列向量，得到n个m维列向量，常数项也组成一个m维列向量，用向量的线性运算表示为： 那么齐次线性方程组可表示为0在方程组中是未知量的系数，而在向量的运算中，可以把看成是向量的系数.这在向量关系的讨论中很重要.例3.4 已知向量，求一个向量使得成立.解 先将所求向量用向量表示出来，再作向量的线性运算.由于所以例3.5已知向量，且0.求：的值.解 0根据向量相等的定义3.3 向量组的线性相关性1 线性组合 线性组合研究一个向量与一个向量组的关系.定义3.7 对于给定的向量组和向量，如果存在一组数使得 (3.3.1)成立，那么称向量是向量组的一个线性组合，或者说向量可以由向量组线性表示，数称为组合系数。等式表达了向量组和向量以及一组数之间的关系。一般有两类问题：(1) 已知和一组数，求向量.(2) 已知和向量，求一组数.前一个是向量的线性运算问题，后一个是求线性组合的系数问题.如何求组合系数呢？可以认为(3.3.1)式是一个线性方程组，它以为未知量， 为系数，为常数项，显然线性方程组的解就是组合系数。因此有定理3.3 向量是向量组的一个线性组合的充分必要条件是以为列向量的矩阵的秩和以为列向量的矩阵的秩相等，即：判断向量是否是向量组的一个线性组合并求出组合系数，和判断线性方程组是否有解及求解的步骤相同.如果方程组有唯一解，表示法唯一；如果方程组有无穷多解，则表示法不唯一。注意：求组合系数时，应把所有的向量写成列向量组成矩阵，并且作初等行变换，不可以作列变换！定义3.8 设有两个向量组：(A) ，(B) ，如果(A)组的每个向量都可以由 (B) 组线性表示，称(A)可由 (B)线性表示；如果(A)与(B)可以互相表示，则称向量组(A)与向量组(B)等价.等价向量组的性质： 自反性：每个向量组与自身等价； 对称性：若向量组(A)与向量组(B)等价，则(B)与(A)等价； 传递性：若向量组(A)与(B)等价，且向量组(B)与(C)等价，则向量组(A)与(C)等价.设向量组(A)可由向量组(B)线性表示，那么存在使得即：存在矩阵使得其中，。称为向量组(A)由向量组(B)线性表示的系数矩阵。更简单地说，矩阵方程有解，那么向量组A由向量组B线性表示，其解X为表示矩阵。例3.6 问向量能否由向量组：线性表示？若能，写出其表示式。解 可由向量组线性表示，且有。2 线性相关与线性无关线性相关和线性无关研究一个向量组与零向量的关系.定义3.9 对于给定的向量组，如果存在一组不全为零的数使得0 (3.3.2)成立，称向量组线性相关；如果当且仅当时(3.3.2)式成立，那么称线性无关.对于给定的向量组，如何判断是否有一组不全为零的数使0 呢？如何求出这组数呢？可以将(3.3.2)式看成一个齐次线性方程组，它以为未知量，为系数，那么就变成了讨论齐次线性方程组是否有非零解.因此得到下面的定理：定理3.4 向量组线性相关的充分必要条件是，线性无关的充分必要条件是.推论1 n个n维向量线性相关的充分必要条件是，线性无关的充分必要条件是.推论2 个n维向量一定线性相关，即向量组中所含向量个数大于维数时必定线性相关.根据上面的讨论，n个m维向量组成的向量组：当时，一定线性相关；当时，可用行列式是否为零判断其线性相关性；无论n和m哪个大，都可以用初等变换求秩来判断是否线性相关，与判断齐次线性方程组是否有非零解的步骤相同.求线性关系式的一组系数，就是要求出相应的齐次线性方程组的任一组非零解。下面是一些关于线性组合和线性相关的简单有用的结论： 一个零向量线性相关，一个非零向量线性无关； 含有零向量的向量组线性相关； 两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例； 初始单位向量组线性无关； 任何向量可由初始单位组线性表示； 零向量是任何向量组的线性组合； 向量组中的任何一个向量可以由该向量组线性表示.定义3.10 由向量组中的一部分向量组成的新向量组称为原向量组的部分组.定理3.5 一个向量组线性无关，则它的任何部分组线性无关；如果向量组的一个部分组线性相关，则原向量组线性相关.例3.7 证明：两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例.证明必要性：设向量和线性相关，即存在不全为零的数，使得=0不妨设，那么由=0，即有成立，即对应分量比例.充分性：如果对应分量比例成比例，就是存在数使得即 0记，那么存在不全为零的数使得0即线性相关。