三视图体积习题精选.doc

7下列视图中，可能是棱柱的三视图的是（）8（1）根据三视图，填写几何体的名称几何体是_ 几何体是_ 几何体是_9一物体的三视图如下图所示，试画出它的草图10如图所示，桌上放着一个杯子和一本书，则下列三个视图从左到右依次是_视图，_视图和_视图2.棱柱、棱锥、棱台的基本概念和主要性质名称棱柱直棱柱正棱柱图 形定 义有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形平行于底面的截面的形状与底面全等的多边形与底面全等的多边形与底面全等的正多边形名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分由正棱锥截得的棱台侧棱相交于一点但不一定相等相交于一点且相等延长线交于一点相等且延长线交于一点侧面的形状三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形对角面的形状三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形状与底面相似的多边形与底面相似的正多边形与底面相似的多边形与底面相似的正多边形其他性质高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等3.几种特殊四棱柱的特殊性质名称特殊性质平行六面体底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分长方体底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分正方体棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分4.面积和体积公式下表中S表示面积，c、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h表示斜高，l表示侧棱长 .名称侧面积(S侧)全面积(S全)体 积(V)棱柱棱柱直截面周长lS侧+2S底S底h=S直截面h直棱柱chS底h棱锥棱锥各侧面积之和S侧+S底S底h正棱锥ch棱台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱台 (c+c)h5.正四面体的性质 设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的(1)全面积 S全=a2；(2)体积 V=a3；(3)对棱中点连线段的长 d=a；(4)相邻两面所成的二面角 =arccos(5)外接球半径 R=a；(6)内切球半径 r=a.(7)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高).直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面 体有下列性质：如图，在直角四面体AOCB中，AOB=BOC=COA=90，OA=a,OB=b,OC=c.则 不含直角的底面ABC是锐角三角形；直角顶点O在底面上的射影H是ABC的垂心；体积 V=abc；底面ABC=；S2ABC=SBHCSABC；S2BOC=S2AOB+S2AOC=S2ABC=+; 外切球半径 R=；内切球半径 r=6.旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球的公式(1)面积和体积公式圆柱圆锥圆台球S侧2rlrl(r1+r2)lS全2r(l+r)r(l+r)(r1+r2)l+(r21+r22)4R2Vr2h(即r2l)r2hh(r21+r1r2+r22)R3表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径.(2)圆锥、圆台某些数量关系圆锥 圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.如图，圆锥的顶角为，母线与下底面所成角为，母线为l，高为h，底面半径为r，则 sin=cos = ，+=90 cos=sin = .圆台 如图，圆台母线与下底面所成角为，母线为l，高为h，上、下底面半径分别为r 、r，则h=lsinr-r=lcos.球的截面 用一个平面去截一个球，截面是圆面.(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆.(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面.(3)球心和截面距离d,球半径R，截面半径r有关系：r=.(3)球冠、球带和球缺球缺 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆(圆周)叫做球冠的底，垂直于截面 的直径被截得的一段叫做相应球冠的高.球冠也可以看作一段圆弧绕经过它的一个端点的直径旋转一周所成的曲面.球冠的面积公式 若球的半径为R，球冠的高为h，则S球冠=2Rh其中h表示球冠的高，R是球冠所在的球的半径.球带 球面在两个平行截面之间的部分叫做球带.球带也可以看作一段圆弧绕它所在的半圆的直径旋转一周所成的曲面.球带的面积公式 若球的半径为R，球带的高为h，则S球带=2Rh球缺 用一个平面截球体所得的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径 被截得的线段长叫做球缺的高.