例3.8 设向量组线性无关，证明：向量组线性相关.证明 证明向量线性相关，一般用定义或用矩阵的秩，也有用其它相关定理的。下面我们给出两种常用方法的证明过程，希望同学们掌握.(一) 用定义证明设有数使得0即0由于线性无关，根据线性无关的定义上式成立的条件是其系数行列式，根据克莱姆法则，这个齐次线性方程组有非零解，即存在不全为零的数使得0根据线性相关的定义，向量组线性相关。(二) 用矩阵的秩证明对向量组组成的矩阵作初等变换那么，所以，向量组线性相关.例3.9 设有向量组（A）：，向量组（B）：，问向量组（A）是否线性相关？向量组（B）能否用向量组（A）线性表示？表示式是什么？解 对向量组（A）和（B）组成的矩阵进行初等行变换： 由此可知：，向量组（A）：线性无关；，所以可以由向量组（A）：线性表示，表示式为；而，所以不能由向量组（A）：线性表示.因此，向量组（B）不能用向量组（A）线性表示.例3.10 为何值时，向量组(1) 线性无关；(2) 线性相关，并且求出线性关系式.解 对给出的向量组成的矩阵进行初等行变换： (1) 显然，时，有一个三阶子式所以，即，那么线性无关；(2) 而时， ，即，此时线性相关.对矩阵作初等行变换，化为行最简形： 得到线性关系式：.3 线性组合与线性相关有关定理定理3.6 向量组线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量是其余n-1个向量的线性组合.定理3.7 如果向量组线性无关，添加一个向量后线性相关，那么可由线性表示，且表示式唯一.定理3.8 如果向量组(A)可由向量组(B)线性表示，且，那么向量组(A)线性相关.推论1 如果向量组(A)可由向量组(B)线性表示，且向量组(A)线性无关，那么.此推论即是上面定理的逆否命题.推论2 如果两个向量组(A)与(B)可以互相表示，且向量组(A)和(B)都线性无关，那么.即两个线性无关的等价向量组所含向量个数相同.定理3.9 矩阵经过初等行变换化为，那么矩阵与的行向量组等价；对应位置的列向量（部分）组具有相同的线性相关性.也就是矩阵与的行向量组可以互相表示；而在与中取相同列的向量，中的几个向量与中（相同位置）的几个向量，要么都线性相关，要么都线性无关.为下一节求最大无关组和求表示式提供了依据.定义3.11 在m维向量组(A)的每个向量后面（或者前面）添加k个分量，得到m+k维的向量组(A)，称(A)是(A)的加长向量组.定理3.10 如果向量组线性无关那么其加长向量组也线性无关，如果加长向量组线性相关那么原向量组也线性相关.3.4 向量组的秩和最大线性无关组1最大无关组最大无关组研究的问题是：一个向量组中有没有一部分向量是线性无关的？最多有多少个向量是线性无关的？定义3.12 设是向量组中的个向量，如果(1) 线性无关；(2) 可由线性表示.那么称是向量组的一个最大线性无关部分组，简称最大无关组.定义中条件(2)意味着每一个向量都可以用线性表示，可以将其改写为“其余向量可以用线性表示”.注意理解最大无关组的两个关键词：最大、线性无关.只有一个零向量的向量组没有最大无关组.根据定义可知，向量组与它的最大无关组等价，两个最大无关组等价.有了最大无关组，很多研究向量组的问题就变成研究它的最大无关组问题，研究两个向量组的关系就变成研究它们的最大无关组之间的关系，例如：两个向量组等价相当于它们的最大无关组等价.最大无关组一般不唯一，但有下面的结论：定理3.11 最大无关组所含向量个数相同.2 向量组的秩定义3.13 一个向量组的最大无关组所含向量的个数称为向量组的秩.如果向量组(A)：的最大无关组中含有r个向量，那么向量组的秩为r，记作：或.规定：只有一个零向量的向量组的秩为零.为了更好地理解最大无关组和向量组的秩，假设，我们作以下说明： 任何r-1个向量都不可能是向量组的最大无关组； 任何r+1个向量都是线性相关的； 任何含有r个向量的线性无关部分组都是最大无关组.定理3.12 如果向量组(A)可以由向量组(B)线性表示，那么.推论 若向量组(A)与向量组(B)等价，则.3 向量组的秩与矩阵的秩的关系一般用定义求向量组的秩很困难，鉴于向量和矩阵的关系，我们希望找到向量组的秩与矩阵的秩的关系.定义3.14 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩.定理3.13 矩阵的行秩=矩阵的列秩=矩阵的秩.