球缺的体积公式 若球的半径为R，球缺的高h，底面半径为r，则V球缺=h2(3R-h)= h(3r2+h2)三、知识点、能力点提示(一)多面体例1 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1V2= _.解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2Sh.E、F分别为AB、AC的中点，SAEF=S,V1=h(S+S+)=ShV2=Sh-V1=Sh，V1V2=75.例2 一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm 2(xy+yz+zx)=20 依题意得： 4(x+y+Z)=24 由2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36 由-得 x2+y2+z2=16即l2=16 l=4(cm).例3 如图，正三棱锥SABC的侧棱和底面 边长相等，如果E、F分别为AB、SC的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于( ) A.90 B.60 C .450 D.30解：取AC的中点G，连结FG，EGFGSAGFE为异面直线EF与SA所成的角.正三棱锥的棱长为1，则GF=GE=.顶点到A、B、C等距，ABC等边顶点在底面ABC的射影O是ABC的中心，从而SA在底面上的射影BCSABC，即“正三 棱锥中两相对棱垂直”.FGE=90.tgEFG=1,EFG=45.应选C.例4 设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体 积为( )A.6 B.2 C. D.2解：由已知可得正六棱锥的底面积S=6设正六棱锥的高为h，则h=2.V=2=.应选C.例5 如果三棱锥SABC的底面是不等边三角形，侧 面与 底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在ABC内，那么O是ABC的( )A.垂心 B.重心 C.外心 D .内心解：作OEAB，OFBC，OMCASEO=SFO=SMO,SEOSFOSMO.OE=OF=OM.O为ABC的内心，应选D.例6 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值是( )A. B. C. D.解：如图，设P为AA1的中点，Q为A1M的中点，则DPCN，PQAM，DPQ是异面直线AM和CN的成角.在DPQ中，DP= =，PQ=AM=，DQ=.由余弦定理得cosDPQ=-.又异面直线所成的角的范围是（0，90）.直线AM和CN所成角的余弦值是.应选D.例7 已知三棱锥ABCD的体积是V，棱BC的长是a，面ABC 和面 DBC的面积分别是S1和S2.设面ABC和面DBC所成的二面角是，那么sin=_.解：如图，作AO面BCD于O，作OEBC于E，连结AE.由V=AOS2，得AO=又S1=AEBC，得AE=由三垂线定理知，AEBC，AEO是二面角ABCD的平面角.即AEO=，sin=sinAEO=.例8 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥 一定不是( )A.三棱锥 B.四棱锥C.五棱锥 D.六棱锥解：该棱锥一定不是正六棱锥.否则设正棱锥SABCDEF符合题设，则在SAB和OAB中(O为顶点S在底面的射影)，SA=SB=AB=OA=OB,SABOAB但OAB是SAB在底面的射影，不可能.应选D.例9 如图，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA= 90，点D1 、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成的角的余 弦值是( )A. B. C. D. 解：设BC=CA=CC1=1.取BC中点E，连结EF、D1F，则EFBD1EFA为BD1和AF所成的角.易知FE=D1B= =.由BCA=90，得AE=.AF= =由余弦定理有cosEFA= = = 即BD1和AF1成角的余弦值是.应选A.例10 一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面( )A.必然都是非直角三角形B.至多只能有一个是直角三角形C.至多只能有二个直角三角形D.可能都是直角三角形解：如图，三棱锥PABC中，ABC=90，PA面ABC.则PAAC，PAAB，PAC和PAB都是直角三角形.又ACB=90，即ACBC，PCCB，即PCB=90，PCB也是直角三角形.应选D.例11 侧棱长为3cm，底面边长为4cm的正四棱锥的体积为_cm3.解：由已知有底面对角线长为4cm.h=1(cm)V=hS= (cm)3例12 已知长方体ABCDABCD中，棱AA=5，AB=12，那么直 线BC和平面ABCD的距离是_.解：如 图BCBC，BC面AC，BC面AC，BC面AC.点B到平面ABCD的距离即直线BC到平面ABCD的距离.作BHAB于H，又CB面AABB，BH面AABB，BH面AB，所 以BHCB，从而BH平面ABCD.BHAB=BABB，BH=即直线BC到平面ABCD的距离是.(二)旋转体例13 如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R， 中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R=( )A.10 B.15 C.20 D.25解D.例14 长方体一个顶点上三条棱的长度分别为3，4，5，且它的8个顶点都在 同一球面上，这个球的 表面积是( )A.20 B.25 C.50 D.200 解：设长方体的对角线长为l，球半径为R，由已知及对称性知l=2R,l=5，得R=.S球=4R2=50应选C.例15 若母线长为4的圆锥的轴截面的面积为8,则圆锥的侧面积为_(结果中保留).解：设轴截面为SAB，则SA=SB=4,SSAB=8=SASBsinSBA，得sinASB=1，ASB=90，AB=SA=4,S侧=rl=()SA=24=8.例16 如果等边圆柱(即底面直径与母线相等的圆柱)的体 积是16cm3，那么它的底半径等于( )A.4cm B.4cm C.2cm D.2cm解：16=r2(2r)=2r3，得r=2(cm)应选D.例17 圆柱轴截面的周长1为定值，那么圆柱体积的最 大值是( )A.()3 B.()3 C.()3 D. ()3解：设r为底半径，l为母线.由4r+2l=1，得l=V=r2l=(2r)(2r)(2l)()3=()3=()3=()3 .等号仅当2r=2l即r=l=时成立.应选A.例18 设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥 顶点到 直线AB的距离为，AB和圆锥的轴的距离为1,则该圆锥的体积为_.解：如图O为底面圆心，OCAB于C.由OA=OB得C为AB中点，由SA=SB，C为AB中点得SCAB于C.OC=1,SC=,AC=CB=1, SO=， OB= = .V=OB2SO= ()2=.例19 在一个实心圆锥体的零部件，它的轴截面是边 长为10厘米的等边三角 形，现要在它的整个表面镀上一层防腐材料，已知每平方厘米的工料价为0.1元，则需要费 用_元(取3.2).解：设圆锥的底半径为r,由已知有r=5cm,母线长为10cm.S全=52+510=75240(cm2)工料价为2400.1=24元.例20 圆锥母线长为l，侧面展开圆心角为240，该 圆锥的体积是( )A. B. C. D. 解：设圆锥底半径为r，由已知有240=，得r= .h=.V=r2h=()2=应选C.(三)综合题赏析例21 如图，平面和相交于直线MN，点A在平面上，点B在平面上， 点C在直线MN上，ACM=BCN =45，A-MN-B是60的二面角，AC=1.求：(1)点A到平面的距离； (2)二面角ABCM的大小.解：(1)作AH平面于H，HDMN于D，连结AD，则ADMN于D，故ADH是二面角AMNB 的平面角，所以ADH=60.在RtACD中，ACD=45，ADC=90，AD=AC=1=.在RtADH中，AH=ADsinADH=sin60即点A到平面的距离是，(2)设二面角ABCM为度，在等腰RtADC中，由斜边AC=1，得DC=AD=在RtADH中，DH= =在RtDHC中，HC= =作HE直线BC于E，则AEH是二面角ABCM的平面角.HCB =180-(HCD+BCN)=180-HCD-45，sinHCE=sin(45+HCD)=(sinHCD+cosHCD)=HE=HCsinHCE=tgAEH=.即=arctg为所求.例22 如图，ABCD是边长为4的 正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直平面ABCD，GC=2.求点B到平面EFG的距离.解：连GB、GE、GF、FE、FB，设点B到面EFG的距离为d.VBEFG=dSGFE. VBEFG=VG-BEF=GCSBEF=BEFd=SBEF=ABF=(AFAB)=2, 在EFG中，GF=GE=2,EF=2,故它的周长之 半P=(EF+FG+GE)=2+2SEFG= P(P-EF)(P-EF)(P-GE)=2d=.即点B到平面EFG的距离是2例23 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1 中，ACB=90，BAC=30，BC=1,AA1=,M是CC的中点.求证：AB1A1M证明：由题设知B1C1A1C1，B1C1C1CB1C1侧面A1ACC1.连C1A，则C1A是B1A在面A1ACC1上的射影.设AC1与A1M交于点D.在RtA1B1C1中，B1C1=1,B1A1C1=BAC=30，得A1 C1= .=在RtA1C1M中，=，又AA1C1=A1C1M=90，AA1C1A1C1M,得3=4由 AA1CC1，得1=2，C1DM=C1A1A90，AC1A1M.由三垂线定理，得AB1A1M.例24 如图，圆锥的轴截面为 等腰RtSAB，Q为底面圆周上一点.(1)若QB 的中点为C，OHSC，求证OH平面SBQ；(2)如果AOQ=60，QB=2，求此圆锥的体积；(3)如果二面角ASBQ的大小为arctg，求 AOQ的大小.解：(1)连OC.SQ=SB，OQ=OB,QC=CB，QBSC，QBOC，得OB面SOC.OH面SOC，得QBOH，又OHSC，OH面SQB.(2)连AQ.Q为底面圆周上的一点，AB为直径，AQQB在RtAQB中，QBA=30，QB=2AB=4SAB是等腰直角三角形.SO=AB=2，V圆锥=OA2SO=(3)过Q作QMAB于M.由于面SAB面ABQ，得QM面SAB.作MPSB于P，连PQ，则由三垂线定理知QPSB.MPQ是二面角ASBQ的平面角.MPQ=arctg为已知，设圆锥底半径为r,AOQ=，在RtMPB中，PBM=45，MB=r(1+cos)，MP=r(1+cos)tgMPQ=，=,即=.即tg=，故AOQ=60例25 如图，A1B1C1 ABC是正三棱柱，D是AC中点.(1)证明AB1平面DBC1；(2)假设AB1BC1，求以BC1为棱、以DBC1与CBC1为面的二面角 的度数.