如果矩阵的秩=，那么中至少有一个阶子式不为零，这个子式所在的行和列）的个向量都是线性无关的.这个定理告诉我们一个求向量组的秩的方法初等变换求向量组的秩.步骤：(1) 用向量组组成一个矩阵；(2) 对矩阵作初等变换，化为阶梯形矩阵；(3) 矩阵的秩就是向量组的秩.求秩的时候，向量在矩阵中写成行向量或列向量都可以（但要一致），对矩阵既可作初等行变换又可作初等列变换.如果需要求出一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示，那么建议把向量写成列向量，对这样的矩阵只能作初等行变换！步骤：(1) 把向量组中的向量写成列向量，组成一个矩阵；(2) 对矩阵作初等行变换，化为行最简形矩阵；(3) 非零行行数（首元个数）就是向量组的秩，并且首元所在列对应的向量就是最大无关组；(4) 把非首元所在列的向量用首元所在列的向量表示，这个表示式就是把该列对应的向量用最大无关组表示的表示式.例3.11已知向量：，求一个最大无关组并把其余向量用该最大无关组线性表示.解 用做成矩阵，对其进行初等行变换，化为行最简形矩阵. 首元在第1，2列，所以是一个最大无关组，首元以外有第3，4列，所以可以用表示，表示式为：，例3.12 设向量组的秩为2，求参数。解 由 3.5 线性方程组解的解构1 齐次线性方程组解的结构1）齐次线性方程组解的性质 如果是齐次线性方程组的解，那么也是它的解； 如果是齐次线性方程组的解，是任意实数，那么也是它的解； 如果是齐次线性方程组的解，那么其线性组合+也是它的解，其中是任意常数.实际上，当时，性质即是性质，当时性质就是性质.这几条性质也说明了，齐次线性方程组如果有非零解，就有无穷多个；找到一个解就可以找到无穷多个.2） 的基础解系我们知道，当系数矩阵的秩时，方程组有非零解，其解向量组一定线性相关（个数大于维数）！如果我们能求出它的最大无关组，记作：，那么最大无关组的任意线性组合+就是方程组的全部解. 这句话包含两层意思：（1）+是方程组的解；（2）任意一个解都可以写成的线性组合形式（没有其它形式的解）.由性质，第（1）条成立，由最大无关组的定义，第（2）条成立.因此求出解向量组的最大无关组就是求解的根本问题.定义3.15 如果是齐次线性方程组的非零解，且满足：(1) 线性无关；(2) 任意一个解都可以由线性表示.则称是齐次线性方程组的一个基础解系.一个基础解系实际上就是解向量组的一个最大无关组.如何求基础解系？定理3.14 如果n元齐次线性方程组的系数矩阵A的秩，则方程组的基础解系存在，且每个基础解系恰好含有n-r个解，同时方程组的每一个解都是基础解系的线性组合.根据本定理的证明过程（见教材）得知求基础解系的方法和过程：(1) 写出系数矩阵，施以初等行变换化为阶梯形矩阵，若，继续作初等行变换化为行最简形矩阵（不妨设前r个向量线性无关，则首元位于第1r列，若不是前r个向量做法相同）：(2) 写出等价方程组： (3) 令自由未知量依次取值为初始单位向量组：，得出其它未知量的值：= ，(4) 将所有未知量合写在一起，得到方程组的n-r个线性无关的解，即基础解系：，在上述步骤(3)中，自由未知量只要取值n-r个线性无关的向量就行，但一般是取初始单位向量组，此时计算量最小（几乎不用计算），表达最方便.2 非齐次线性方程组解的结构（1）非齐次线性方程组解的性质定义3.16 当齐次线性方程组和非齐次线性方程组的系数矩阵相同时，称为对应的齐次方程组或导出组.性质 如果是方程组的解， 是导出组的解，那么也是方程组的解； 如果都是方程组的解，那么是其导出组的解.这两条性质表明方程组的解和它的导出组的解之间有关系，那么的全部解与导出组的基础解系有着怎样的关系呢？（2）线性方程组的全部解定理3.15 对于n元非齐次线性方程组，如果有n，且是的一个特解，而是导出组的一个基础解系，则方程组的全部解表示为：定理告诉我们求方程组的全部解，只需要求出一个特解和导出组的基础解系. 我们已经学会了求基础解系，剩下的问题是求一个特解. 其实都可以用矩阵的初等行变换.(1) 写出增广矩阵，并施以初等行变换化为阶梯形矩阵，若，继续作初等行变换化为行最简形矩阵：(2) 写出等价方程组：(3) 若，写出它的唯一解； 若，令，求出一个特解，以及导出组的基础解系（上一个小节）.(4) 写出全部解：.3 线性方程组关于解的等价命题矩阵的秩、向量组的线性关系和方程组是否有解及有多少个解之间有着密切的联系. 如果非齐次线性方程组矩阵形式，向量形式，以下命题都是等价