证明：(1)由于A1B1C1ABC是正三棱柱，故四边形B1BCC1是矩形连B1C交BC1于E，则B1E=EC,连DE.在AB1C中，AD=DC，得DEAB1又AB1面DBC1，DE面DBC1，AB1平面DBC1.(2)作DFBC于F，则DF面B1BCC1；连EF，则EF是ED在面B1BCC1上的射影.AB1B1C1，又由(1)知，AB1DE，DEBC1，从而BC1EFDEF是二面角的平面角.设AC=1,则DC=.ABC是正三角形.在RtDCF中，DF=DCsinC=，CF=DCcosC=.取BC中点G，因BE=EC，故EGBC.在RtBEF中，EF2=BFGF，又BF=BC-FC=,GF=.EF2=，得EF=tgDEF=1.DEF=45即二面角为45.例26 如图，梯形ABCD中，ADBC,ABC=,AB=a,AD=3a,ADC=arcsin,PA面ABCD,PA=a求:(1)二面角PCDA的大小(用反三角函数表示)：(2)点A到平面PBC的距离.解：(1)作AE直线CD于E连PE.由PA面ABCD据三垂线定理知PECD.PEA是二面角PCDA的平面角.在RtAED中,AD=3a,ADE=arcsin.AE=ADsinADE=a在RtPAE,中tgPEA=.PEA=arctg即二面角PCDA的大小为arctg.(2)作AHPB于H由PA面ABCD,得PBBC.又ABBC,得BC面PAB得BCAHAH面PBC，AH的长为点A到面PBC的距离在等腰RtPAB中,AH=a.点A到平面PBC的距离是a例27 如图，已知RtABC的两直角边AC=2、BC=3，P为 斜边AB上一点，现沿C P将此直三角形析成直二面角APCB，AB=，求二面角PACB的大小.解：由已知ACPB是直二面角，作BDCP于D，则BD平面ACP作DEAC于E，则BEAC， BED是二面角PACB的平面角.作AFDC于F，连BF，则AFB=.设ACP=，则BCP=-，在RtAFB中AB2=AF2+FB2=AF2+DB2+DF2=7AF=2sin,CF=2cosBD=3sin(90-)-3cosCD=3sin(90-)-3cosDF=CD-CF=3sin-2cos(2sin)2+(3cos)2+(3sin-2cos )2=7解得=.在RtBED中DE=CDsin=3sin2=.tgBED=.BED=arctg即二面角PACB的大小是arctg例28 设三棱锥SABC的底面为等腰直角三角形，已知该直角三角形的斜边 AC长为10，三棱锥的侧棱SA=SB=SC=13，求：(1)顶点S到底面的距离；(2)侧棱SB与底面所有角的大小(用反三角函数表示)；(3)二面角ASBC的大小(用反三角函数表示)；解：如图(1)作SO底面ABC，由已知SA=SB=SC知，O为底面ABC的外心，又ABC为直角三角形，故O为斜边AC的中点.SO=12.即顶点S到底面的距离是12.(2)SOB是SB与底面ABC所成的角.COB=arcsin=arcsin(3)作ADSB于D，连结CD.SBAD,SBAC.SB平面ADCCDSB,ADC是二面角ASBC的平面角.易得 AB=BC=5AD=DC=ADC=arccos(-)即二面角ASBC的大小是arccos(-).例29 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB=5.AD=4,AA1=3,ABAD,A1AB=A1AD=.(1)求证：顶点A1在底面ABCD的射影O在BAD的平分线上；(2)求这个平行六面体的体积V.解：(1)连A1O，则A1O底面，作OMAB于M，ONAD于N，连AM，AN，A O，由三垂线定理得A1MAB，A1NAD又A1AM=A1AN.RtA1NARtA1MAA1M=A1N,得OM=ON.点O在BAD的平分线上(2)V=30 用等体积法解点到面的距离和体积立几题 立体几何是每年高考中的一个重要考查对象,在每年的高考中都占有很大的比例。解立体几何题需要我们的看图、读图、绘图能力；也需要我们的转化能力及空间想象能力.因此许多同学学习起感觉到很困难很麻烦，导致在高考中失分较多，影响考试的成绩。纵观近年的高考,我们不难发现，在立体几何的考试中，经常考查到求点到面的距离和体积的问题，而这些问题的解决有时借助常规的方法并不能轻松地获得结果.这时如果能想到等体积法，则可以给你一种“柳暗花明又一村”的感觉.下面我们将从几道高考题中感受到这种方法带给我们的好处。（一） 用等体积法求点到平面的距离 AA1BDECB1C1D1 【2005赣文（理）20】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动(1) 证明：D1EA1D；(2) 当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离；(3) AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为(1)，（3）略（）解：设点到平面D1的距离为h，在D1中，D1，D1，故， 而 h=【04年文（21）理（20）】如图，已知四棱锥PABCD ，PBAD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120。（）求点P到平面ABCD的距离；（）求面APB与面CPB所成二面角的大小。PBCDEA（）解：取AD的中点E，连结PE，BE。PAD为等边三角形 PEAD 又PBADAD平面PBE ADBE PEB为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角，即PEB=120。设点P到平面ABCD的距离为h, VPABE= V